MỤC LỤC
Mụclục.................................................................................................................1
I. Lý do chọn đề tài............................................................................................ .2
II. Nội dung đề tài................................................................................................3
1. Ứng dụng trong giải tích tổ hợp.......................................................................3
1.1. Tính hệ số của một số hạng trong khai triển một biểu thức .................4
1.2. Liên quan đến tổng các hệ số của các số hạng trong một khai
triển......7
1.3. Các bài tập làm
thêm .............................................................................9
2. Ứng dụng giải phương trình .........................................................................11
2.1.Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên [a,b] ....................12
2.2.Đối với Loại phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm)....................19
2.3.Đối với Loại phương trình dạng f(u)= f(v).............................................23
2.4.Sử dụng định lí Lagrange........................................................................26
2.5.Các Bài tập làm thêm..............................................................................29
III. Kết luận........................................................................................................33
IV. Tài liệu tham khảo......................................................................................34

-1-
I. Lý do chọn đề tài:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, chính vì tầm
quan trọng của đạo hàm nên trong chương trình môn toán THPT hiện nay, đạo
hàm được trình bày ở chương 5 trong chương trình môn toán lớp 11 ( khác với
chương trình cải cách trước đây) và chương 1 trong chương trình môn toán lớp
12 nhằm giúp học sinh sớm tiếp sớm cận với đạo hàm và giúp các em thấy được
một số ứng dụng cơ bản của đạo hàm .
Học sinh khi tiếp cận với một bài toán trước hết cần phải lựa chọn công
cụ giải quyết bài toán hợp lý và tối ưu. Đối với nhiều bài toán về phương trình
và tổ hợp thì công cụ đạo hàm là một công cụ hữu hiệu, hơn nữa thông qua đó
giúp học sinh phát triển tư duy về phân tích, đánh giá, tổng hợp và so sánh....

. Mà khi giải
các bài toán liên qua đến tổ hợp học sinh gặp rất nhiều các dạng toán liên quan
đến các hệ số của các số hạng khi khai triển nhị thức Niutơn, từ đây tôi hướng
học sinh đến suy nghĩ liệu rằng có một mối liên hệ nào đó giữa đạo hàm với nhị
thức Niutơn hay không ? để trả lời câu hỏi này tôi xin giới thiệu :
Phương pháp đạo hàm trong 2 bài toán cơ bản :
• Tính hệ số của một số hạng nào đó trong khai triển NiuTơn.
• Tính toán liên quan đến tổng các hệ số của các số hạng của một đa thức .
Đối với dạng toán này ta chú ý đến một tính chất hết sức quan trọng là
(ax
n
)’ = a.n.x
n-1
-3-
ta thấy rằng hệ số a.n chẳng qua là kết quả thu được của đạo hàm biểu thức a.x
n
sau đó chọn x=1
Như vậy tôi nhấn mạnh cho Học sinh thấy khi gặp bài toán có chứa hệ số kiểu
a.n ta chú ý ngay đến cách dùng đạo hàm
1.1.Tính hệ số của một số hạng trong khai triển một biểu thức :
Bài toán 1 . Gọi a
1
, a
2
, a
3
, a
11
là các hệ số trong khai triển sau :
(x+1)

100
10
CxCxC...xCxC
+++++
⇒
(x+1)
10
.(x+2) = (
10
10
9
10
28
10
91
10
100
10
CxCxC...xCxC
+++++
)(x+2)
=
xCxCxC...xCxC
10
10
29
10
38
10
101

10
C
= 672
Đối với bài toán này các tài liệu tham khảo đều đi theo hướng giải trên,
với cách giải này trước hết học sinh khai triển nhị thức (x+1)
10
, sau đó nhân số
hạng để xác định được biểu thức nào có chứa số hạng cần tìm mới đi đến được
kết quả.
Ta xét một bài toán phức tạp hơn
Bài toán 2 .
Khai triển biểu thức (x
2
+ 3x+1)
20
chứa số hạng a.x
2
.
Tính a.
Giải Bài toán 2.
Cách 1. ( Cách giải truyền thống )
-4-
Dùng khai triển nhị thức NiuTơn ta có :
(x
2
+ 3x+1)
20
= [x
2
+ (3x+1)]

1)(3xxC
+
=
=
19
20
C
x
2
[
19
19
18
19
217
19
181
19
190
19
C(3x)C(3x)C...(3x)C(3x)C
+++++
]
⇒
hệ số của x
2
là :
19
20
C

