MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục
được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với
nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát
triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng
được kiến thức trong tình huống công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện
và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở các trường phổ thông của những
người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát
triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung
thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi
dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2).
Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phương pháp
giảng dạy chương trình phổ thông, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học
tập của học sinh, để học sinh đáp ứng được yêu cầu của xã hội, đặc biệt là
trong xu thế hội nhập toàn cầu, cũng là nhằm đáp ứng được yêu cầu đó.
Theo điều 28 Luật Giáo dục: " Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với
đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối
cho môn toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy
phù hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa kiến thức cho học sinh, mới phát
huy được tư duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học
mà còn áp dụng được kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp
bậc học cao hơn sau này.
1
Véctơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học. Việc sử

giáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học
sinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều ứng dụng của phương pháp này.
Dạng bài tập ứng dụng vectơ và toạ độ ở THPT đòi hỏi học sinh phải
có năng lực nhất nhất định, phải có khả năng tư duy trừu tượng và khái quát
tốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo. Do đó, dạy học chủ đề này có
tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
thông qua các thao tác tư duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hoá
được kiến thức hình học cơ bản, tăng cường năng lực giải toán.
Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dưỡng học sinh khá giỏi bậc
THPT, đề tài được chọn là: "Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học
sinh khá giỏi ở trường THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp
vectơ và toạ độ trong hình học phẳng"
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo toán học ở
đối tượng học sinh phổ thông, đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi bậc THPT.
- Trên cơ sở lý thuyết vectơ, toạ độ trên mặt phẳng trong chương trình
THPT, cùng với các kiến thức hình học tổng hợp khác, xây dựng một hệ
thống phân loại các dạng bài tập ứng dụng phương pháp vectơ và toạ độ trong
hình học phẳng, góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và
phát triển loại hình tư duy này ở bậc THPT.
- Nghiên cứu các phẩm chất, năng lực tiêu biểu của học sinh khá, giỏi toán.
- Đưa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hướng dẫn học sinh khai thác
và phát triển các bài toán đó theo hướng sáng tạo.
- Đưa ra một số biện pháp sư phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.
3
- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính
khả thi để áp dụng vào giảng dạy.
4. Giả thuyết khoa học

5.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực nghiệm ở một số cơ sở rồi đối chứng với giả thuyết khoa học đã
đề ra để điều chỉnh mức độ khả thi của luận văn.
6. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, áp
dụng vào dạy nội dung toán hình học vectơ và toạ độ ở lớp 10 THPT. Từ đó
phân loại và phát triển hệ thống bài tập có thể dùng phương pháp vectơ, toạ
độ phẳng để giải ở THPT, đặc biệt đối với học sinh khá giỏi.
Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận phát triển tư duy sáng tạo toán học,
gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn.
- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán
THPT thuộc các trường : THPT Chuyên Tuyên Quang
- Kiểm nghiệm và đối chứng 6 lớp.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II: Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh giỏi ở THPT
qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng.
Chương III: Biện pháp sư phạm và thực nghiệm sư phạm
* Kết luận
* Tài liệu tham khảo
* Phụ lục
5
Chương I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy và tư duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy
a. Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy
Trong cuốn " Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" , PGS.TS Trần
Thúc Trình có định nghĩa: " Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết
về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giải thiết không đúng thì qua
bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
c) Các hình thức cơ bản của tư duy
- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng
và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội
hàm. Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn
toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của
lớp đối tượng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy
luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì
khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B
được gọi là một khái niệm loại của A.
Ví dụ: Ta định nghĩa phép vị tự từ phép biến hình: " Cho điểm O và một số k ≠0,
phép biến hình biến điểm M bất kỳ thành điểm M' sao cho
OM' kOM=
uuuur uuuur
gọi là
phép vị tự tâm O, tỉ số k". Như vậy ta được khái niệm phép vị tự là một phép
biến hình đặc biệt, là tập con thực sự của phép biến hình,
7
- Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu
hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng
hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của qua trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai
phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại
suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
Ví dụ: Định lý côsin ở lớp 10: " Trong mọi tam giác ta có bình phương một
cạnh tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ hai lần tích của chúng
với côsin góc xen giữa".
Ta có thể suy luận qua một số trường hợp đặc biệt để kiểm chứng điều
đó, chẳng hạn hệ thức: a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA.
- Nếu ∆ABC vuông tại A thì cosA=0 ⇒ a
2
=b
2
+c
2
đúng (Định lý Pitago).
- Nếu ∆ABC đều thì a=b=c, cosA=1/2 ⇒ Đẳng thức đúng.
8
- Nếu ∆ABC cân tại B ⇒ b=2acosA ⇒ Đẳng thức đúng.
Vậy có thể kết luận là đẳng thức đúng cho ∀∆ABC. Đó là phép quy
nạp không hoàn toàn. Bằng suy luận, ta chứng minh như sau:
Ta có:
2 2 2
2
BC (AC AB) AC AB 2AB.AC

