GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

PHẦN 6 : TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Riêng thầy – cô có cần file word phần này phục vụ việc giảng
dạy vui lòng liên hệ trực tiếp mình
Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh
Add facebook – zalo : 0914449230

Định lý : Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị tại điểm M(x0;y0 = f(x0)) : k = f '(x o )
Phương trình tiếp tuyến

Yêu cầu bài toán
Tiếp tuyến tại M(x 0 ; y0 ) ∈ (C)

y=
− y0 f '(x 0 ).(x − x 0 ) (1)
k = f '(x 0 ) :hệ số góc
Tiếp tuyến có hệ số góc k cho

► Gọi M(x 0 ; y0 ) ∈ (C) là tiếp điểm

trước

► Giải pt : f '(x 0 ) = k ⇒ x 0 ⇒ y0
► Áp Dụng (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến

Tiếp tuyến song song với


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

Tiếp tuyến đi qua điểm

► Gọi M(x 0 ; y0 ) ∈ (C) là tiếp điểm

A(x A ; y A ) ∉ (C) cho trước

► Tiếp tuyếm tại M là

− y0 f '(x 0 ).(x − x 0 ) (1)
(∆) : y =
► (∆) qua A: thay tọa độ A vào (1)

⇒ x 0 ⇒ y0 ⇒ phương trình tiếp tuyến
y k1x + c1
=
=
 y k 2 x + c2

◙ Lưu ý : hai đường thẳng : 

−1 ,
☻ vuông góc với nhau ⇔ k1.k 2 =

k 2 và c1 ≠ c 2
☻ song song ⇔ k1 =


9
9

Gọi M(x0; y0) thuộc (C) là tiếp điểm

103

1
x − 2009 .
9


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là

k=
f '( x 0 ) =
−3x 0 2 + 6x 0

1
9

Tiếp tuyến vuông góc với (d) suy ra f'(x 0 ) =−1 ⇔ f'(x 0 ) =−9
 x 0 =−1 ⇒ y0 =3
⇔ −3x 02 + 6x 0 + 9 = 0 ⇔ 
3 ⇒ y0 =
−1
x0 =


( x 0 + 1)

2

Theo giả thiết, ta có

.
x0 = 0
2
=
2
⇔
x
+
1
=⇔
1
(
)
0
 x = −2 .
2
( x 0 + 1)
 0
2

●Với x 0 = 0 , suy ra M ( 0; −1) . Phương trình tiếp tuyến là d1 : y = 2 ( x − 0 ) − 1 .
●Với x 0 = −2 , suy ra M ( −2;2 ) . Phương trình tiếp tuyến là d 2 : y = 2 ( x + 2 ) + 2 .


Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d : y =
−1( x + 1) + 2 hay d : y =− x + 1 .
Ví dụ 05 : Cho hàm số y =x 3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1 ( m là tham số thực). Tìm
m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x 0 = −1 đi qua

điểm A (1;2 ) .
♥ Giải : Ta có y' = 3x 2 + 6mx + ( m + 1)
Với x 0 = −1, suy ra y0 = ( −1) + 3m ( −1) + ( m + 1)( −1) + 1 = 2m − 1.
3

2

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = y' ( −1) = 4 − 5m.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng x 0 = −1 là:
d : y = ( 4 − 5m ) .( x + 1) + 2m − 1 .

Theo giả thiết, tiếp tuyến đi qua A (1;2 ) nên 2 = ( 4 − 5m ) .(1 + 1) + 2m − 1 ⇔ m =

105

5
.
8


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Vậy m =

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

⇔
⇒ A ( 0; −2 )
x
1
−


y
2
=
−

 x = 0

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k = f ' ( 0 ) = −4
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là d : y =
−4 ( x − 0 ) − 2 hay
d:y =
−4x − 2.

