MỘT VÀI BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC.
1. Sơ lược về tư duy sáng tạo:
1.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo có thể hiểu là sự kết hợp ở ñỉnh cao, hoàn thiện nhất của tư
duy tích cực và tư duy ñộc lập, tạo ra những cái mới có tính giải quyết vấn ñề
một cách hiệu quả và chất lượng. Tư duy sáng tạo là tư duy ñộc lập vì nó không
bị gò bó, phụ thuộc vào cái ñã có. Tính ñộc lập của nó ñược bộc lộ vừa trong
việc ñạt ñược mục ñích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy
sáng tạo ñiều mang ñậm dấu ấn của mỗi cá nhân tạo ra nó. Ý tưởng mới ở ñây
thể hiện ở chỗ phát hiện vấn ñề mới, tìm ra hướng ñi mới, tạo ra kết quả mới.
Việc phát hiện vấn ñề mới nhiều khi còn quan trọng hơn việc giải quyết vấn ñề
ñó.
1.2. Các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo
Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tư duy sáng tạo, ta có thể thấy nổi lên
5 tính chất (thành phần) cơ bản sau:
1.2.1. Tính mềm dẻo: khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt ñộng trí tuệ này
sang hoạt ñộng trí tuệ khác. ðó là năng lực thay ñổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự
của hệ thống tri thức, chuyển từ góc ñộ quan niệm này sang góc ñộ quan niệm
khác, ñịnh nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra
sự vật mới trong những mối quan hệ mới hoặc chuyển ñổi quan hệ và nhận ra
bản chất của sự vật và ñiều phán ñoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay
ñổi dễ dàng các thái ñộ ñã cố hữu trong hoạt ñộng trí tuệ của con người. Tính
mềm dẻo của tư duy còn có các ñặc trưng:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt ñộng trí tuệ này sang hoạt ñộng trí tuệ khác, vận
dụng linh hoạt các hoạt ñộng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, cụ
thể hoá các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn, tương tự; dễ dàng
chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, ñiều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ
nếu gặp trở ngại.
- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng ñã có vào hoàn cảnh mới, ñiều kiện mới trong

1.2.5. Tính nhạy cảm vấn ñề: Là khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn ñề,
mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic, chưa tối ưu,… do ñó nảy sinh ý muốn cấu
trúc hợp lí, hài hòa, tạo ra cái mới.
Các tính chất cơ bản của tư duy sáng tạo không tách rời nhau mà trái lại
chúng còn có mối quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả
năng dễ dàng chuyển từ hoạt ñộng trí tuệ này sang hoạt ñộng trí tuệ khác (tính
2


mềm dẻo) tạo ñiều kiện cho việc tìm ñược nhiều giải pháp trên nhiều góc ñộ và
tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ ñề xuất ñược nhiều phương án
khác nhau mà có thể tìm ñược phương án lạ, ñặc sắc (tính ñộc ñáo). Các tính
chất này lại quan hệ khăng khít với các tính chất khác như tính chính xác, tính
hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn ñề. Tất cả các tính chất ñặc trưng nói trên cùng
góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, ñỉnh cao nhất trong các hoạt ñộng trí tuệ của
con người. Tuy nhiên có thể thấy rằng ba tính chất ñầu tiên (tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính ñộc ñáo) là ba yếu tố cơ bản, cốt lõi của sự sáng tạo với tư
cách là thành phần quan trọng bậc nhất của cấu trúc năng khiếu, tài năng.
1.3.

