BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC – GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – GÓC
GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU
- Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (P) là góc tạo bởi đường thẳng SA
và hình chiếu SB của nó trên mặt phẳng (P)
( )) ( ̂ ) SB ⏊ (P)  SB chính là hình chiếu của SA
Tức là ( ̂
trên mặt phẳng (P) .
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai
mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
( )
) ( )) (̂) với {
Tức là (( ̂
( ) ( )
⏊
- Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc tạo bởi một đường thẳng này và
một đường thẳng song song với đường thẳng kia
Tức là (̂) (̂) với d //
Hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau
và cùng song song với hai đường thẳng kia :
Tức là (̂) ( ̂)
THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a ,
SB = a√ và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB , BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM , DN .
Giải :

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!



MG =

Kẻ thêm SK vuông góc với MG , ta có : MH.MA = MK.MG
 MK =

√

√

=> cos ( ̂ )

√

√

.

Chú ý : Ta có thể tính diện tích tứ giác BNDM

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


√

( vì MN ⏊ BD ) .

√

√

.

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Thí dụ 4 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC

có đáy là tam giác đều cạnh

2a , điểm
cách đều ba điểm A , B , C . Cạnh bên
tạo với mặt phẳng đáy
một góc α . Hãy tìm α , biết thể tích khối lăng trụ ABC
bằng 2√
.
Giải :

Ta có tam giác ABC đều cạnh 2a nên

√ .

Mặt khác


là tứ diện đều .


√

√

α

.

Thí dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA = a
vuông góc với đáy (ABCD) .
1. Chứng tỏ các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông .
2. Tính cosin góc nhị diện (SBC,SDC) .
Giải :

1. Các mặt bên là tam giác vuông .
Ta có : SA ⏊ (ABCD) => {

⏊
⏊

 Các tam giác SAB , SAD vuông tại A .
⏊
Ta có :
} => BC ⏊ (SAB) => BC ⏊
⏊
 Tam giác SCD vuông tại D .
2. Cosin góc nhị diện (SBC,SDC) .
Vẽ BE ⏊ SC . Vì tam giác SBC và tam giác SDC có các cạnh bằng nhau tương
ứng nên DE ⏊ SC và BE = DE .
Tam giác SBC có :



√

2. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) :
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC
 Góc giữa SC và (ABCD) là ̂
√

Ta có : tan ̂ =

√

√

̂

3. Tính khoảng cách từ O đến (SBC) :
Ta có : AH ⏊ (SBC) => AH ⏊ HC . Vẽ OI ⏊ HC
 OI ⏊ (SBC) => OI là khoảng cách từ O đến (SBC)
 OI =

√

( đường trung bình ) .

à DC’ = √ .

Kết hợp ̂

ta suy ra BDC’ đều .
m=√

Do đó
TH2 : Nếu ̂

Áp dụng đinh lý cosin cho BDC’ suy ra m = 0 ( loại ) .
Vậy m = √ .
Chú ý : Có thể sử dụng phương pháp vecto hoặc tọa độ với nhận xét :
Cos( ̂ )

|

( ̂ )|

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

.

Thí dụ 8 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp
tam giác đều cạnh đáy AB = a , cạnh bên AA’ = b . Gọi α là góc giữa hai
mp(ABC) và mp(A’BC) . Tính tanα và thể tích chóp A’.BCC’B’.
Giải :

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!


Giải :

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


Vì AB // A’B’ nên góc giữa BC’’ và A’B’ là góc giữa BC’’ và AB .
Dễ thấy AC’’ = BC’’ nên ABC’’ là tam giác cân . Từ đó ̂
Vậy góc giữa AB và BC’’ là ̂
Gọi M là trung điểm của AB thì :
MB =
Từ đó cos ̂

√

, MB ⏊ MC’’
√

Cũng từ kết quả trên , ta có :
(CMC’’) ⏊ AB và CMC’’ là tam giác vuông tại C
Nên góc giữa mp(BAC’’) và (CAB) là ̂
Ta có tan ̂
Vậy ̂

√

√

hay góc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng

̂

Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc

mà tan

= và mp(SBC) tạo với

mp(ABCD) góc
b. Vì (SAD) ⏊ (SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
Ta cũng có CD ⏊ (SAD) nên (SCD) ⏊ (SAD)
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


Tương tự , ta có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Trong mp(ABCD) , qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AC , nó cắt hai
đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J , thì IJ ⏊ SC
̂ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Do đó ̂ hoặc
Ta có : AJ = AC.tan ̂
√
=> A
Đặt ̂

α thì tan α =



√

√

Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là

mà tan

√

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12