++++++
x
]
⇒
hệ số của x
2
là :
20
20
C
.
18
20
C9
= 1710
Vậy hệ số của số hạng chứa x
2
của khai triển (x
2
+ 3x+1)
20
là : 1730
Đối với loại toán này đa số các tài liệu tham khảo đều đi theo hướng giải
trên, với cách giải này khó hơn bài toán 1: trước hết học sinh cần phải khéo léo
tách khai triển của 3 số hạng về khai triển của 2 số hạng để từ đó áp dụng khai
triển nhị thức NiuTơn , sau đó phải nhận dạng được biểu thức nào có chứa số
hạng cần tìm mới đi đến được kết quả.
Theo tôi các bài toán này nên giải bằng công cụ đạo hàm sẽ đơn giản hơn.
Trước hết ta xét ví dụ sau :
Ví dụ : Xét khai triển sau f(x)= (x+2)

.( Ax
2
+ Bx+ C)
m
có dạng là một đa thức.
Bước 2. Nhận dạng cấp đạo hàm cấp k cần tính : thông qua hệ số cần tính là hệ
số của lũy thừa k.
Bước 3. Thay x = x
0
thích hợp .
Tôi xin minh họa lời giải bằng công cụ đạo hàm của 2 bài toán vừa nêu trên .
Giải Bài toán 1.
Cách 2.
Bước 1. Khai triển có dạng f(x)= x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9
+...+ a
11
.
Bước 2. Cần tính đạo hàm cấp 6
Bước 3. Chọn x
Vậy để tính được a
5

⇒
a
5
=
6!
(0)f
(6)
=
6.5.4.3.2.1
5.6.7.8.9.106.7.8.9.10.11
+
= 672
Giải Bài toán 2.
Cách 2.
Bước 1. Khai triển có dạng f(x)= a
40
.x
40
+ a
39
.x
39
+...+a
3
.x
3
+a
2
.x
2

39
.x
37
+...+3.2.a
3
.x+2.a
2
.
Bước 3. Chọn x
Vậy để tính được a= a
2
thì các số hạng còn lại phải triệt tiêu, do đó chọn x=0 thì
thu được a
2
=
2
(0)f"
(1)
mặt khác f ’(x)= 20(x
2
+ 3x+1)
19
(2x+3)
f ”(x) = 20.[19.(x
2
+ 3x+1)
18
(2x+3)
2
+ 2(x

3
.x
3
+a
2
.x
2
+a
1
.x
1
+a
0
Tính tổng S= a
0
+ a
1
+ 2.a
2

+ 3.2.a
3
.2

+ ... + 100.99.a
100
.2
98
Bài toán 4.
Khai triển (1+x-2x

0
+a
1
+ 2a
2
+3a
3
+...+29a
29
+30a
30
Rõ ràng loại toán này nếu dùng khai triển nhị thức Niutơn sẽ rất phức tạp thậm
chí không thể giải được .
Theo tôi các bài toán này nên sử dụng công cụ đạo hàm khá đơn giản.
Trước hết ta xét ví dụ sau :
Ví dụ : Xét khai triển sau f(x)= (x+2)
3
= x
3
+6x
2
+12x+8
= a
3
.x
3
+a
2
.x
2

+2.a
2

Từ những nhận xét hết sức quan trọng này tôi hình hành cho học sinh các bước
giải như sau :
Bước 1. Nhận dạng tổng cần tính có thể sử dụng đạo hàm : dựa vào số hạng thứ
n của tổng có dạng : n.(n-1).a
n
.a
n-2
Bước 2. Nhận dạng cấp đạo hàm cấp cần tính : thông qua số hạng tổng quát thứ
n.
Bước 3. Thay x = a thích hợp.
Dưới đây tôi xin minh họa bằng 2 bài toán
Giải Bài toán 3.
Bước 1. nhận dạng tổng cần tính
Ta nhận xét u
100
=100.99.2
99
.a
100
thì 100.99.2
99
là hệ số của (x
100
)”, sau đó thay
x = 2
Bước 2. cần tính đạo hàm cấp 2
Ta có : f’(x)= 100.a

ta được S*= 2.a
2

+ 3.2.a
3
.2

+ ... + 100.99.a
100
.2
98
=f”(2)
còn a
0
=f(0), a
1
=f’(0)
nên S= f(0)+f’(0)+S*
a
0
=f(0)=1
mặt khác f’(x)= 100(x+1)
99
=> a
1
= f ’(0) = 100
f”(x)= 100.99.(x+1)
98
=> S*= f”(2)=100.99.3
98

1
.x
1
+a
0

Ta có : f’(x)= 30.a
30
.x
29
+ 29.a
29
.x
28
+...+3.a
3
.x
2
+2.a
2
.x+a
1
=> f’(x)= 30.a
30
.x
29
+ 29.a
29
.x
28