Những biểu hiện ñặc trưng của tư duy sáng tạo

ðặc trưng 1: Thực hiện ñộc lập việc di chuyển những tri thức, kĩ năng, kĩ
xảo sang tình huống mới hoặc gần, hoặc xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa
các hệ thống kiến thức.
ðặc trưng 2: Nhìn thấy những nội dung mới trong tình huống bình thường.
ðặc trưng 3: Nhìn thấy chức năng mới của ñối tượng quen biết.
ðặc trưng 4: ðộc lập kết hợp các phương thức hoạt ñộng ñã biết ñể tạo
thành cái mới.
ðặc trưng 5: Nhìn thấy cấu trúc của ñối tượng ñang nghiên cứu.

thông qua các thao tác tư duy. Vì vậy muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh thì việc không thể thiếu là phải rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản. Ở ñây
việc rèn luyện các thao tác tư duy ñược xem là nhằm tạo ra sự phát triển về
“lượng” khi muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
3.1.2. Cách thức thực hiện
a) Rèn luyện thao tác phân tích - tổng hợp: Phân tích tổng hợp là thao tác
tư duy quan trọng của quá trình tư duy, nó ñược thực hiện trong hầu hết trong
các quá trình tư duy. Trong quá trình dạy học, ñể rèn luyện ñược các thao tác
phân tích, tổng hợp, giáo viên cần:
- Thường xuyên tập luyện cho học sinh việc phân tích ñể tìm hiểu ñề bài,
nhận dạng bài toán: Với ñặc trưng là phân chia ñối tượng nhận thức thành các
bộ phận, các thành phần sau ñó hợp nhất các thành phần ñã ñược tách rời nhờ sự
phân tích thành một chỉnh thể do ñó cặp thao tác tư duy phân tích - tổng hợp
4


thường ñược dùng ñể tìm hiểu ñề bài, nhận diện dạng bài, phân tích các mối
quan hệ của các ñối tượng, tổng hợp các yếu tố, ñiều kiện vừa phân tích của ñối
tượng ñể ñưa ra ñiều kiện mới, kết luận mới, tổng hợp các bước giải bộ phận ñể
liên kết tạo thành bài giải hoàn thiện, tổng hợp các cách giải, cách làm tạo thành
phương pháp chung.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường

A

tròn (O), ñường cao AH. Gọi E là hình chiếu
vuông góc của B trên ñường kínhAA’ của (O).

E



+) Từ ABC nội tiếp ñường tròn (O) chắn AC , AA 'C nội tiếp ñường tròn
(O) chắn AC ⇒ ABC = AA 'C

(2)

+) Từ (1) và (2) ⇒ HE A 'C

(tổng hợp)
(*)

(tổng hợp)

+) Từ C ∈ ( O ) , AA ' là ñường kính của (O) ⇒ A'C ⊥ AC (**) (tổng hợp)
+) Từ (*) và (**) ⇒ HE ⊥ AC (ñiều phải chứng minh)

5

(tổng hợp)


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội
A

tiếp ñường tròn (O). Gọi I là tâm ñường
tròn nội tiếp tam giác, ñường thẳng AI
cắt ñường tròn (O) tại D. Chứng minh

I


+) Ta có BAD nội tiếp ( O ) chắn BD , CAD nội tiếp ñường tròn ( O ) chắn
DC và BAD = CAD ⇒ BD = DC

+) Từ BD = DC ⇒ BD = CD

(tổng hợp)
(*)

(phân tích)

+) BID là góc ngoài của tam giác ABI ⇒ BID = IBA + IAB (1) (phân tích)
+) Có IBD = IBC + CBD (2)
+) Vì I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC ⇒ IBA = IBC

6

(3)


+) Vì BAD nội tiếp ñường tròn ( O ) chắn BD , BDC nội tiếp ñường tròn

( O ) chắn CD

và BD = CD ⇒ BAI = CBD (4)

(tổng hợp)

+) Từ (1); (2); (3); (4) ⇒ DBI = DIB

(tổng hợp)


b) Rèn luyện thao tác so sánh – tương tự:

