Chơng I: Các nội

dung lý thuyết cơ sở:

a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d):
- Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa
thức q(x) và r(x)sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x),
r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x).
q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d.
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)Mg(x)
Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d.
b/ Hệ quả: Ta có f(a) là d trong phép chia f(x) cho x- a.
c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn:
Phần tử A đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f() = 0.
d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:
Phần tử là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x)M x- .
e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử.
Ví dụ1:
A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3.
Đặt phép chia đa thức:
10x2-7x+a
2x-3
2

chia hết cho x-1.
Thực hiện phép chia ta đợc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3)
Ví dụ 4:
Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử.
Dễ thấy x=1 là một nghiệm. Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1
Thức hiện phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2)
Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 có nghiệm là x= -1
Thực hiện phép chia ta đợc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2)
Dễ thấy rằng 3x3-6x2+x-2 có nghiệm x= 2
Vì thế 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1)
Vậy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1).

Chơng II. .Một số bài tập vận dụng và cách giải:
I- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách hạng
tử.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4
Nhận xét: Đa thức trên không chứa thừa số chung. Không có dạng một hằng
đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng. Ta biến đổi đa thức
này thành đa thức có nhiều số hạng hơn:
Cách 1: (tách số hạng thứ 2)
2
3x -8x+4 =3x2-6x-2x+4= (3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2)
=(x-2)(3x-2)
Cách 2:(tách số hạng thứ nhất)
2
3x -8x+4 =4x2-8x+4-x2 = (2x-2)2 -x2
= (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2)
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2+x+c thành thừa số ta tách số
hạng bx=b1x+b2x sao cho: b1b2= ac

với a0,a1,...,an-1,an Z có nghiệm x= a (a Z)
=> a0xn+a1xn-1+...+an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+...+bn 1) trong đó b0,b1,...,bn-1,bn
Z.
Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-abn-1.
Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng an
-abn-1= an tức là a là ớc của an.
Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của hạng tử tự do
an.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x3-x2-4.
Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0
đa thức có nghiệm x= 2 do đó chứa thừa số (x-2)
Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4
= (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4)
=x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2)
Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4)
=(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+2x+4-x-2)
=(x-2)(x2+x+2)
Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau:
3


*ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm
của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1.
Ví dụ; x3-5x2+8x-4
x-1
3 2
-x -x
x2-4x+4
- 4x2+8x-4
- 4x2+4x

Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do không là nghiệm của
đa thức, có thể dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(-1) 0 thì: f(1):(a-1)
và f(-1): (a+1) đều là số nguyên.
Ví dụ: f(x)=4x3-13x2+9x-18
Ư(18)=1,2,3,6,9,18
f(1)=4-13+9-18=-18 0
f(-1)=-4-13-9-18=-44 0
1 không phải là nghiệm của f(x)
Dễ thấy:
a
2
-2 3
-3 6
-6 9
-9 18 -18
-9
f(1) 18 -18 6
18
18 18 18 18 18 18
a 1

=

a 1

4

5
4

18
18
18
;
;
;
;
;
;
Z
3 1 6 1 6 1 9 1 9 1 18 1 18 1

Nên: -3;6;9;18 không là nghiệm của f(x)

44
Z 2 không phải là nghiệm của f(x)
2 +1

Nếu phơng trình có nghiệm nguyên chỉ có thể là 3 hoặc -2. NHẩm ta
thấy x= 3 là nghiệm của f(x).
4x3-13x2+9x-18 = 4x3-12x2-x2+3x+6x-18
= (4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18)
= 4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3)
= (x-3)(4x2-x+6)
Các bài toán luyện Tập.

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x 2 5 x +6

d, x 2 13 x +36

7 / x3 4 x 2 8 x + 8

8/ x3 6 x 2 + 6 x + 1

9/ 6x 3 x 2 486 x + 81

10/ x 3 7 x 6

11/ x 3 3x + 2

12/ x 3 5 x 2 + 3x + 9

13 / x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10

14/ x 3 + 3 x 2 + 6 x + 4

15/ x 3 2 x 4

16/ 2x3 12 x 2 + 17 x 2

17 / x 3 + x 2 + 4

18/ x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2

19 / x 3 + 9 x 2 + 26 x + 24

20/ 2x 3 3 x 2 + 3 x 1

21/ 3x 3 14 x 2 + 4 x + 3



4/ x 4 + 64

5 / 64x 4 + 1

6/ 81x 4 + 4

7/ 4x 4 + 81

8/ 64x 4 + y 4

9 / x4 + 4 y 4

10/ x 4 + x 2 + 1

Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
1/ x 7 + x 2 + 1
2/ x 7 + x5 + 1

phụ).

