PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình Toán THPT các bài toán có liên quan đến xác suất
là một phần quan trọng của Đại số - giải tích 11, học sinh thường gặp nhiều
khó khăn khi giải các bài toán liên quan.
Chính vì vậy trong giảng dạy ngoài việc giúp cho học sinh nắm được
kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực, tự lập của học sinh và biết
áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài toán và ứng dụng toán học
vào trong thực tế là rất cần thiết. Xác suất của biến cố là một trong những
nội dung quan trọng của chương trình Toán phổ thông. Sau khi học sinh đã
học xong “xác suất của biến cố ” bản thân tôi muốn học sinh tìm xác suất
của một bài toán, của một ứng dụng trong thực tế một cách đơn giản, nên
trong bài viết này “ Một số dạng toán cơ bản về xác suất của biến cố ” ở
đại số - giải tích 11 sẽ giúp cho học sinh làm bài tập một cách nhanh chóng
và chính xác.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nhằm hệ thống lại những kiến thức về xác suất của biến cố để học sinh
hiểu và vận dụng tốt hơn trong các bài toán liên quan.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Một số kiến thức liên quan đến xác suất của biến cố trong chương trình
Đại số - giải tích 11 và học sinh lớp 11 của trường THPT Phạm Văn Đồng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp suy luận, tổng hợp: Được đúc rút qua thời gian giảng
dạy, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng đi mới.

Trang 1


Phương pháp trò chuyện: Trao đổi với nhiều học sinh để nắm tình hình
sử dụng kiến thức vào giải toán .
Phương pháp phân tích lý luận: Phân tích giúp học sinh nắm rõ bản


1. Phép thử, không gian mẫu.
- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử
đó.
- Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
không gian mẫu.
2. Biến cố.
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
3. Định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu
hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

n( A)
là xác suất của
n (Ω )

biến cố A, kí hiệu là P(A).
ta có P ( A) =

n( A)
.
n (Ω)

4. Tính chất của xác suất.
-

P( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1.

-

a. Mặt sấp xuất hiện đúng 1 lần.
b. Mặt sấp xuất hiện 2 lần.
Phân tích: Ta quy ước mặt có ghi chữ số là mặt ngửa – kí hiệu N, mặt còn
lại là mặt sấp – kí hiệu S.
Bài giải:
Gieo một lần ba đồng tiền cân đối và đồng chất. Không gian mẫu của phép
thử ở đây là:
Ω = { NNN, SNN, NSN, NNS, SSN, SNS, NSS, SSS} ⇒ n(Ω) = 8

a. Gọi A là biến cố “ mặt sấp xảy ra đúng một lần”
A = { SNN, NSN, NNS} ⇒ n( A) = 3
3
Nên P ( A) = .
8
b. Gọi B là biến cố “ mặt sấp xuất hiện 2 lần”
B = { SSN, NSS, SNS} ⇒ n(B ) = 3
3
Nên P ( B ) = .
8
Ví dụ 2: Một tổ học sinh có 12 người trong đó có 7 nam và 5 nữ. Chọn
ngẫu nhiên hai người trong tổ. Tìm xác suất để :
Trang 6


a. Hai người được chọn đều là nữ.
b. Hai nguời được chọn đều là nam.
c. Hai người được chọn có 1 nam và 1 nữ.
Bài giải:
Tổng số học sinh trong tổ là 12 người. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Vậy
2


Ví dụ 3: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các
biến cố sau :
A: “ Xuất hiện mặt chẵn”.
B : “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”.
C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”.

Trang 7


Bài giải
Không gian mẫu: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(Ω) = 6
Ta có: * A = { 2, 4, 6} nên n( A) = 3.
Vậy P ( A) =

3 1
= .
6 2

* B = { 3, 6} nên n( B) = 2.
Vậy P ( B ) =

2 1
= .
6 3

* C = { 3, 4, 5, 6} nên n( C) = 4.
Vậy P (C ) =

4 2

= .
72 9

b. Vì n ∈ B : nên b = 5
Vậy có : 1 cách chọn b và có 8 cách chọn a
Theo quy tắc nhân, ta có: n( B) = 1.8 = 8.
Vậy P ( B ) =

8 1
= .
72 9

c. Cách 1:
Vì n ∈ C ⇔ a < b
Rõ ràng mỗi số ab như vậy là một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử và ngược
2
lại. Do đó, ta có: n( C) = C9 = 36.