Ví dụ: Trong ∆ABC vuông tại A, ta có : a
2
=b
2
+c
2
,
2 2 2
a
1 1 1
h b c
= +
,
9
Trong tam diện vuông SABC, SA=a, SB=b, SC=c, đường cao mặt huyền
là h ta cũng có: S
2
(ABC)=S
2
(SAB)+S
2
(SBC)+S
2
(SCA),
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
= +
,
+ Khái quát hoá- đặc biệt hoá: Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp

uur uur
thì với ∀M ta
có:
MA 2MB MI− = −
uuuur uuuur uuur
.
Từ bài toán 1, cho α=β=1 ta được bài toán 2, cho α=1, β=-2 được bài
toán 3. Như vậy, bài toán 1 là khái quát của bài toán 2 và bài toán 3, còn bài
toán 2 và bài toán 3 là đặc biệt hoá của bài toán 1.
10
+ Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt,
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ
lại các yếu tố cần thiết cho tư duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất
ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
Ví dụ: Trừu tượng hoá khái niệm tập số được khái niệm tập hợp với phần tử là
những đối tượng nào đó, trừu tượng hoá khái niệm hàm số được khái niệm
ánh xạ
1.1.2. Sáng tạo, quá trình sáng tạo
a) Khái niệm sáng tạo
Lecne cho rằng: " Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về
chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao
tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt".
Solso R.L quan niệm: " Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó
đem lại một cách nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề
hay tình huống".
GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: " Người có óc sáng tạo là người
có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra".
Có hai mức độ sáng tạo:
- Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận
gốc các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng. Như sự phát

được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi
đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái
hay tình huống một tư tưởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con
người hoặc đặt con người trong trạng thái " hứng khởi" cao độ, khi đó các tư
tưởng hình như cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những
kết quả mới.
12
1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo
a)Tư duy sáng tạo
Trong cuốn sách " Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh
qua môn toán ở trường THCS" của Nguyễn Bá Kim - Vương Dương Minh -
Tôn Thân , các tác giả cho rằng: " Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng
mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất" [28,tr72].
Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: " Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự
sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục".
Khi xem xét tư duy sáng tạo trên bình diện như một năng lực của một
con người thì J.Danton quan niệm: " Tư duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy
những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của
kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá ".
Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy
độc lập, tư duy sáng tạo. Mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức
độ tư duy đi sau. Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực được đặc trưng
bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực. Còn tư duy độc lập thể hiện ở
khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả
đạt được. Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư

mềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tư duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ
nhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp
giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý
14
A
I
J
M
N
P
Q
T
tưởng mới. Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi khả
năng tạo ra số các ý tưởng mới khi nhận thức vấn đề.
+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tư duy trong quá trình xác định mục đích
cũng như giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính
tối ưu của giải pháp.
+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu
thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu và từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo
ra cái mới.
Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có một số yếu tố quan khác như: Tính
chính xác, năng lực định giá, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán.
Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tư duy sáng tạo:
Bài toán: Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A=(0,4) và hai đường tròn (I), (J)
đi qua A, với I=(-2,0), J=(4,0). Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A, cắt
(I) tại M, cắt (J) tại N sao cho AM=AN.
Đây là một bài toán trong hình học lớp 10. Thông thường nếu xét

2
=20;
Phương trình (J): (x-4)
2
+y
2
=JA
2
=32;
Do A trung điểm II' nên
I' A I
I' A I
x 2x x 2.0 ( 2) 2
y 2y y 2.4 0 8
= − = − − =