3/ x5 + x 4 + 1

4/ x5 + x + 1

5 / x8 + x 7 + 1

6/ x5 x 4 1

7/ x 5 + x 1

6/ (x + a)( x + 2 a)( x + 3a )( x + 4a ) + a 4

7 / 6 x 4 11x 2 + 3

8/ ( x 2 + x) 2 + 3( x 2 + x) + 2

9 / x 2 2 xy + y 2 + 3 x 3 y 10

10/ ( x 2 + 2 x) 2 + 9 x 2 + 18 x + 20

11/ x 2 4 xy + 4 y 2 2 x + 4 y 35

12/ (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16

Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
1/ x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 6 x +1
2 /( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) 2 + ( xy + yz + zx) 2

IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4-6x3+12x2-14x+3
Thử: x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có
nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc
thành thừa số thì phải có dạng:
(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
=x4 -6x3
+12x2
-14x+3
a + c = 6
ac + b + d = 12



d ) D = x 4 7 x 3 + 14 x 2 7 x + 1

e) E = x 4 8 x + 63

V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp xét giá trị riêng:
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P= x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)
Thay x= y => P = 0 nên x= y là nghiệm của đa thức P đối với biện x
nên P chia hết cho x - y hay P chứa thừa số x- y.
Tơng tự: P chứa thừa số y-z, z-x.
P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x)
Nhận thấy K phải là hằng số (không chứa biến) vì P có bậc ba đối với
tập hợp các biến x,y,z còn (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc ba đối với tập hợp
các biến x,y,z.
Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho
các biến x,y,z các giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta đợc:
4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K= 2 K= -1.
Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z).
Các bài toán

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ M = a (b + c a ) 2 + b(c + a b) 2 + c(a + b c ) 2 + (a + b c)(b + c a )(c + a b)
b/ N = a (m a ) 2 + b(m b) 2 + c (m c) 2 abc , với 2m = a+ b + c.
c ) A = (a + b + c )(ab + bc + ca ) abc.

d ) B = a (a + 2b)3 b(2a + b)3 .
e)C = ab(a + b) bc(b + c ) + ac(a c ).
f ) D = (a + b)(a 2 b 2 ) + (b + c)(b 2 c 2 ) + (c + a )(c 2 a 2 )
g ) E = a 3 (c b 2 ) + b3 (a c 2 ) + c 3 (b a 2 ) + abc (abc 1).
h) f = a (b c)3 + b(c a)3 + c (a b)3 .

8


(

) (

) (

) (

= a10 a 4 a 8 a 2 + a 4 a + a 2 + a + 1

Ta có:

(

)

(

)(

a10 a 4 = a 4 a 6 1 = a 4 a 3 1 a 3 + 1

(
=(a

)(


2

4

(

)

)
= ( a 1) ( a + a ) = ( a 1) ( a + a + 1 ) ( a + a )
= ( a + a + 1) ( a a + a a )
a a = a ( a 1) = ( a a ) ( a + a + 1 )
Nên suy ra: A = ( a + a + 1) ( a a + a a + a a + 1)
a8 a2 = a2

)

)

6

3

2

5

3

2

f(2)=32+56-8-26+6=60 0 nên 2 không phải là nghiệm của đa thức này.
f(3)=162+189-18-39+6=300 0 nên 3 không phải là nghiệm của đa thức
này.
Đa thức có một nghiệm hữu tỷ nữa thì mẫu số của nó phải là ớc của 2,
Do đó có thể 1,2,-1,-2 sẽ là mẫu số của nghiệm này. Nên
có thể là nghiệm của đa thức này.
1
1
1
1
1
f( ) = 2. + 7. 2 13 + 6 = 0
2
16
8
2
2

Suy ra

1 3
;
;
2 2

1 3
;
2
2



Chơng IV:

Các bài tập về phép chia hết và phép chia có d của đa

thức:

Ví dụ 1: Xác định số a sao cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2
Cách 1: Đặt phép chia, cho số d bằng 0.
x3 -3x+a x2-2x+1
x3-2x2+x
x+2
2
2x - 4x+a
2x2-4x+ 2
a-2
Vì phép chia là phép chia hết nên a-2=0 a=2.
Cách 2: Dùng phơng pháp hệ số bất định:
Nếu đa thức x3-3x+a chia hết cho đa thức x2-2x+1 thì thơng là nhị thức
bậc nhất có hạng tử bậc cao nhất là x3:x2= x
Hạng tử bậc thấp nhất là a:1= a
Nh vậy x3-3x+a đồng nhất với ( x2-2x+1)(x+a) tức là đồng nhất với
x3+(a-2)x2+(1-2a)x+a.
a 2 = 0
a=2
1

2a
=


2n-1=5
2n-1=-5
n=1
n=0
n=3
n= -2
2
Vậy với n=-2;0;1;3 thì giá trị của biểu thức 2n +3n+3 chia hết cho giá
trị của biểu thức (2n-1).
Chơng V: bài tập tự luyện.
1/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a/ x5 + x 4 + 1
p/
2
b/ x 10x + 16
q/
c/ a 4 + 64b 4
r/
d/ ( x 2 + x ) ( x 2 + x + 1) 2

e/
f/
g/
h/
k/
m/
n/

( a b)


(x
(x

2
2

+ 4x + 8 ) + 3x ( x 2 + 4x + 8 ) + 2x 2
2

+ 15x + 50 ) ( x 2 + 18x + 72 ) 3x 2

s/ x10 + x5 + 1
z/ x5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
2
l/ 4b 2 c2 ( b 2 + c2 a 2 )
j/ 1/2(x2+y2)-2x2y2
x 3 + 4x 2 31x 70
i/ (2x-3)2-(x+5)2
o/ x2+5x+6
2/ Tìm điều kiện của hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B.
3
2
a/ A = ax + bx 3x 2;B = ( x 1) ( x + 2 )
b/ A = x 3 5bx + 2a;B = ( x + 2 )
c/ A = x 4 + 2x 2 7x + 3a + 5;B = x 2 + 3x + 2
2

11