7


Thao tác so sánh – tương tự là nhân tố tích cực thức ñẩy quá trình nhận
thức, nó ñược thực hiện trong các khâu của quá trình dạy học. Trong dạy học, so
sánh – tương tự ñược vận dụng trong tìm sự giống và khác nhau trong phương
pháp giải, so sánh các yếu tố cho trong bài toán, tìm sự giống và khác nhau giữa
các sự vật hiện tượng. Việc sử dụng các thao tác so sánh – tương tự có thể giúp
học sinh tìm ñược lời giải bài toán mới thông qua các phương pháp cũ, sử dụng
các dữ kiện ñã cho theo hướng mới, kết hợp các phương pháp cũ ñể tìm lời giải.
Thao tác so sánh – tương tự cũng có thể ñược sử dụng ñể khai thác, mở rộng,
tìm tòi một bài toán ñã cho, thúc ñẩy quá trình sáng tạo.
- ðể rèn luyện thao tác tư duy so sánh, tương tự cho học sinh, người giáo
viên cần chú trọng việc xây dựng hệ thống bài tập phù hợp, có tính kế thừa. Việc
mấu chốt là tìm ra ñược hệ thống bài tập trong ñó có một bài toán gốc và tìm
cách ñưa bài toán gốc ñó vào những tình huống từ gần ñến xa, là cơ sở ñể xây
dựng hệ thống bài tập có nội dung, hình thức, phương pháp giải có tính kế thừa,
sử dụng những phương pháp cũ trong các tình huống mới ñể giải toán, nhằm
củng cố, phát huy và làm phong phú thêm hệ thống phương pháp giải toán cho
học sinh.

Ví dụ 3: Cho ñường tròn (O)
và ñiểm M ∉ ( O ) , qua M kẻ hai cát

B

tuyến MAB và MCD với (O).

Với chú ý này, khi gặp tích hai ñoạn thẳng chung một mút, cùng thuộc một
ñường thẳng thì cố gắng áp dụng vào tình huống này, có nghĩa là tạo ra tứ giác
nội tiếp và giao của hai cạnh ñối.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, hai ñường cao BD, CE cắt nhau tại H. Chứng
minh BH.BD + CH.CE = BC2 .
ðây là bài toán chứng minh tổng

A

hai tích ñoạn thẳng bằng một tích. về
D

mặt phương hướng, ta hướng dẫn học
E

sinh tìm cách tách BC2 thành tổng hai

H

tích rồi lần lượt so sánh BH.BD và
CH.CE với hai tích ñó. Do ñó giáo

viên tổ chức cho học sinh phân tích,

B

F

C

BI.BD + CI.CE = BC2 , với phép tương tự, giáo viên gợi cho học sinh vẽ ñường
tròn ngoại tiếp tam giác IDC ñể tạo ra tứ giác nội tiếp có hai cạnh ñối cắt nhau.
Vẽ ñường tròn nội tiếp tam giác IDC, nó cắt BC tại F, dễ thấy BI.BD = BF.BC .
Vấn ñề còn lại là phải chứng minh CI.CE = CF.CB . Với thao tác tương tự học
sinh nhận thấy cần phải chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp.
Giải:

A

Vì tứ giác AEID nội tiếp
⇒ BEI = ADI

(1) nên hai tam

giác BEI và BDA ñồng dạng

⇒

BE BD
=
⇒ BE.BA = BI.BD .
BI BA

E

D
I

Tương tự ta chứng minh ñược
CD.CA = CI.CE .

AB
?
=
dẫn ñến việc dự ñoán tam giác ABD ñồng
BD CD

dạng với một tam giác nào ñó chứa cạnh CD, kết hợp với tứ giác ABCD nội
tiếp ⇒ ABD = ACD làm xuất hiện nhu cầu tạo ra tam giác chứa cạnh CD và
ñỉnh còn lại nằm trên AC ñể từ ñó nghĩ ñến tạo ñiểm E trên AC sao cho
ADB = EDC . Vấn ñề còn lại, với thao tác phân tích, tổng hợp học sinh dễ dàng

thấy phải chứng minh hai tam giác BCD và AED ñồng dạng.
Giải:

B
A

Trên AC lấy E sao cho CDE = BDA . lại có
ABD = ECD do cùng là góc nội tiếp ñường tròn
E