− x 3 + 3x 2 − 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
Ví dụ 07 : Cho hàm số y =
−9x + 25 .
thị biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : y =

−3x 2 + 6x ;
♥ Giải : Đạo hàm y' =
−9x + 25 có hệ số góc là – 9
Đường thẳng ∆ : y =



Với x 0 = 3 , suy ra phương trình tiếp tuyến: d 2 : y =
−9 ( x − 3) − 2 hay
d2 : y =
−9x + 25

(loại (d2) vì đường thẳng này có phương trình trùng với ∆)
Vậy tiếp tuyến cần tìm là d1 : y =
−9x − 7
☻ Chú ý : đối với tiếp tuyến song song – chúng ta nên loại đi những
phương trình trùng với phương trình đường thẳng đề cho !!!
Ví dụ 08 : Cho hàm số y =x 3 − 3x 2 + 4 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0 , biết x 0 thỏa mãn y'' ( x 0 + 1)= 2x 0 + 4.
♥ Giải : Gọi M ( x 0 ; y0 =x 30 − 3x 02 + 4 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số (tiếp điểm)

= 6x − 6 .
y' 3x 2 − 6x ; y''
Ta có đạo hàm =
Theo

đề

bài,

ta

y'' ( x 0 + 1)= 2x 0 + 4 ⇔ 6 ( x 0 + 1) − 6= 2x 0 + 4 ⇔ 4x 0= 4 ⇔ x 0= 1.

107



9m + 5
.
3

−4
 −4 
⇒ tọa độ tiếp điểm M  2; 
3
 3 

Tiếp tuyến ∆ với ( C ) tại M có phương trình :
y=
y'(2).( x − 2 ) −

4
4
14
⇔y=
−3 ( x − 2 ) − ⇔ y =
−3x +
3
3
3

m 2 − 4 =−3
m 2 = 1

Ta có ∆ / /d ⇔  9m + 5 14 ⇔ 
⇔m=

⇒ OB = OA
⇒ tiếp tuyến có hệ số góc

OB
k=
±
=
±1 .
OA

The đề ta có : y' ( x 0 ) = ±1
 x 02 − 2x 0 − 1 =
x = 1 ± 2
0
⇔ 2
⇔ 0
0
 x 0 = 1
 x 0 − 2x 0 + 1 =

108


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH
Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

2
2
2


Ví dụ 11 : Cho hàm số: y =

x
( C ). Tìm tọa độ điểm M thuộc ( C ) sao cho
x +1

tiếp tuyến của ( C ) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
♥ Giải : Gọi M ( x 0 ; y0 ) thuộc (C) là tiếp điểm
Đạo hàm
=
y'

1

( x + 1)

2

> 0, ∀x ≠ −1

109


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

Tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác cân, thì hệ số góc của tiếp
OB
OA


x+3
. Phương trình tiếp tuyến
2 ( x + 1)

với (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường
trung trực của AB đi qua gốc tọa độ có hệ số góc là
A. k = 1

B. k = −1

C. Cả A và B

D. Không có

♥ Giải :

Đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ
là gì vậy ?????
Ồ ! Vậy hệ số góc tiếp tuyến là

Ý nói đó là tam
giác vuông cân
Nên : OA = OB
đó bạn !

OB
k=
±
=


5
8

D. Đáp án khác

x3
− x + 1 . Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm
Câu 2 : Cho hàm số y =
3

số tại điểm M nằm trên đồ thị hàm số thì hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất là
A. −1

B. −2

C. 3

D. Đáp án khác

Câu 3 : Cho hàm số (C) :=
y

1 3
x − x 2 . Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
3

điểm có hoành độ x 0 = 1 là
A. y =− x + 1
C. y =


Câu 5 : Cho hàm số (C) : y = x 3 − 4x + 3 . Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
giao điểm của (C) và trục tung có tung độ góc là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 6 : Các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

2x + 1
có hệ số góc bằng −5 lần
x−2

lượt tiếp xúc đồ thị hàm số tại A và B
6.1 : tọa độ A và B là
A. A(0;2), B(1;3)

B. A(1;7),B(1; −2)

C. A(3;7), B(1; −3)

D. A(−1;7),B(1; )

2
3


1
x+
5
4

B. =
y

C. =
y

1
3
x+
5
5

D. 5y= x −

Câu 8 :

1
1
x+
5
5
1
5

: y =x 3 − 3x 2 + 2 (C) . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị

D. Đồ thị hàm số đi qua điểm I (1; −2 )
Câu 10 :

: y =x 3 + 3x 2 − 2 (C) . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị

0 có tung độ góc lần lượt là
(C) và vuông góc với đường thẳng d : x + 9y − 3 =

m và n. Tổng của m và n là
A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

Câu 11 :

: y=

2x + 1
(C) . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
x −1

và vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) : − y + 3x + 2 =0 có phương trình
0
A. x + 3y − 2 =

0


Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

: y = f ( x ) (C) . Gọi (d) là tiếp tuyến với (C) và cắt Ox,

Oy lần lượt tại 2 điểm A, B sao cho OB = 4OA thì hệ số góc của (d) lúc này là

1
4

A. k = 4

B. k = ±

C. k = −4

D. k = ±4

Câu 14 :