9
(3x
2
-4x+1) => f’(1)= 0
Vậy ta có S= 1.
Các bài tập làm thêm
Bài 1. Xét khai triển nhị thức (3x+2)
15
(3x+3) .
Tính hệ số của số hạng chứa x
3
trong khai triển.
Bài 2. Xét khai triển ( 2x
3
-3x+1)
10
.
Tính hệ số của số hạng chứa x
1
trong khai triển .
Hai bài 1,2 làm hoàn toàn như trong các bài toán mẫu. Tôi muốn khắc sau lại
cho học sinh các kỹ năng cơ bản của phương pháp này.
-9-
Các bài sau là các bài tập nâng cao để các em phát triển tư duy và kỹ năng phối
hợp nhị thức Niutơn và đạo hàm.
Bài 3. Với số nguyên dương r và r
≤
n. Chứng minh rằng :
0.CC1)(....CC1)(.CC1)(
n

1
n
0
n
2).2(n1)C(n...3.C2.CC +=+++++
HD : xét hàm số f(x) = x(1+x)
n
• Khai triển và đạo hàm cấp 1, hai vế theo biến x
• Thay x = 1.
Ở bài toán này tôi muốn rèn luyện kỹ năng lựa chọn hàm số .
Bài 5. Chứng minh rằng :
2
2n
n
33
n
22
n
21
n
]1)!-[(n
1)!-(2n
)n.(C...)3.(C)2.(C)(C
=++++
HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)
n
• Đạo hàm cấp một theo x, hai vế và suy ra x.f’(x) (1)
• Thay x bởi
x
1

2 là số nguyên.
HD : Xét hàm số f(x)= x.
n
x
1
1






+
• Đạo hàm cấp một theo x, hai vế
• Thay x = n-1.
2. Ứng dụng giải phương trình :
Khi giải phương trình vô tỉ, mũ, logarít học sinh gặp một số phương trình mà
việc giải các phương trình này bằng phương pháp thông thường ( phương
pháp :đặt ẩn phụ, lũy thừa,...) gặp khó khăn, vậy phải dùng công cụ nào để giải
quyết đây ?
Nhìn lại định nghĩa về phương trình thì thấy rằng mỗi một phương trình
chẳng qua là sự tương giao của 2 đồ thị của 2 hàm số nào đó trong một phương
trình đã cho, mà một trong những công cụ khảo sát đồ thị của một hàm số một
cách “lợi hại” đó chính là đạo hàm. Vậy thử sử dụng công cụ đạo hàm có được
không ? nếu sử dụng thì sử dụng như thế nào ?
Trước hết tôi yêu cầu học sinh phải nắm được các tính chất cơ bản sau :
 Tính chất 1. Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên tập D
⊂
R, với x
1

(a,b) để f(x
0
) = 0.
-11-
 Tính chất 4. Nếu hàm số f(x) liên tục trên và đơn điệu trên [a,b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại duy nhất một điểm x
0
∈
(a,b) để f(x
0
) = 0.
2.1. Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên [a,b] :
Ví dụ mở đầu .
a) Trước hết ta xét phương trình sau : 4
x
+3.2
x
= 10
Nhận Xét : đặt t = 2
x
, ta được phương trình bậc 2 theo t. Giải phương trình
này tính được t từ đó tính được nghiệm x của phương trình.
Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới : vế trái “có vẻ”
là hàm số tăng trên TXĐ của phương trình, dựa vào tính chất 3 thì phương
trình tồn tại nhiều nhất một nghiệm và dễ dàng thấy x = 1 là nghiệm.
b) Xét phương trình phức tạp hơn :
x1
−
-
3x


Nhận xét : Bài toán này học sinh thường giải như sau:
+) bình phương 2 vế của phương trình ta được
(5)
⇒
2x -1+ 2
2)-1)(x(x
+
= 3x +39-14
103x
+
+) tới đây không thể đặt ẩn phụ cũng như bình phương 2 vế được nữa vì rất
phức tạp
Do đó nghĩ đến một cách giải khác
Bước 0.
Dấu hiệu : nếu quan sát kỹ sẽ nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn là các hàm
số là các hàm số tăng ( hàm số bậc nhất có hệ số a > 0 ).
Nên ta nghĩ đến việc sử dụng công cụ đạo hàm .
Giải Bài toán 5.
ĐKXĐ của phương trình là : x
≥
2
Bước 1. Xây dựng hàm số : f(x)=
103x2x1x
++−++
-7 , với x
≥
2
Bước 2. Xét dấu đạo hàm
ta có f’(x)=