(O) cùng chắn AD . Vậy hai tam giác ABD và
ECD ñồng dạng
⇒

AB CE
=
⇒ AB.CD = BD.CE (1).
BD CD


tiếp ñiểm, ñến tiếp tuyến chung, ñến tâm ñồng dạng…. Muốn làm ñược ñiều
này, sau mỗi nội dung giảng dạy, giáo viên cần chỉ rõ vị trí, vai trò của kiến thức
ñó trong chuỗi kiến thức ñã học, mối quan hệ của kiến thức vừa học với các kiến
thức ñã biết, khả năng phát triển của kiến thức vừa học trong tương lai.

c) Rèn luyện thao tác khái quát hóa - trừu tượng hóa - ñặc biệt hóa:
Ta ñã biết, mặc dù chỉ mang chức năng dự ñoán nhưng khái quát hóa là một
trong các con ñường quan trọng của sáng tạo toán học. Do vậy, trong quá trình
dạy học Toán, giáo viên cần thường xuyên tập luyện cho học sinh thói quen dự
ñoán thông qua khái quát hóa.

Ví dụ 8: Trong tam giác ñều, tâm ñường tròn ngoại tiếp, trực tâm và trọng
tâm trùng nhau. Trong trường hợp tam giác cân, ta ñược ba ñiểm ñó thẳng hàng.
Vậy với tam giác bất kì, tâm ñường tròn nội tiếp, trực tâm, trọng tâm có quan hệ
gì? Từ ñó giúp học sinh dự ñoán ñể phát hiện và chứng minh ñược ba ñiểm ñó
thẳng hàng và ñường thẳng ñi qua ba ñiểm ñó là ñường thẳng Ơ-le.
Vậy qua quá trình khái quát hóa, từ việc nghiên cứu tam giác ñều, chuyển
qua nghiên cứu tam giác cân rồi tam giác bất kì, tập ñối tượng nghiên cứu ñược
mở rộng, nhưng tính chất không thay ñổi.

Ví dụ 9: Từ bài toán: “ Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chứng minh:
AB.CD + AD.BC = AC.BD .

B

Vậy khi tứ giác ABCD bất kì thì
ñẳng thức trên còn ñúng hay
không?
A


giác

ABD

và

ECD

ñồng

dạng

vậy:

AB EC
=
⇒ AB.CD = BD.CE .
BD CD
Từ hai tam giác ABD và ECD ñồng dạng ⇒

DA DE
, lại có
=
DB DC

EDC = ADB ⇒ BDC = ADE suy ra hai tam giác BCD và AED ñồng dạng

⇒

BC AE


học sinh ñặt ñoạn MC trên MA bằng cách
lấy E trên MA sao cho ME = MC. Khi ñó
bài toán chỉ còn là chứng minh MB = AE.

C

B

M

Giải:
Trên MA lấy E sao cho ME = MC. Xét tam giác MCE có
CMA = CBA = 60 0 ( hai góc nội tiếp (O) cùng chắn CA ) và MC = ME. Vậy

tam giác MCE ñều ⇒ CE = CM , CEM = CAB = 60 0 ⇒ ACE = BCM . Xét tam

13


giác

ACE

và

tam

giác



C

tìm vị trí của ñiểm M trên mặt phẳng sao cho
MA = MB + MC”.
ðể rèn luyện thao tác tư duy khái quát hóa,
trừu tượng hóa, ñặc biệt hóa trong quá trình

M

giảng dạy, giáo viên cần thường xuyên tạo cho học sinh thói quen xem xét bài
toán theo tất cả các trường hợp, phân chia trường hợp, vẽ hình ở các góc ñộ khác
nhau, nhìn nhận bài toán theo quan ñiểm mềm dẻo, tìm cách thay ñổi bài toán
theo hai hướng làm lỏng hoặc chặt giả thiết ñể xem xét bài toán.