= − = − =

. Vậy I'=(2,8)
⇒ (I'): (x-2)
2
+(y-8)
2
=20. Lấy (J) trừ (I') có phương trình trục đẳng
phương (∆) của chúng là: (∆): x-4y+16=0.
Như vậy dựa vào tính chất đối xứng, ta dùng kiến thức trục đẳng
phương của hai đường tròn, thể hiện tính chất nhuần nhuyễn của tư duy.
Cách 3: Nếu gọi M=(x
M

M
-4y
M
+16=0. Vậy phương trình (∆) là: x-4y+16=0.
Cách này chỉ dùng đến công thức trung điểm của đoạn thẳng, thể hiện
được tính độc đáo của tư duy.
Qua cách giải bài toán trên ta thấy, nếu sử dụng thành thạo các kiến
thức về vectơ và toạ độ trong chương trình có thể giải quyết được nhiều bài
toán hay và độc đáo. Với lối suy nghĩ như vậy, ta có thể giải quyết nhiều bài
16
toán vectơ và toạ độ bằng cách kết hợp chúng với tính chất của hình học.
Những bài toán như vậy, ta sẽ gặp trong những phần sau.
1.2. Dạy học giải bài tập ở trường phổ thông
1.2.1. Vai trò của việc giải bài tập toán
- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm
một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ
ràng nhưng không thể đạt được ngay. Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó.
- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán. Để giải
bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã
học. Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi, giữa các kiến thức có
thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các
kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp. Muốn sử
dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho
chúng thích hợp với tình huống.
- Hiện nay trong sách giáo khoa toán trên thế giới, sau mỗi bài học đều
có ba loại bài thực hành, bài tập và bài toán, trình bày tách biệt với nhau,
trong đó những bài toán thực tiễn chiếm một tỉ lệ cao.
- Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn
toán ở nhà trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt

khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng
như hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
1.2.2. Phương pháp giải bài tập toán
Theo G.Pôlya, phương pháp chung giải một bài toán gồm 4 bước: Tìm
hiểu nội dung của bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương
trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cụ thể:
+ Bước 1: Hiểu rõ bài toán
18
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay
không? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay
thừa, hay có mâu thuẫn?
- Hình vẽ. Sử dụng một ký hiệu thích hợp.
- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều
kiện đó thành công thức không?
Qua bước 1 ở trên, ta thấy việc đánh giá được dữ kiện có thoả mãn hay
không, thừa hay thiếu đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo. Nếu làm tốt
được khâu này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời
giải đúng.
+ Bước 2: Xây dựng một chương trình giải
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng hơi khác?
- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể
dùng được không?
- Xét kỹ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có
cùng ẩn hay ẩn tương tự.
- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng
nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp?
Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?
Quay về định nghĩa.

thường xuyên. Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có
phần nhìn lại phương pháp đã sử dụng để giải. Dần dần những hiểu biết về
lôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh.
Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô
hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các
20
B
C
A
N
M
chủ đề và mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quan
trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Ví dụ: Cho ∆ABC, M ∈ BC. Chứng minh:
MC MB
AM AB AC
BC BC
= +
uuuur uuur uuur
.
1. Tìm hiểu nội dung bài tập:
Đây là một bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, hay phân tích một
vectơ theo 2 vectơ không cùng phương. Với giả thiết điểm M tuỳ ý trên BC.
Phải có các tỉ số MC:BC và MB:BC. Đó là một số chú ý trong đề bài toán.
2. Xây dựng chương trình giải:
Ta cần tìm mối liên hệ giữa các vectơ:
AM,AB,AC
uuuur uuur uuur
với điểm M.
Từ các tỉ số gợi ta dùng định lý Talet: Kẻ MN//AC, N∈AB, thì ta có:

uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
. Cộng lại có điều phải chứng minh.
4. Kiểm tra tính dúng đắn và nghiên cứu sâu lời giải:
+ Kiểm tra: Qua cách giải như trên ta thấy cách phân tích vectơ theo quy tắc
tam giác, đưa một vectơ về vectơ cùng phương với nó, sử dụng định lý Talet
đều chính xác. Có thể kiểm tra lại điều này khi cho M là trung điểm BC, M
chia BC theo tỉ số k bất kỳ.
+ Nghiên cứu sâu lời giải:
- Cách giải khác:
21
Ta có:
AM AB BM MC.AM MC.AB MC.BM
AM AC CM MB.AM MB.AC MB.CM
 