Vậy P (C ) =

36 1
= .
72 2

Cách 2:
Vì n ∈ C ⇔ a < b
Với a = 1, ta có 1 cách chọn a, 8 cách chọn b
Với a = 2, ta có 1 cách chọn a, 7 cách chọn b
Với a = 3, ta có 1 cách chọn a, 6 cách chọn b
Với a = 4, ta có 1 cách chọn a, 5 cách chọn b

=
.
9! 126

Trang 10


Bài tập áp dụng:

.

1. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến
20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số.
a. Chắn.
b. Chia hết cho 3.
c. Lẻ và chia hết cho 3.
( Sách bài tập đại số - giải tích 11 – trang 70)
Đáp số:
Ta có Ω = { 1, 2, 3, ...., 20} ⇒ n(Ω) = 20
P ( A) =

1
;
2

P( B) =

3
;
10


P( D) =

11
.
36

3. Một bộ sách có 4 tập mà nhìn bề ngoài giống hệt nhau. lấy ngẫu nhiên
các tập sách xếp trên giá sách. Tính xác suất để các tập sách được xếp trên

Trang 11


giá theo đúng thứ tự từ tập một đến tập bốn (kể từ trái qua phải hoặc từ
phải qua trái)
( Sách toán cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 64)
Đáp số: P ( A) =

1
.
12

4. Một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2
viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để:
a. Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ.
b. Trong hai bi lấy ra có 1 bi xanh và 1 bi vàng.
( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 74)
Đáp số: a. P ( A) =
b. P ( B ) =


2
và có C6 = 15 cách lấy hai viên bi xanh.

Nên P ( A1 ) =
•

4.15 60
=
.
252 252

A 2 là biến cố “ 4 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh”.
4
Có C 4 = 1 cách lấy 4 viên bi đỏ.
1
và có C6 = 6 cách lấy 1 viên bi xanh.

Nên P ( A2 ) =

1.6
6
=
.
252 252

Vì A = A 1  A 2 và A 1 , A 2 là hai biến cố xung khắc

Trang 13



Vậy P ( A1 ) =
•

56.12
672
=
38760 38760

A 2 là biến cố “ 6 quả cầu cùng màu đỏ ”

6
Có C8 = 28 cách lấy 6 quả cầu đỏ trong 8 quả cầu đỏ có trong hộp.

Nên P ( A2 ) =

28
.
38760

Vì A = A 1  A 2 và A 1 , A 2 là hai biến cố xung khắc
Vậy P ( A) = P ( A1  A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 )
=

672
28
700
35
+
=
=

Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất một viên bi vàng” nên B sẽ là hợp
của các biến cố sau:
C33
1
=
B 1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” ⇒ P( B1 ) =
.
220 220
B 2 là biến cố “lấy được 2 viên bi vàng, 1 viên bi xanh”
C32 .C51 15
⇒ P( B2 ) =
=
.
220
220
B 3 là biến cố “lấy được 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng”
⇒ P( B3 ) =

C32 .C 41 12
=
.
220
220
Trang 15


B 4 là biến cố “lấy được 1 viên bi vàng, 2 viên bi xanh”
⇒ P( B4 ) =

C31 .C52 30

Cách 2:
Gọi B là biến cố “ trong 3 viên bi lấy được không có viên bi vàng nào”
Vậy B là hợp của các biến cố sau:
A là biến cố “ lấy được 3 viên bi xanh” ⇒ P ( A) =

10
1
=
.
220 22

C 43
4
=
B’ 1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng” ⇒ P( B '1 ) =
.
220 220
B’ 2 là biến cố “ lấy được 2 viên bi xanh và 1 viên bi trắng”
⇒ P( B'2 ) =

C52 C 41 40
=
.
220 220
Trang 16


B’ 3 là biến cố “ lấy được 2 viên bi trắng và 1 viên bi xanh”
⇒ P ( B '3 ) =


.
220 22

B 1 là biến cố “lấy được 3 viên bi vàng” ⇒ P( B1 ) =

C33
1
=
.
220 220

C 43
4
=
B’ 1 là biến cố “ lấy được 3 viên bi trắng” ⇒ P( B '1 ) =
.
220 220
Hiển nhiên A, B 1 , B’ 1 là các biến cố xung khắc.
Vậy P (C ) = P ( A  B1  B '1 )
= P( A) + P ( B1 ) + P( B'1 )
=

10 + 4 + 1 15
3
=
= .
220
220 44

Ví dụ 4: Một chiếc hộp kín đựng 12 quả bóng bàn trong đó có 3 quả màu

+
=
=
.
C123
C123
220 55

Ví dụ 5: Một tổ công nhân có 7 nữ và 5 nam. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người
để thực hiện một công việc. Tìm xác suất để ba người được chọn có ít nhất
một nam công nhân.
Bài giải:
Tổng số công nhân trong tổ là 12 người. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Vậy
3
không gian mẫu có C12 = 220 phần tử.

