Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THANH TRÀ

ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN
QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU
VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2011

Footer Page
of bởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số1hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 2 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THANH TRÀ

ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN


1.2

Các không gian cần dùng

4
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương . . . . .

9

Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1


3.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP )II . . . . . . . . . . 51

3.3

Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

KẾT LUẬN

64

Tài liệu tham khảo

65

Footer Page
of bởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số3hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 4 of 89.
1

MỞ ĐẦU




Header Page 5 of 89.
2

là ”Nguyên lý ánh xạ KKM”.
Nguyên lý ánh xạ KKM.Giả sử E là không gian vectơ tôpô bất kì,
X là tập con khác rỗng của E và F : X → 2E là ánh xạ thỏa mãn
1. F(x) là tập đóng với mọi x ∈ X;
n

F (xi ) với mọi {x1 , x2 , ..., xn } ⊂ X;

2. co {x1 , x2 , ..., xn } ⊂
i=1

3. F (x0 ) là tập compact với x0 nào đó thuộc X.
Khi đó

F (x) = ∅.
x∈X

Năm 1972, dựa vào Nguyên lý ánh xạ KKM năm 1961, Ky Fan đã chứng
minh được một kết quả quan trọng mà sau này người ta gọi là ”Bất đẳng
thức Ky Fan”.
Bất đẳng thức Ky Fan. Giả sử E là không gian vectơ tôpô bất kì,
X là tập con lồi, compact, khác rỗng của E và f : X × X → R là hàm số
thỏa mãn
1. f (x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ X ;
2. f (x, y) là tựa lõm theo x với mỗi y cố định;

đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về một số không gian
vectơ và về ánh xạ đa trị để tiện cho việc theo dõi luận văn.
Chương 2: Trình bày một số kiến thức về ánh xạ KKM và các ứng
dụng của nó.
Chương 3: Đề cập đến bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, các
định lý về tồn tại nghiệm của nó và một số vấn đề liên quan.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn - Viện toán học Việt Nam. Nhân dịp
này, tôi xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Xin trân trọng cám ơn các thầy, cô giáo thuộc viện toán học và các
thầy, cô giáo của trường ĐHSP Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin thành kính cám ơn bố mẹ đã sinh thành và nuôi dưỡng, cám ơn
những người thân yêu trong gia đình, cũng như bạn bè, đồng nghiệp đã
luôn bên cạnh ủng hộ, động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Do trình độ còn hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót về nội dung cũng như về cách trình bày, tác giả rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011
Tác giả
Đỗ Thanh Trà

Footer Page
of bởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số6hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Toán học hiện đại được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp cùng với
các hệ tiên đề. Người ta không có định nghĩa chính xác, cụ thể tập hợp là

Footer Page
of bởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số7hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 8 of 89.
5

gì mà coi chúng như những họ các đối tượng có cùng những tính chất nào
đó. Ví dụ như họ các số nguyên dương là tập hợp các số tự nhiên, họ các
hàm số được định nghĩa trên đoạn [a, b] tạo thành tập hợp các hàm số trên
đoạn thẳng ấy, họ những học sinh cùng học trong lớp học nào đó là tập
hợp các học sinh trong lớp ấy, ... Các tập hợp thường được kí hiệu bằng
những chữ cái in hoa như: A, X, Y, ...và các phần tử của chúng thường
được kí hiệu bởi các chữ: a, x, y, ... Nếu x là phần tử của tập hợp X, ta kí
hiệu x ∈ X . Ta có:
Định nghĩa 1.1.1. a) Với mỗi cặp phần tử x, y của tập hợp X (gọi tắt
là tập X), đều xác định một qui tắc nào đó, một số thực ρ(x, y), gọi là
khoảng cách giữa x và y.
b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ρ(x, y) > 0 nếu x = y ; suy ra ρ(x, y) = 0 nếu x = y;
ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), với mọi x, y (tính đối xứng);
iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác);

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 9 of 89.
6

Từ định nghĩa dãy hội tụ, ta có tính chất sau:
1) Nếu xn → x và xn → x thì x = x’;
2) Nếu xn → x và yn → y thì ρ(xn , yn ) → ρ(x, y).
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một tập hợp. Nếu trên X có hai phép tính:
phép cộng giữa hai phần tử của X và phép nhân một số (thực hoặc phức)
với một phần tử của X thỏa mãn các điều kiện
1) x, y ∈ X thì x + y ∈ X , với mọi x, y ∈ X ;
2) (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z ∈ X ;
3) x + y = y + x, với mọi x, y ∈ X ;
4) Tồn tại 0 ∈ X có tính chất: với mọi x ∈ X thì x + 0 = 0 + x = x.
0 được gọi là phần tử gốc hoặc phần tử trung hòa;
5) Với mọi x ∈ X thì tồn tại (- x) sao cho x + (−x) = 0;
6) 1.x = x, với mọi x ∈ X ;
7) l.(k.x) = (l.k).x, với mọi l, k ∈ K, x ∈ X ;
8) (l + k).x = l.x + k.x, với mọi l, k ∈ K, x ∈ X ;
9) l.(x + y) = l.x + l.y , với mọi l ∈ K, x, y ∈ X .
Khi đó, X được gọi là một không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X là một không gian tuyến tính. Hàm số . :