3.2. Tập luyện cho học sinh cách nhìn một bài toán dưới nhiều góc ñộ
khác nhau
3.2.1. Mục ñích: Tính mềm dẻo và tính ñộc ñáo là một trong các ñặc trưng
quan trọng của tư duy sáng tạo. Một trong những biểu hiện của tính mềm dẻo
trong tư duy là khả năng nhìn nhận vấn ñề theo nhiều cách khác nhau. Do vậy,
14


trong quá trình dạy học toán, việc giáo viên giúp học sinh nhận thức ñược rằng
cùng một nội dung có thể diễn ñạt dưới nhiều hình thức khác nhau và tập luyện
cho họ cách nhìn nhận một bài toán dưới nhiều góc ñộ khác nhau sẽ giúp cho
người học có ñược sự mềm dẻo trong tư duy và trong quá trình ñó người học có
thể tìm ra sự ñộc ñáo trong việc giải quyết bài toán.

3.2.2. Cách thực hiện


AB.AC = AH.BC (ðính lí
về mối liên hệ giữa cạnh và
ñường cao trong tam giác).

B

H

Với suy nghĩ thông

C

thường ở các chứng minh trước ñó, học sinh dễ dàng chuyển bài toán về chứng
15


minh

AB AH
=
bằng cách chỉ ra hai tam giác ABC và HAC ñồng dạng. Nhưng
BC AC

ở ñây, giáo viên có thể gợi mở ñể học sinh nhận ra tích AB.AC và AH.BC ñều
liên quan ñến diện tích tam giác ABC. Do ñó có thể chứng minh bài toán bằng
cách so sánh hai vế của ñẳng thức cần chứng minh với diện tích tam giác ABC.
Vậy có thể nhìn nhận ñẳng thức cần chứng minh dưới dạng hệ thức suy ra từ cặp
tam giác ñồng dạng và cũng có thể thấy ñẳng thức ñó suy ra từ hệ thức về diện
tích.

của BC:

Ý tưởng 1: Vì BC
A

là 1 dây của (O2) nên
ñể N là trung ñiểm của BC ta chứng minh Ο 2 Ν ⊥ Β C .

16

O1


Ý tưởng 2: Vì CI là một trung tuyến của ∆ABC , Muốn chứng minh N là
trung ñiểm của BC ta chứng minh AN là trung tuyến của tam giác ABC bằng
cách chỉ ra

CP
= 2.
PI

Ý tưởng 3: Vì I là trung ñiểm của BA, trong tam giác ABC, muốn N là
trung ñiểm của BC ta chứng minh IN // CA.

Ý tưởng 4: vì NB là tiếp tuyến, NMA là cát tuyến của (O1) ta có kết quả

NB2 = NM.NA . ðể chứng minh NB = NC ta ñi chứng minh NC2 = NM.NA .
Ý tưởng 5: Ta khai thác các yếu tố của ñường tròn (O2) ñể chỉ ra CB, AM là
ñường chéo của một hình bình hành (tính ñộc ñáo).




ñến nguyên nhân, nguồn gốc của những yếu tố quan trọng. Như vậy, ta có các
cánh giải cho bài toán trên như sau:

Cách 1:
Xét tam giác NMB và tam giác NBA có N chung, NBM = BAM ( góc nội
tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung của (O1) cùng chắn BM ). Vậy tam
giác NMB và tam giác NBA ñồng dạng. Vậy

NB NA
=
⇒ NB2 = NM.NA
NM NB

(1)
Có MAC = MBA
(góc nội tiếp và góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và
B

O2

dây cung của (O1) cùng
MA ). Lại có

chắn

MBA = MCB (góc nội


(2).


Cách 2:
Kéo dài AM cắt (O2)
tại ñiểm thứ hai Q. Ta có
Q

BQM = MBA

(góc

nội

tiếp và góc tạo bởi tia tiếp
B

O2

tuyến và dây cung của (O2)
cùng chắn BM ).
Lại
MBA = MAC
BQM = MBA

N

có
C


⇒ BMC = BMA ⇒ MB là phân giác ngoài của tam giác MCN ⇒

Từ (1) và (2) có

BN MN
=
(2).
BC MC

CN BN
=
, mà CA = CB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) do
CA BC

ñó CN = BN (ðPCM).

