Phương pháp nghiên cứu khoa học
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH
TỖ: TOÁN
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO-FX 570ES PLUS
TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Bắc bình,ngày 8 tháng 12 năm 2014
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
1
Phương pháp nghiên cứu khoa học
I.
Lí do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng cao nhưng lại có ứng dụng
III. Phạm vi nghiên cứu.
Trong đề tài này chỉ nghiên cứu các dạng phương trình vô tỷ thường gặp ở các cấp bậc phổ
thông, trong các kì thi tốt nghiệp và đại học.
IV.
Định nghĩa phương trình vô tỷ.
Trong chương trình toán phổ thông, phương trình vô tỷ không được đưa vào sách giáo khoa
một cách chính thức, tuy nhiên trong hầu hết các đề thi đại học- cao đẳng và thi Olympic toán thì
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
2
Phương pháp nghiên cứu khoa học
phương trình vô tỷ là một dạng toán thường xuất hiện. Trong sách giáo khoa toán không có định
nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, nhưng qua các bài toán và một số tài liệu tham khảo khác
thì phương trình vô tỷ là những phương trình chứa căn thức.
V. Kiến thức cần nắm.
Ngoài các kiến thức cơ bản khi giải phương trình đại số bậc 1, bậc 2 ở phổ thông, học sinh
cần nắm một số kĩ thuật giải phương trình vô tỷ thông dụng (đã được học trong bậc THPT và
luyện thi đại học) như sau:
-
-
Đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng đơn giản hơn hoặc đưa về hệ phương trình đối
xứng, đẳng cấp loại 1, 2.
Các biến đổi đại số thường dùng như nâng lũy thừa, các phép tính khai triển và hằng
Phương pháp nghiên cứu khoa học
sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai vế (thông
thường sai số này rất bé khoảng 106 trở xuống).
3. Chức năng TABLE: (MODE 7)
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trị
biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức,
thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm
một cách tiết kiệm thời gian.
VII.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA
MÁY TÍNH CASIO FX-570ES PLUS
DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ:
Dạng: ax 2 bx c (dx e) Ax 2 Bx C(*) . ( a, b, c, d , e, A, B và C là các số đã biết ).
Cơ sở toán học:
Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định.
Với điều kiện trên, bình phương 2 vế của (*) ta được:
2
(ax 2 bx c) 2 (dx e) Ax 2 Bx C 0(**)
Giả sử: phương trình (**) có 2 nghiệm x1, x2 và x1.x2 = P1, x1 + x2 = S1 thì theo định lý Viete ta
có x1 và x2 là nghiệm của phương trình X2 – S1X +P1 =0.
Vế trái của (**) là một đa thức bậc 4 nên có thể phân tích thành tích của 2 tam thức bậc 2 nên
(**) trở thành: (X2 –S1X +P1 )( X2 - S2X +P2) =0. Khi đó việc giải phương trình (*) đưa về giải
hai phương trình bậc 2.
Tìm nghiệm của hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của
phương trình (*).
1
không là nghiệm của phương trình ban đầu
3
Phần 1: Tìm nghiệm.
Bước 1: Đoán khoảng nghiệm.
Với điều kiện trên (1) tương đương với (10x 2 3x 6)2 [2(3x 1) 2x 2 1]2 0(1').
Bấm MODE
7
(chọn TABLE).
Màn hình hiển thị f(X)= ta nhập biểu thức
Vào rồi nhấn dấu =
Chú ý rằng chữ x trong biểu thức f(x) được nhập bằng tổ hợp phím
ALPHA X. Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn
Tiếp theo nhấn
=
=
màn hình hiện ra chữ End?. Nhấn
khoảng (x1; x 2).
Cơ sở toán học: Hệ quả định lý giá trị trung gian:
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm
x (a; b).
Giáo trình giải tích hàm một biến - TS. Nguyễn Cam – trang 53
Trong ví dụ này ta được nghiệm trong khoảng (1;2), (-1;1) và (-2;-1).
Chú ý: Khi cho bước nhảy (Step?) càng nhỏ tức càng thu hẹp được khoảng nghiệm, bằng cách
nhấn tiếp AC
=
=1
=
2
=
0
.
1
=
Ta được một bảng giá trị của f(x) từ 1 tới 2.
Như vậy khoảng nghiệm hẹp hơn là (1.3; 1.4).
STO
A
Bước 3:
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
7
Phương pháp nghiên cứu khoa học
Quay lại bước 2, nhập vào giá trị x trong khoảng (-0.9, -0.8) , chẳng hạn “-0.85”.