=
: y f=
(x)

2x − 1
(C) . Gọi (d) là tiếp tuyến với (C) và
x −1

cắt Ox, Oy lần lượt tại 2 điểm A, B sao cho tam giác OA = 4OB thì hệ số góc
của (d) lúc này là

D. y =
2

Câu 16 : Xác định hệ số góc của d biết d làtiếp tuyến của đồ thị hàm số
y=

x+2
và d cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B phân biệt thỏa
x −1

mãn điều kiệu OB = 3OA.
A. 0

B. 3

C. 2

D. −3

114


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

Câu 17 : Có bao nhiêu đường thẳng d thỏa mãn d là tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y =


−3x − 9
D. d : y =

(x)
Câu 19 : Cho đường cong (C)=
: y f=

x−2
. Khi đó tiếp tuyến của (C) và
x+2

song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là
x 1; y =+
x 7
A. y =+

x 1; y =+
x 7
B. y =−

x 1; y =−
x 7
C. y =−

x 1; y =−
x 7
D. y =−

Câu 20 : Cho đường cong (C)=
: y f=

GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH
C. M ( 0; −1)

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230
D. M ( 0; −15 )

Câu 22 : Cho đường cong (C) : y = f ( x ) = x 3 − x 2 + 4 và đường thẳng (d) :
y= x + 3 . Có bao nhiêu tiếp tuyến với (C) vuông góc (d)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 23 :

: y =x 3 + 3x 2 + 1 (C) . Phương trình tiếp tuyến với (C) có

hệ số góc k = 9 có phương trình
y 9x − 4 hay =
y 9x + 29
A. =
y 9x − 4 hay =
y 9x + 28
B. =
y 9x − 7 hay =
y 9x + 28


tại điểm A trên hình vẽ của đồ thị hàm số (C) là
y 3x + 1
A. =

1
-2

y 3x + 2
B. =
y 3x − 1
C. =

-1

O
-1

y 3x − 2
D. =

116

A
1

2

x


độ bằng 3
−3x + 13
A. y =

y 2x + 2
B. =

y 3x − 1
C. =

−3x + 1
D. y =

x4
Câu 28 : Cho hàm số y = − 2x 2 + 3 (C). Tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) có
4

hoành độ bằng −1
−3x + 13
A. y =

C. =
y 3x −

17
4

B. =
y 3x +



D. 54

117


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

Câu 31 : Cho hàm số y =x 3 − 3x 2 + 2 (C). Trong tất cả các tiếp tuyến với (C)
tại điểm M thuộc (C) thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là
A. - 3

B. 3

C. 4

D. - 4

Câu 32 : Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1 (C). Số tiếp tuyến với (C) và vuông góc
0 là
với đường thẳng 9x − y − 15 =

A. 1

B. 2

C. 3



D. m = −1

− x 3 + 3x 2 (C). Tiếp tuyến với (C) và vuông góc với
Câu 35 : Cho hàm số y =
1
9

đường thẳng y = x tại các tiếp điểm
A. (-1; 4), (3;0)

B. (-1; 4), (2;0)

C. (-1; 3), (2;0)

D. (0; 4), (2;0)

118


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230
2x + 1
=
y f=
(C) có hoành độ x0
Câu 36 : Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số
(x)
x −1


D. y = x

Câu 38 : Cho hàm số y =f ( x ) =x 3 − 3x 2 + 2x có đồ thị là (C). Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 là
y 11x + 2
A.=

y 11x + 3
B.=

C. y= x + 4

y 11x + 5
D.=

Câu 39 : Cho hàm số y =f ( x ) =x 3 − 3x 2 + 2x có đồ thị là (C). Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có tung độ bằng 6 là
y 11x − 12
A.=

y 11x + 3
B.=

y 11x − 4
C.=

y 11x − 27
D.=



A. y =− − 4

− +
B. y =

C. y =− x − 4

D. y = 2x

Câu 42 : Cho hàm số =
y f ( x=
) ( 2 − x ) .x 2 có đồ thị là (C). Hệ số góc tiếp
2

tuyến tại gốc tọa độ O là.
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 43 : Cho hàm số =
y f ( x=
) ( 2 − x ) .x 2 có đồ thị là (C). Hệ số góc tiếp
2

tuyến tại điểm có hoành độ x = 3 là.