19


Với các cách tiếp cận khác nhau ta có thể tìm ñược các lời giải khác nhau
qua ñó giúp học sinh rèn luyện tư duy sáng tạo, ñiều này hết sức quan trọng
trong việc dạy học môn toán. ðể có thể tìm ñược nhiều hướng ñi khác nhau cho
một bài toán, trước hết giáo viên phải tạo ñiều kiện ñể học sinh nêu ñược các dữ
kiện quan trọng của bài toán, các mối liên hệ giữa các dữ kiện ñó, tìm kiếm sự
quen thuộc trong tư duy và thực tế, liên hệ với nội dung ñã học, ñã biết, phát huy
trí tưởng tượng ñể tìm ra hướng ñi. Nhưng không phải ñề xuất nào cũng có
ñường ñi ñến kết quả, do ñó phải sàng lọc các ý tưởng, lựa chọn những ñề xuất
hợp lí, có khả năng tìm ñược ñến ñích. Nhưng kể cả những ñề xuất không hợp lí,
không khả quan trong bài toán cụ thể cũng ñáng trân trọng, giáo viên cần phải
phân tích kĩ, giúp học sinh nhận ra con ñường ñi của mình và khả năng ñến ñích,

Nếu nhìn nhận ñẳng thức cần chứng minh có dạng hệ thức lượng trong tam
giác vuông, ta hướng học sinh ñến phương án chỉ ra a là ñường cao của một tam
giác vuông có hai cạnh là BI và BK.
Nhận thấy ñẳng thức cần chứng minh có dạng “bất thường”, giáo viên dẫn
dắt học sinh ñưa biểu thức về dạng tỉ số của hai ñoạn thẳng:
2

2

1
1
1
 a   a 
⇔
+
=

 +
 = 1 . ðến ñây có thể nhận thấy ñẳng thức
BI 2 BK 2 a 2
 BI   BK 
này có dáng dấp của hằng ñẳng thức sin 2 α + cos2α = 1 , do ñó ta ñi tìm tỉ số lượng
20


giác của góc nào ñó bằng

a
a
và


E
A

D

K

hay

1
1
1
+
= 2
2
2
BI
BK
a
.Cách 2: Trong tam giác vuông CBI,
có cosB1 =

có sin K1 =

Mà K 1 = B1 ⇒ sin 2 K 1 + cos 2 B1 = 1
2

1


 BI   BK 
Cách 3: Ta có hai tam giác CBI và AKB ñồng dạng do ñó
2

BC KA
=
.
BI KB

2

2
AB2 KA 2 + AB2
 a   a  KA
=
+
=
= 1 (do tam giác ABK vuông
Vậy   + 

2
BK 2
BK 2
 BI   BK  BK

nên KA2 + AB2 = BK 2 ).

Rèn cho học sinh khả năng nhanh chóng chuyển hướng quá trình tư duy tùy
thuộc vào từng tình huống cụ thể
Trong quá trình tư duy, nhiều khi học sinh gặp khó khăn, vướng mắc ở một

B

minh MN AC .
Với thao tác phân tích, từ giả thiết của bài toán, HS nhìn nhận ñược các
quan hệ bằng nhau, quan hệ song song trong bài. Cụ thể, từ tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau của một ñường tròn ta có AC = CM, DB = DM, ngoài ra còn
có AC BD . Tuy nhiên chưa thể sử dụng các quan hệ ñó ñể chứng minh

MN AC , do ñó phải thay ñổi thao tác tư duy. Muốn chứng minh MN AC ,
với những ñiều ñã phân tích ñược, có dấu hiệu của ñịnh lí ta lét trong tam giác,
bằng thao tác tư duy tương tự, so sánh gúp HS nghĩ ñến phương án chứng minh
MC NA
, ñến ñây HS nhận thấy có thể sử dụng các ñiều ñã phân tích ở trên.
=
MD ND

Ví dụ 15: Cho tam giác ABC cân tại

A

A, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy M,
N sao cho AM = CN. Chứng minh ñường
M

tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn ñi qua
một ñiểm cố ñịnh khi M, N thay ñổi trên
AB, AC.