4
7
Màn hình hiện kết quả X= -0.820852384.
Gán kết quả này vào phím B : . SHIFT
STO
B
Tiếp tục thực hiện lại các bước trên với 2 khoảng nghiệm còn lại.
Nhập x trong khoảng (-0.8; 0.8) chẳng hạn “ 0.75”
Màn hình hiện kết quả X=0.7247448714.
Gán kết quả này vào phím C:
SHIFT
Thu được A+B = , AB =
8
.
7
Vậy A và B là nghiệm của phương trình
2(1 15)
A
4
8
7
X2 X 0
7
7
B 2(1 15)
7
( A được nhập bằng phím
ALPHA
A
và B được nhập bằng
ALPHA
).
Vậy: Với điều kiện trên (1) trở thành
(10X 2 3X-6) 2 (2(3X+1) 2X 2 1) 2 0
4
8
5
X2 X X2 X 0
7
7
4
8
2 4
X 7 X 7 0
X2 X 5 0
4
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
9
Phương pháp nghiên cứu khoa học
x
2(1 15)
x
7
2(1 15)
x
7
1 6
x
2
Chú ý:
Để rút ngắn thời gian nhập lại nhiều lần biểu thức f(x) ở bước 3, sau khi nhập biểu thức f(x) ở
bước 2, ta nhấn
sau thành nhấn
=
rồi tiếp tục nhấn các tổ hợp phím như trên và thay các lần nhập biểu thức
∆
Ở những bài mà bằng cách đoán nghiệm, ta không thể tìm được đủ 4 nghiệm cũng có thể sử
dụng phương pháp này , sau khi biết được tam thức bậc 2 thứ nhất, ta sẽ tìm tam thức còn lại
bằng cách chia đa thức.
DẠNG 2: DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP
Đặt điều kiên:
2
4x 1 0
3 1 1
; ;
8 2 2
D=
Bước 2: Viết phương trình dưới dạng: 8x 5 2 4x 2 1 3 0 1
Bước 3: Nhập vế trái của phương trình 1 vào màn hình máy tính.
Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc
gần đúng.
Bấm SHIFT
máy hiện ra “Solve for X”,
CALC
Bấm
=
1
(vì 1 D) hoặc có thể chọn số khác.
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
1 8x 5 3 2 4x 2 1 0
4 2x 1
2 2x 1 2x 1 0
8x 5 3
2 2x 1
2 2x 1
2x 1 0
8x 5 3
2 2x 1
2x 1 0
8x 5 3
2x 1 0
2 2x 1
2x 1 0(vô nghiêm)
8x 5 3
1
x 2 (nhân)
1
2
Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x .
Biến đổi phương trình về dạng: B. a(x-x1)(x-x2)g(x)=0 với x1, x2 là nghiệm của phương trình
Màn hình hiển thị “f(X)=” nhập biểu thức “ 3x 2 x 3 3x 1 5x 4 ”vào rồi nhấn dấu .
Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Tiếp theo nhấn “
=
1
”
2
Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ End?, nhấn “10”
Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ Step?, nhấn “ ”
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
13
Phương pháp nghiên cứu khoa học
Tiếp theo nhấn “=”. Vậy ta được bảng gồm các giá trị của x từ
1
tới 10.
2
Nhìn vào bảng giá trị ta thấy tại x=0 và x=1 thì ta nhận được giá trị bằng 0. Vậy x=0 và x=1 là
hai nghiệm của phương trình.
Bước 3:
Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x(x-1).
Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần thêm -3x nữa. Vậy ta được
( nhân)
x 1
x 0
Vậy phương trình có nghiệm là:
x 1
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
14
Phương pháp nghiên cứu khoa học
DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2
VD: Giải phương trình x 2 2x 2 2x 1 (dạng ax 2 bx c k dx e )(1)
(a=1, b=-2, c=0, k=2, d=2, e=-1)
Bây giờ công việc của chúng ta là đặt ần phụ y theo x sao cho có thể đưa phương trình (1) về
dạng phương trình đối xứng loại 2. Ta cần xác định hệ số m, n hữu tỉ sao cho cách đặt:
my n 2x 1 (*) có thể đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng.
Nhận xét hệ số a=1 m=1. Vậy việc còn lại là ta cần xác định n nữa là xong. Bây giờ ta cần
xác định lại mục đích của ta là đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng x, y và hệ
đó phải có nghiệm x=y. Điều này giúp ta xác định n một cách dễ dàng hơn.
