HÌNH HỌC SƠ CẤP
Bài 1. Một số định lý cơ bản
1. Định lý Xêva: Cho tam giác ABC. A’, B’, C’ lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
BC, CA và AB. Chứng minh rằng AA’, BB”, CC’ đồng quy tại K khi và chỉ khi
' ' '
. . 1
' ' '
AC BA CB
C B A C B A
=
.
Giải:
(⇒) Giả sử AA’, BB”, CC’ đồng quy tại K.
Theo định lý Talet ta có:
' ' '
, ;
' ' '
AC AJ BA AI CB CB
CB
C B A C AJ B A AI
= = =
' ' '
. . . . 1
' ' '
AC BA CB AJ AI CB
C B A C B A CB AJ AI
⇒ = =
.
(⇐) Giả sử (1)
Gọi K là giao điểm của AA’ và BB’. Giả sử CK cắt AB tại C’’. Ta có AA’, BB’, CC’’
đồng quy tại K nên theo phần a) ta có:

C
.
5. Trong một tam giác 3 đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm của đường tròn nội
tiếp với cạnh đối diện đồng quy tại một điểm G. Gọi là điểm Giecgôn.
6. Trong một tam giác 3 đường thẳng nối mỗi đỉnh với tiếp điểm của đường tròn bàng
tiếp thuộc cạnh đối diện đồng quy tại một điểm N. Gọi là điểm Naghen.
2. Định lí Giecgôn
Cho tam giác ABC, K là điểm trong miền tam giác kể cả biên. AK, BK, CK lần lượt cắt
các cạnh đối diện của tam giác tại A’, B’, C’. Thế thì ta có:
a)
' ' '
1
' ' '
KA KB KC
AA BB CC
+ + =
.
b)
2
' ' '
KA KB KC
AA BB CC
+ + =
.
3. Công thức tính diện tích tam giác có 3 đỉnh là chân 3 đường thẳng Xêva.
A
B
C
K
A’

2
' (1 )(1 )(1 ) víi
a b c
S
S
π λ λ λ
π
−
= = − − − −
4. Đường thẳng Ximxơn:
Định lí: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. A’, B’,
C’ là chân đường cao hạ từ M xuống 3 cạnh BC, CA, AB (kể cả phần kéo dài). Thế thì
A’, B’, C’ thẳng hàng. Đường thẳng nối 3 điểm A’, B’, C’ gọi là đường thẳng Ximxơn.
5. Định lí Stioa:
Cho tam giác ABC. D là điểm nằm trên cạnh BC với BD = m, CD = n. Thế thì ta có:
ad
2
= mb
2
+ nc
2
- a.m.n
d = AD.