Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật
A Phần mở đầu
I- Lý do chon đề tài
1. Cơ sở khoa học
- Giải bài toán tìm chữ số tận cùng rèn cho học sinh đợc phơng pháp t
duy phân tích tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về t duy giải toán khác nhau nh
chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phơng Học sinh có trí t-
ởng tợng cao phát huy tích cực chủ động trong t duy, có tính sáng tạo trong khi
giải toán.
- Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán tìm chữ số tận cùng là dạng
bài toán khó, bất quy tắc và khi giải bài tập có các dạng toán khác nhau. Khi
làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toán quen
thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn.
- Khi giáo viên đợc nghiên cứu sâu về các dạng toán. Cụ thể là bài toán
tìm chữ số tận cùng, sẽ nâng cao t duy và năng lực chuyên môn. Để từ đó truyền
đạt cho các em những bài toán đợc dễ hiểu hơn.
2. Cơ sở thực tiễn:
- Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán tìm chữ số tận cùng thì
các em thờng lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng.
Các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ là tham số.
- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về dạng toán tìm chữ số tận cùng,
tôi đã phân rõ các phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đợc cách
phân dạng Toán; từ đó các em đa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để có
cách giải nhanh nhất.
- Với những giáo viên cha đợc nghiên cứu về dạng Toán tìm chữ số tận
cùng, nếu nắm đợc các phơng pháp tìm chữ số tận cùng thì sẽ nâng cao đợc
năng lực t duy và năng lực chuyên môn.
II. Mục đích nghiên cứu:
- Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác
nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi đó học sinh sẽ có
đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán

Ta viết:
A = n
k
= (10q + r)
k
= 10
t
+ r
k
với r

N; 0

r

9
Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r
k
- Nếu A = 100a +
bc
=
abc
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của A.
- Nếu A = 1000a +
bcd
=
abcd
thì

0
+
bac
n
n
11
.

+.
nn
n
nn
n
bcbac ...
11
+

II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9
9
9

Giải:
Xem số M = 9
k
; k

N
- Nếu k chẵn


9
9
có chữ số cuối cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2
4
3
Giải:
B = 2
4
3
= 2
81
= (2
5
)
16
.2 = 32
16
.2
= (30 + 2)
16
. 2 = 10q + 2
17
= 10q + (2
5
)
3
.2
2
= 10q + (10q + 2)


25
Do đó 2
1000
chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhng 2
1000

4
suy ra 2
1000
tận cùng là 76

2
999
tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2
999


4

2
999
tận cùng là 88
Vậy C = 2
999
có hai chữ số tận cùng là 88.
Bài4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3
999
Giải
Ta có: 9

9 +1) tận cùng là 5

9
4
9
3
+ 9
2
9 +1 = 10q + 5
4
Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật


9
5
+ 1 =100q + 50

9
10
1 = ( 9
5
+1 )( 9
5
1 ) = 100
t

Ta lại có :3
1000
1 = 9
500


Giải
A = 9
9
9
= ( 10 1)
9
9
có dạng: ( 10 1)
n
với n = 9
9
ta lại có
A = C
0
n
. 10
n
- C
1
n
.10
n-1
+ + C
1

n
n
.10 - C
n

= (10-1) với m = 9
9
9
=
m
m
m
m
m
m
m
m
cccc
++

10....10.10.
1110

B có hai chữ số cuối cùng với số:
B =
11010.
1
=

mcc
m
n
m
m
Số m = 9

)
n
; (
6a
)
n
tận cùng lần lợt là 1; 5; 6.
+ (
3a
)
4
; (
7b
)
n
; (
9b
)
n
tận cùng bằng 1.
+ (
2a
)
4
; (
4a
)
4
; (
8a

n
, 5
2
tận cùng là 25.
3. Các số có dạng:
(
01a
)
n
; (
25a
)
n
, (
76a
)
n
có 2 chữ số tận cùng lần lợt là: 01, 25, 76.
II. Bài tập:
Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9
9
9
Giải
Ta có: 9
2m
tận cùng là 1
9
2m+1
tận cùng là 9
Suy ra: 9