Ta tìm n dựa vào hệ thức (*) và nhận xét x=y.
n 2x 1 y 2x 1 x (với x là nghiệm của phương trình (1)). Nếu tìm được nghiệm x
sao cho n là số hữu tỉ thì bài toán coi như được giải quyết xong.
1
x
Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn
Tính
SHIFT
STO
A
2A 1 A . Ta nhập “ 2A 1 A ” vào màn hình máy tính rồi nhấn dấu “=”.
Màn hình hiện ra “-1”. Vậy ta được n=-1.
Đặt
y 1 2x 1(**)
y 2 2y 1 2x 1
x 2 2x 2(y 1)
2
y 2y 2(x 1)
x 2 y 2 2(x y) 2(y x)
(x y)(x y 4) 0
x y 0(2)
x y 4 0(3)
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
16
với học sinh trung học phổ thông – khảo sát hàm số.
Cơ sở toán học:
Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình vô tỷ
Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số
nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y
với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k.
Do f(x) đồng biến nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
17
Phương pháp nghiên cứu khoa học
Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:
* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giảiphương
trình: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x) = k
hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến
(nghịch biến)
Nếu là phương trình: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu là phương trình: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất một
nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn
nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình:
f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Nhấn
SHIFT
CALC
3
2
màn hình máy tính hiện ra “Solve for X”, nhấn “ ” ( có thể chọn
số khác ), nhấn “=”.
Màn hình hiện kết quả X1 = 1.618033989.
Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn
SHIFT
STO
Rồi tiếp tục nhập vế trái của (1’) vào màn hình máy tính, nhấn
hình hiện ra “solve for X”, nhấn “
A
SHIFT
CALC
(px q)2 (8 3x 2 )
px q 8 3x 2
0
(p 2 3)x 2 2pqx q 2 8
px q 8 3x 2
0
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
20
Phương pháp nghiên cứu khoa học
Đến đây để xuất hiện nhân tử (x2 – x -1) thì (p 2 3)x 2 2pqx q 2 8 a(x 2 x 1) với a là một hệ
số. Chọn a=4 thì ta được một cặp (p,q) thỏa mãn là (p,q)=(-1,2).
Lời giải:
x 3 3x 1 4
x2 x 1
0
2 x 8 x2
4(x 2 x 1)
(x 2 x 1)(x 1)
0
2 x 8 x2
8 3x 2 0
3
3
6
3x 0
x 0
x
3
8 3x 2 9x 2
x 6
3
Ta có bảng biến thiên như sau (để đơn giản ta dùng chức năng của phím CALC khi tính các giá
trị trong bảng này):
x
f’(x)
2 6
3
+
+
3
Như vậy:
x 1
4
2 x 8 3x
2
x 1
4
2 6
12
1
0
f (x)
3
64 6
Vậy
x 2 x 1 0
I
4
0(vô nghiêm)
x 1
2 x 8 x2
y =acost
Nếu phương trình xuất hiện x2+ y2=a thì đặt
Đặt ẩn phụ lượng giác tùy theo điều kiện của phương trình và đặc thù của phương trình (đặc ẩn
phụ để có thể áp dụng được công thức lượng giác)
Nếu x a thì có thể đặt x=asint, t ; hoặc x=acost, t 0;
2 2
Nếu x a thì có thể đặt x
a
a
, t ; , t 0 hoặc x
, t 0; , t
sin t
cost
2
2 2
Ta xét ví dụ sau:
x 3 3x x 2
Lời giải.
Điều kiện: x 2 .
+Nếu x 2 thì
x 3 3x x x 2 3 x 2x x x x 2 .
t
2
k4
5
k4
7
Do t 0, nên chỉ lấy các nghiệm t 0, t
(k )
4
4
.
,t
5
7
Phương trình đã cho có ba nghiệm x 2, x 2 cos
4
4
.
, x 2 cos
5
7
16sin5 t 20sin 3 t 5sin t cos t
sin 5t cos t
sin5t sin t
2
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
24
Phương pháp nghiên cứu khoa học
k
t 12 3
k
t k
8 2
Do t 0, nên chỉ lấy các nghiệm.
Vậy x cos
6. x 3 x
7
5
2x
7. (x 3) x 2 x 2 x 2 3x+4
8. x 2 1
x 2 1 (x 2 1)2
2x
2x(1-x 2 )
Tài liệu tham khảo:
Sách hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX-570ES Plus
Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS
trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ
25
Copyright: Tài liệu đại học ©