ĐẠI SỐ.
A/LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG:

f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 )
I.

Nhị thức bậc nhất:
PHẢI CÙNG”

.

x

−

−∞
ax+b

II.
Nếu

Nếu
Nếu

∆0

Trái dấu với a


Cùng dấu a

x1

0

x2

Trái dấu a

0

LƯU Ý: Có thể thay biệt thức bằng biệt thức thu gọn
B/CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP:
DẠNG 1: BPT CHỨA ẨN Ở MẪU.
CÁCH GIẢI
GỒM CÓ 5 BƯỚC
Bước 1: Chuyển vế
Bước 2: Qui đồng
Bước 3: Tìm nghiệm
Bước 4 Xét dấu
Bước 5: Ghi tập nghiệm.

+∞

Cùng dấu a


VD: Giải các BPT sau:


x = 1
x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2

1− 2x = 0 ⇔ x =

b) bpt ( *) ⇔

1
2

⇔

4 − 3x − 6 x + 3
−9 x + 7
⇔
>0
2
8 x − 6 x − 4 + 3x
−6 x 2 + 11x − 4

Bảng xét dấu:

−9 x + 7 = 0 ⇔ x =
1
2

x



1

x=

2
−6 x 2 + 11x − 4 = 0 ⇔ 
x = 4

3
Bảng xét dấu:

1
2

x

1 
S =  ;1 ∪ [ 2; +∞ )
2 
Vậy tập nghiệm

1( 4 − 3 x ) − 3 ( 2 x − 1)
1
3
−
>0⇔
>
2 x − 1 4 − 3x
( 2 x − 1) ( 4 − 3 x )

S =  ; ÷∪  ; +∞ ÷
2 9 3

Vậy tập nghiệm :

0

+


c)

x+6
x+6
> 2x +1 ⇔
− (2 x + 1) > 0
−3 x + 6
−3 x + 6

⇔

x + 6 − ( 2 x + 1) ( −3x + 6 )
>0
−3 x + 6
⇔

⇔

d)



−17 x − 2 = 0 ⇔ x = −

x = 2
x2 − 4 = 0 ⇔ 
 x = −2

Bảng xét dấu:

Bảng xét dấu:

−∞

2

+

0 -

+

+

0

+

VT

+


Vậy tập nghiệm :

*BÀI TẬP VẬN DỤNG: Giải các bất phương trình sau:

5
3
>
2x +1 3 − 2x

+

x2 − 4

+
+ 0

-2

−17 x − 2

+

−3 x + 6

−

−∞

0


Tìm nghiệm:

≤0

-

2
17


x −1
≥ x−2
3 − 2x

c)

2 x − 2 3x + 1
>
x2 − 4 x + 2

d)

e)

x + 3 2 x −1
+
>2
2x −1 x + 3
−3

⇔
1 + 3 x < −5
3 x − 4 > 0
⇔
3 x − 6 < 0

KL: Tập nghiệm:

 8
S =  0; ÷
 5

4

x >
⇔
3
4 
 x < 2 ⇔ x ∈  3 ; 2 ÷


KL: Tập nghiệm :

4 
S =  ;2÷
3 
*BÀI TẬP: Giải các BPT sau:

−3 x + 4 < 4 − 2 x
b)

x − 4 > x + 2(*)
2

(*) ⇔ −3 x − 4 > 2

b)

a)

 −3 x − 4 > 2
⇔
 −3 x − 4 < −2

Vậy tập nghiệm:S=

 x < −2
 −3 x − 6 > 0 ⇔ 
x > − 2
⇔
−
3
x
−
2


VD: Giải các BPT sau: a)

a) Bpt(*) ⇔ ( 2 x − 1 + 3 + 4 x ) ( 2 x − 1 − 3 − 4 x ) ≥ 0
⇔ ( 6 x + 2 ) ( −2 x − 4 ) ≥ 0 ⇔ −12 x 2 − 28 x − 8 ≥ 0
Vì:

b)

⇔ x − 5 x + 4 > x 2 + x − 10
⇔  ( x 2 − 5 x + 4) − ( x 2 + x − 10)   x 2 − 5 x + 4 + x 2 + x − 10  > 0
b)Bpt
⇔ ( −6 x + 14 ) ( 2 x 2 − 4 x − 6 ) > 0
2

−6 x + 14 = 0 ⇔ x =

Bảng xét dấu:

 x = −1
2 x2 − 4 x − 6 = 0 ⇔ 
x = 3

7
3

Cho:

x

−∞


-6x +14

Vậy tập nghiệm:

2 x2 − 4 x − 6

1

S =  −2; − 
3


VT

Vậy tập nghiệm :