I


Vì tam giác ABC cân tại A ⇒ MAI = NAI .
Lại có MAI nội tiếp (O) chắn MI , NAI nội tiếp (O) chắn NI ⇒ MI = NI
⇒ IM = IN .

Xét ∆ AM I và ∆CNI có AM = CN ; IM = IN , AMI = CNI do tứ giác
AMIN nội tiếp.
Vậy ∆AMI = ∆CNI ⇒ IA = IC ⇒ I ∈ trung trực của AC, lại có I ∈ trung
trực của BC nên I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cố ñinh nên I cố
ñịnh. Vậy ñường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn ñi qua I cố ñịnh khi M, N
thay ñổi trên AB, AC.

Ví dụ 16: n ñường tròn chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu phần nếu bất cứ
hai ñường tròn nào cũng cắt nhau tại hai ñiểm phân biệt và không có ba ñường
tròn nào ñồng quy.
Bằng thao tác quy nạp, giáo viên yêu cầu học sinh dự ñoán kết quả với các
giá trị n = 2, 3, 4,.... cụ thể. Tuy nhiên, việc ñếm miền phẳng với n = 3, 4, ,,, là
rất khó khăn, do ñó việc thay ñổi cách tiếp cận bài toán là cần thiết. Vậy nguyên
nhân sinh ra một miền là gì? (tìm mối liên hệ giữa số miền sinh thêm và ñường
tròn ñược vẽ thêm) ñể hướng học sinh ñến việc thay vì ñếm số miền sinh thêm
23


bằng việc ñếm số cung sinh thêm khi vẽ thêm một ñường tròn. ðến ñây bài toán
trở lên rõ ràng hơn, ñó là khi có thêm một cung thì có thêm một miền, do ñó
chuyển việc ñếm miền sinh thêm bằng việc ñếm số cung sinh thêm. Tiếp tục
theo hướng trên, hướng học sinh ñến nguyên nhân sinh ra cung, ñó là một cung
sinh thêm khi xuất hiện thêm 2 giao ñiểm và bài toán trở thành việc ñếm số giao
ñiểm sinh thêm khi vẽ thêm một ñường tròn cắt tất cả các ñường tròn ñã có.
Việc ñếm số miền sinh thêm ban ñầu thuần túy là ñếm bằng mắt, khi chuyển
thành việc ñếm số giao ñiểm sinh thêm thì xuất hiện quy luật: “ một ñường tròn


Giải: Ở mỗi ñiểm nằm trong ña giác, tổng các góc của các tam giác có ñỉnh
ở ñó là 3600 . Vậy tổng số ño các góc của các tam giác có ñỉnh là 3 trong số 34
ñỉnh ña giác và 34 ñiểm nằm trong tam giác là tổng số ño các góc ở các ñỉnh
nằm

trong

ña

giác

và

tổng

số

ño

các

góc

của

ña

giác


tính ñúng ñắn của dự ñoán ñó từ ñó khái quát thành những cái chung, cái bản
chất. Nguyễn Cảnh Toàn ñã viết: “ðừng nghĩ rằng “mò mẫm” thì có gì “sáng
tạo”, nhiều nhà khoa học lớn phải dùng ñến nó. Không dạy “mò mẫm” thì người
thông minh nhiều khi phải bó tay chỉ vì không nghĩ ñến hoặc không biết mò
mẫm. Trong hình học lớp 9, có nhiều bài toán ñòi hỏi phải có sự dự ñoán, thử
sai ñể tìm ra hướng giải.

25