= + = +
 
⇒
 
= + = +
 
 
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur
.
Cộng lại có:
(MC MB).AM MC.AB MB.AC (MC.BM MB.CM)+ = + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuuur
⇔
BC.AM MC.AB MB.AC= +

uuuur uuuur
. Ta có bài toán:
AB kAC
AM
1 k
−
=
−
uuur uuur
uuuur
, k≠1. Với k≠1 tuỳ ý, thì M có thể ở ngoài đoạn BC.
Như vậy với k tuỳ ý ta có nhiều bài toán dạng tương tự.
c) Nghiên cứu tiếp ứng dụng của bài toán:
Bây giờ ta lấy 3 điểm trên 3 cạnh tam giác: Cho ∆ABC, lấy M, N, P
trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho:
MC 2MB,NA 2NC= = −
uuuur uuuur uuur uuur
và
PA PB= −
uuur uuur
. Chứng minh: M,N,P thẳng hàng.
Theo phương pháp trên, ta thấy mọi vectơ đều phân tích được 2 vectơ
không cùng phương (cơ sở của không gian vectơ hai chiều).
Ta cần chứng tỏ rằng:
MN kMP=
uuuur uuur
, vậy chỉ cần phân tích
MN,MP
uuuur uuur
theo một cơ sở, chẳng hạn

Theo giả thiết ta có:
MB MC, NC NA, PA PB= α = β = γ
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur
⇒
1
BC (1 )MC; CN AC; MB BC; BP AB
1 1 1
β α
= − α = = =
−β − α γ −
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
.
Ta có:
1 1
MN MC CN BC AC (AC AB) AC
1 1 1 1
β β
= + = + = − +
− α −β − α −β
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
1 1
AB ( )AC
1 1 1
β
= − + +
− α − α −β
uuur uuur
. Và
1

− −
− α − γ
− α
=
β
− +
− α − α −β
⇔ αβγ =1.
Ta được kết quả định lý Mêlênaúyt, đây chỉ là một cách chứng minh
dựa vào phân tích vectơ.
e) Nghiên cứu bài toán khi thay đổi giả thiết: Ta đã chứng minh được bài toán
tổng quát trong trường hợp tam giác. Có thể thay đổi giả thiết cho tứ giác,
hoặc thay đổi một số giả thiết thích hợp ta có nhiều bài toán khác khá hay, đặc
biệt đối với hình không gian sau này.
1.3. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường phổ thông
1.3.1. Mục tiêu của việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán
23
Hiện nay ở nước ta, những học sinh giỏi toán ở trường THPT thường
được tập hợp thành những lớp đặc biệt ở những lớp chuyên hay khối chuyên,
trường chuyên. Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có
năng lực toán học, bồi dưỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo
dục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi, trong
số đó một số có thể trở thành nhân tài của đất nước.
1.3.2.Những biểu hiện của học sinh giỏi toán
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy học sinh giỏi toán thường có những biểu hiện sau:
- Rất yêu thích và say mê học toán.
- Có khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức nhanh.
- Linh hoạt trong quá trình tư duy, tìm tòi lời giải: Dễ dàng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, không bị gò ép bởi những
suy nghĩ rập khuôn có sẵn. Có khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía

2
,y
2
) thì ta có phương trình đường tròn là:
2 2 2 2
1 1 2 2
x y 1 0, x y 1 0+ − = + − =
.
Từ hệ
OA.MA 0
OB.MB 0

=

⇔

=


uuur uuuur
uuur uuuur
⇔
1 1 1 1
2 2 2 2
(x 0)(x 3) (y 0)(y 5) 0
(x 0)(x 3) (y 0)(y 5) 0
− − + − − =


− − + − − =

Viện sĩ toán học A.N.Kônmôgôrôp viết trong cuốn sách "Về nghề
nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức
độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học được phát triển, năng lực
này mang ý nghĩa sáng tạo khoa học. Theo ông, thành phần cơ bản của năng
lực toán học gồm có:
25