Cách 1:

Trang 18


Gọi A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là các biến cố trong ba người được chọn có đúng
một người là nam, có đúng hai người là nam và cả ba người đều là nam, A
là biến cố ba người được chọn có ít nhất một người nam thì:
A = A1  A2  A3
Rõ ràng A 1 , A 2 , A 3 là các biến cố từng đôi một xung khắc
Nên P ( A) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P( A3 )
C51 .C72 C52 .C71 C53 185 37
=
+

3
P ( X ) = P ( Đ) + P(T ) + P (V ) = 3 + 3 + 3 = .
C12 C12 C12 44
2. Trong một hộp có 14 tấm thẻ, trong đó 5 thẻ ghi số 1, 4 thẻ ghi số 2, 3
thẻ ghi số 3 và 2 thẻ ghi số 4. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ từ 14 tấm thẻ
trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai tấm thẻ có tổng các số ghi trên
hai tấm thẻ đó bằng 5.
( Sách rèn luyện giải toán đại số - giải tích 11 – trang 79)
Đáp số:
Gọi A là biến cố “ chọn được thẻ số 1 và số 4”, B là biến cố “ chọn được
thẻ số 2 và số 3”. Gọi X là biến cố “ chọn được hai tấm thẻ có tổng các số
ghi trên hai tấm thẻ đó bằng 5”.
X = A  B , A và B là các biến cố xung khắc nên ta có
C 41 .C31 C51 .C 21 22
P ( X ) + P ( A) + P ( B ) =
+
= .
C142
C142
91
3. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3
bóng. Tính xác suất để lấy được:
a. Ba bóng tốt.
b. Ít nhất hai bóng tốt.
c. Ít nhất một bóng tốt.

Trang 20


( Sách 500 bài tập cơ bản – nâng cao đại số - giải tích 11 – trang 80)

3
mẫu là C 20 = 1140 phần tử.

a. Gọi A là biến cố “ cả 3 viên bi lấy được đều màu đỏ”.
3
Có C12 = 220 cách lấy 3 viên bi đều màu đỏ.

Nên P ( A) =

220 11
=
.
1140 57

b. Gọi B là biến cố “ cả 3 viên bi lấy được đều màu xanh”.
3
Có C8 = 56 cách lấy 3 viên bi đều màu xanh.

Nên P ( B ) =

56
14
=
.
1140 285

c. Gọi C là biến cố “ có ít nhất 1 viên bi đỏ” thì C = B

Vậy P (C ) = 1 − P( B ) = 1 −


Gọi A là biến cố “ xuất hiện ít nhất một lần hai mặt 6”, vậy A là biến cố “
không xuất hiện hai mặt 6”. Khi đó P ( A) = 1 − P ( A) .
Số khả năng có thể xảy ra khi gieo hai con súc sắc là 6 2 = 36.
Số khả năng để không xuất hiện hai mặt 6 là 35.
Vậy xác suất để một lần gieo không xuất hiện mặt 6 là

35
.
36
n

 35 
Vậy xác suất để n lần gieo không xuất hiện mặt 6 là   .
 36 
n

 35 
Do đó: P ( A) = 1 − P( A) = 1 −   .
 36 

Trang 23


Bài tập áp dụng:

.

1. Có 7 người nam và 3 người nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tìm xác suất
sao cho:
a. Cả hai đều là nữ.

Dạng toán 4: Bài tập về xác suất của biến cố giao - quy tắc nhân xác
suất.
Ví dụ 1: Gieo hai con súc sắc. Tìm xác suất để:
a. Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.
b. Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Bài giải:
a. Gọi hai con suác sắc là M và N, A là biến cố “ Súc sắc M xuất hiện mặt 6
chấm”, B là biến cố “ súc sắc N xuất hiện mặt 6 chấm”. Ta nói A và B là
các biến cố độc lập.
Nên P ( A) =

1
1
và P ( B) = .
6
6

Biến cố “ Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt 6 chấm” là AB và cả hai
biến cố A và B đồng thời xảy ra. Vậy xác suất để hai con súc sắc đều xuất
hiện mặt 6 chấm là:
P(AB) = P(A).P(B) =

1
.
36

b.Gọi X là biến cố “ có đúng mmột trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 6
chấm”, ta có X là hợp của hai biến cố xung khắc AB và AB , tức là
X = AB  AB . Do đó P ( X ) = P ( A B ) + P( AB ) .
Vì P ( A) = 1 − P ( A) = 1 −