để phá dấu giá trị tuyệt đối sau đó kèm theo điều kiện để giải
C/PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG:

ax + bx + c = 0

S =−

2

có tổng

b

Cho phương trình:

7
3

0

+

0

0

-


a)Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a ≠ 0
⇔
∆ > 0

b) Phương trình có nghiệm kép

a ≠ 0
⇔
∆ = 0

c) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu


⇔ P > 0
S < 0


x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0

Tìm m để pt trên:

a) Có 2 nghiệm phân biệt.
b) Có 2 nghiệm dương phân biệt.
c) Có 2 nghiệm trái dấu.
GIẢI
a = 1; b = -2m; c = 3m - 2

b)Pt có 2 nghiệm dương phân biệt

c) Pt có 2 nghiệm trái dấu

∆ = b − 4ac

⇔ a.c < 0

= ( −2m ) − 4.1(3m− 2)

⇔ 3m − 2 < 0

2

2


 b
S > 0
− a > 0

m 2 − 3m + 2 > 0

⇔ 3m + 2 > 0
 2m > 0


2

⇔ m ∈  −∞; ÷
3


Vậy

2

m ∈  −∞; ÷
3


thì
phương trình có 2 nghiệm
trái dấu.

 m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )



= ( −2m) 2 − 2( −2m).2 + 22 − 8m 2 − 20m + 8m + 20
= 4m 2 + 8m + 4 − 8m 2 − 20m + 8m + 20
= −4m 2 − 4m + 24

b)Pt có 2 nghiệm âm


 −4m 2 − 4m + 2
∆ ≥ 0


c
⇔ P > 0 ⇔  > 0
S < 0
a

 b
 − a < 0


a)Pt có nghiệm

m − 1 ≠ 0
a ≠ 0
⇔
⇔
2
−4m − 4m + 24 ≥ 0
∆ ≥ 0

⇔ m −1 = 0 ⇔ m = 1

−4 x + 7 = 0 ⇔ x =

⇔ m ∈∅

thì pt trở thành:

7
4

Vậy không có m nào để phương trình có 2 ngh
âm

vì phương trình có nghiệm nên nhận m = 1
Vậy:

m ∈ [ −3;1]

thì phương trình có nghiệm

BÀI TẬP
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu:

( m − 3) x 2 − 2mx + m + 2 = 0

( m − 2 ) x 2 − 2mx + m + 2 = 0

a.


( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 3m − 4 = 0

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 3) x − m + 3 = 0

d.
e.
3. Tìm m để phương trình có kép. Tính nghiệm kép

( m − 2 ) x 2 + 2mx + m + 2 = 0

a.

b.

mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0

( m − 1) x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 3m − 4 = 0

( m + 4 ) x 2 − 2mx + m + 1 = 0
c.

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 3) x − m + 3 = 0

d.
e.
4. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt:

( m − 3) x 2 − 2mx + m + 2 = 0

a.


có nghiệm đúng với

a > 0
⇔
∆ ≤ 0

mọi x
(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)
(Nếu a có tham số m thì Xét TH a = 0)
f (x) < 0

c)

có nghiệm đúng với mọi x

a < 0
⇔
∆ < 0

f (x) ≤ 0

d)

có nghiệm đúng với

a < 0
⇔
∆ ≤ 0


∆ = b 2 − 4ac = ( −2m ) − 4.m.5 = 4m2 − 20m
2

a = 0 ⇔ m = 0 f (x) = 5 > 0

*NẾU
Do đó nhận m = 0

*NẾU

:

Khi đó

vô nghiệm

luôn đúng với m

∆ = b 2 − 4ac = 42 − 4m.m = 16 − 16m 2
luôn đúng với mọi x .
*NẾU

a > 0
f (x) > 0∀x ∈ R ⇔ 
a≠0⇔m≠0
∆ < 0

a = 0 ⇔ m = 0 f (x) = 4 x > 0 ⇔ x > 0
:



2
m ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )
16 − 16m < 0

m ∈ ( 0;5]
Vậy

⇔ f ( x) > 0

thì bất phương trình có nghiệm

⇔ m ∈ [ 2; +∞ )
m ∈ [ 2; +∞ )
Vậy

thì bất phương trình vô nghiệm.

*BÀI TẬP:
1/Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x:

x 2 − mx + m + 3 ≥ 0

a)

b)

( m + 2) x 2 + ( m + 2) x − 4 < 0
d)



( m + 2) x

2

− 2 ( m + 2 ) x − 3m > 0

c.

d.

( m − 1) x 2 + ( m + 1) x + 3m − 2 > 0
e.

( m − 2 ) x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 5m − 6 > 0
f.