Câu 45 : Cho hàm số =
y f ( x=
) ( 2 − x ) .x 2 có đồ thị là (C). Hệ số góc tiếp
2

tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 là.
A.

4
3

C. −

B. 0
32
27

D.

15
17

120


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230
x +1
Câu 46 : Cho hàm số

C. Cả A và B đều đúng

D. Cả A và B đều sai

x3 m 2 1
f ( x ) = − x + có đồ thị là (C). Với giá trị nào
Câu 48 : Cho hàm số y =
3 2
3

của tham số m thì tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = -1 song song
với đường thẳng y = 5x
A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

Câu 49 : Cho hàm số y = f ( x ) có đồ
thị là (C) như hình 1.
Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm A là
A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

B.

C.

1
3

D. −1

Câu 52 : Cho đồ thị hàm số y =f ( x ) =x 3 − 3x 2 + 2 (C). Gọi x1 , x 2 là hoành độ
các điểm A, B trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là – 3.
Khi đó x12 + x 22 =
A. 5

B. −1

C. 2

D. 3

Câu 53 : Cho đồ thị hàm số y =f ( x ) =x 3 − 3x 2 + 2 (C). Gọi x1 , x 2 là hoành độ
các điểm H, I trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường
1
24

thẳng y =
− x + 2017 . Khi đó x13 + x 32 =
A. 55

B. 56


D. 4

122


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230
Câu 55 : Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x + 1 (C). Gọi x1 , x 2 là hoành độ

các điểm E, F trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) song song với đường
y 9x − 4 . Khi đó x13 + x 32 =
thẳng =

A. 0

B. 56

C. 5

D. 5

Câu 56 : Cho đồ thị hàm số y =

x
(C). Gọi x1 , x 2 là hoành độ các điểm A,
x −1

B trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) có hệ số góc là – 1. Khi đó x13 + x 32 =

3

B. −3
D. −

1
3

Câu 59 : Cho hàm số y = 2x 3 − 3(m + 1)x 2 + 6mx (1) , với m là tham số thực. Với
giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao
cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2
A. m = 0

B. m = 2

C. Cả A và B đều sai

D. Cả A và B đều đúng

123


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Câu 60 : Cho hàm số y =

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

2x + 1
có đồ thị là (C). Gọi M là điểm thuộc (C) có

D. 0

Câu 62 : Cho hàm số y =

2x − 1
có đồ thị là (C). Gọi M là điểm thuộc (C) có
x −1

hoành độ bằng 0. Gọi d là tiếp tuyến với (C) tại M. Chọn đáp án đúng
A. Đường thẳng d vuông góc với IM
B. Đường thẳng d song song với IM
C. A và B đều sai
D. A đúng - B sai
Câu 63 : Cho hàm số y =

x+3
có đồ thị là (C). Gọi M là điểm thuộc (C) mà
2 ( x + 1)

tại đó tiếp tuyến với đồ thị (C) cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường
trung trực của AB đi qua gốc O. Phương trình tiếp tuyến tại M là
A. y =− x +

3
2

C. A đúng, B sai

B. y =− x −


2x − 1
(C). Tiếp tuyến với đồ thị (C) cắt Ox, Oy lần
x −1

lượt tại A và B sao cho OA = 4OB có phương trình là :
1
4

− x+
A. y =

1
4

5
4

− x+
B. y =

C. A, B đều sai

13
4

D. A, B đều đúng.

Câu 66 : Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M(x0;y0) (với y0 = f(x0))
A. y − y0 =x − x 0


C. y = 2

D. y= x − 1

125


GV. ThS NGUYỄN VŨ MINH

Đăng kí học tại BIÊN HÒA qua sđt : 0914449230

Câu 69 : Cho đường cong (C)=
: y f=
(x)

x +1
. Tiếp tuyến với đường cong
x −1

(C) tại điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = 2 chắn trên hai trục tọa độ một
tam giác có diện tích bằng
A.

49
(đvdt)
2

B.


C.=
y

9
16

8
x + 1 có phương trình
27
27
8

B. y =
− x+

8
x+3
27

D. =
8y 27x −

9
17

1
2

2x 3
+ x 2 + 4x − 2 , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết

17
1
2

2x
và có hệ số góc của
x −1

tiếp tuyến bằng − 2.
−2x −
A. y =

25
12

−2x + 8
B. y =

C. y = −2x

D. Cả B và C

126