SỞ GD-ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG LẦN 1
Thời gian : 150 phút
---------------------------------------------------
Câu 1 .( 2 điểm )
Cho hàm số :
2
y x 4x 3= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để phương trình
2
x 4x 3 m
− + =
có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2 .( 2 điểm )
a. Giải phương trình :
2
x 3x 2 2x 2
− + = −
b. Tìm m để phương trình
3m 1
x 6 x 9 m x 2 x 9 8 x
2
+
+ − + + − − = +

có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
1 a b c 1 b c a 1 c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
ĐÁP ÁN
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Đáp án Thang điểm
Câu 1
a, +TXĐ, tính đồng biến nghịch biến ,Bảng biến thiên
+Đồ thị đúng đẹp
b, +Lập luận để vẽ và vẽ đúng đồ thị hàm
2
y x 4x 3
= − +
+Từ đồ thị suy ra để PT có 4 nghiệm phân biệt
thì : 0<m<1
Câu 2
a, PT

b, PT
( )
3m 1
x 9 3 m x 9 1 x
2
+
⇔ − + + − + = +
đặt
t x 9,t 0
= − ≥
PT trở thành :
( ) ( )
2 2
3m 1
t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0
2
+
+ + + = + + ⇔ − + + + =
(1)
PT ban đầu có nghiệm
1 2
x 10 x< <

⇔
(1) có nghiệm
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
' 0
0 t 1 t t 1 t 1 0

 
> −

+ >


0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 3
1.a, Ta có
( ) ( )
AB 1; 1 ;BC 4;4= − =
uuur uuurAB.BC 0 AB BC= ⇒ ⊥ ⇒
uuur uuur
tam giác ABC vuông tại B

b, Theo tính chất của phân giác trong ta có :

2
2
2 2

( ) ( )
OD OM DM mà DM//BC OD OM BC+ ⊥ ⇒ + ⊥
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur
Ta có :
( ) ( )
3OE.2CD OA OC OD CA CB= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( ) ( ) ( )
2OM OD CA CB 2OM.CB OD CA CB= + + = + +
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
( )
2OM.CB OD 2CB BA 2OM.CB 2OD.CB= + + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
( )
2 OM OD CB 0= + =
uuuur uuur uuur r
Câu 4. HPT
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
x 1 y 1 2m 2
x 1 y 1 4

− + − = +

⇔

 
− + − =

+ =



= −


(*)
a, Khi m=4 ta có
a b 2 a b 2
ab 3 ab 3
+ = + = −
 
∨
 
= − = −
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
a;b 1; 3 , 3;1 , 1;3 , 3; 1⇔ ∈ − − − −
Từ đó ra các nghiệm của hệ ban đầu : (2;-2),(-2;2),(0;4),(4;0)
(Lưu ý : nếu thí sinh thay m vào luôn HPT thì câu a vẫn tính 1 điểm )
b, ĐK cần :Ta có hệ ban đầu có nghiệm
⇔
hệ (*) có nghiệm;
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

) , do đó để
hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt thì : a=b
Thay vào (*) ta được m=0
ĐK đủ :với m=0 dễ dàng kiểm tra thấy thỏa mãn
Lưu ý : Có thể giải bằng việc thế (1) , (2) vào (3) ra PT

( )
( )
2
2
a 2a 1 m 0 4
a 2a 1 m 0 5
− + − =
+ + − =
Từ đó , dẫn đến hệ có 2 nghiệm phân biệt khi : (4) và (5) có nghiệm kép hoặc
(4) có 2 no p/b, (5) vô no hoặc (4) vô no , (5) có 2 no pb
Câu 5
Từ giả thiết
3
2 2 2
3 3 1ab bc ca a b c abc= + + ≥ ⇒ ≤
Nên ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1
1 a b c abc a b c a ab bc ca 3a
≤ = =
+ + + + + +
Tương tự
( ) ( )