X → R+ thỏa mãn các điều kiện:
i) x ≥ 0, với mọi x ∈ X và x = 0 ⇔ x = 0;
ii) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ K, x ∈ X ;
iii) x + y ≤ x + y , với mọi x, y ∈ X
; được gọi là một chuẩn và cặp (X, . ) là một không gian tuyến tính định

n

R thì X là không gian Banach.
b) Cho X = C[a,b] với chuẩn f = max |f (x)| , f ∈ X thì X là không
x∈[a,b]

gian Banach.
n

Định nghĩa 1.1.7. Cho dãy {xn } ⊆ (X, . ), lập tổng riêng Sn =
∞

Nếu Sn → S ∈ X , ta nói chuỗi

∞

xi hội tụ và S =
i=1

∞

∞

xi hội tụ thì ta nói chuỗi

chuỗi. Nếu chuỗi
i=1

xi .
i=1

k=1

xi hội tụ. Hơn nữa, vì
i=1

∞

xk . Do đó, S ≤
k=1

xk .
k=1

Chú ý 1.1. Điều ngược lại của định lý trên cũng đúng, tức là nếu trong
không gian tuyến tính định chuẩn X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ
thì X là một không gian Banach.

1.1.2

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.9. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có dạng
song tuyến tính ., . : X × X → R

(x, y) → x, y
Footer Page
89.
Số10
hóaofbởi
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

y,y

⇔ x, x −

x, y −
2

| x,y |
y,y

x,y
y,y

2

y, x +

| x,y |
2
| y,y |

y, y ≥ 0

≥ 0 ⇔ | x, y |2 ≤ x, x y, y .

Định lý 1.1.11. Nếu (X, ., . ) là một không gian tiền Hilbert thì hàm số

x =
x, x , x ∈ X
là một chuẩn trên X.


Header Page 12 of 89.
9

Định nghĩa 1.1.12. Không gian tiền Hilbert đầy đủ đối với metric ρ (x, y) =

x−y =

x − y, x − y là không gian Hilbert.

Ví dụ 1.3. Cn là một không gian Hilbert với tích vô hướng x, y =

n

x i yi
i=1

trong đó x = (x1 , ..., xn ) , y = (y1 , ..., yn ) ∈ Cn .

1.1.3

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.13. Cho X là một không gian tuyến tính. X được gọi là
không gian tôpô nếu trên X có một họ

các tập hợp có tính chất:

i) ∅ ∈


hóaofbởi
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 13 of 89.
10

Sự phát triển của toán học đã mở rộng việc nghiên cứu từ ánh xạ đơn
trị lên thành ánh xạ đa trị với nhiều tính chất mới. Sau đây, ta sẽ ngiên
cứu một số tính chất của ánh xạ đa trị, đặc biệt là tính liên tục và tính
lồi theo nón.

1.2

Ánh xạ đa trị

1.2.1

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm về nón và ánh xạ đa trị như sau.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C ⊆ Y, C = ∅.
Ta nói C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu tc ∈ C , với mọi c ∈ C, t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, tập hợp C ⊆ Y
được gọi là nón có đỉnh tại điểm x0 nếu tập C − x0 là một nón có đỉnh tại
gốc trong Y.
Trong luận văn này, ta chỉ quan tâm tới nón có đỉnh tại gốc nên gọi
ngắn gọn là nón. Từ định nghĩa nón ở trên, ta có các khái niệm sau:

Nếu lấy C = {0} ∪ {x =(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn |x1 > 0 } thì C là nón
nhọn, đúng nhưng không là nón sắc.
Nếu lấy C = {x =(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn |x1 ≥ 0 } thì C là nón lồi, đóng
nhưng không nhọn, vì dễ thấy l(C) = {x = (0,x2 ,...,xn ) ∈ Rn } = {0}.

b) Cho C = {(x, y, z) ∈ R3 |x > 0, y > 0, z > 0}∪{(x, y, z) ∈ R3 |x ≥ y ≥ 0, z = 0 }
Dễ thấy, C là nón lồi, sắc nhưng không đúng.
Định nghĩa 1.2.3. a) Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y.

B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C = cone(B) nếu
C = {tb |b ∈ B, t ≥ 0}. Trường hợp B không chứa điểm gốc của Y thì
B được gọi là cơ sở của nón C, nếu với mọi c ∈ C, c = 0 đều tồn tại duy
nhất phần tử b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb. Hơn nữa, nếu B có hữu hạn
phần tử và C = cone(conv(B)) thì C được gọi là nón đa diện.
b) Cho C là nón trong không gian tôpô tuyến tính Y. Gọi Y ∗ là không
gian tôpô đối ngẫu của Y. Nón cực C của C được định nghĩa như sau:
C = {ξ ∈ Y ∗ | ξ, c ≥ 0} , với mọi c ∈ C ;
và
C + = {ξ ∈ Y ∗ | ξ, c > 0}, với mọi c ∈ C\{0}.
Sau đây, ta sẽ khái quát một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị.
Cho X, Y là hai tập hợp, D là một tập con của X. Kí hiệu 2Y là tập gồm
tất cả các tập con của Y.
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ G từ D vào 2Y , biến mỗi phần tử x ∈ D thành
tập G(x) ⊆ Y , được gọi là ánh xạ đa trị từ D vào Y. Kí hiệu G : D → 2Y .
Ta định nghĩa miền xác định và đồ thị của G lần lượt như sau:

domG := {x ∈ D |G(x) = ∅};
GrG := {(x, y) ∈ D × Y |y ∈ G(x), x ∈ dom(G)}.
Cho A ⊆ D, có G(A) =
G(x) được gọi là ảnh của tập A qua ánh

G−1 (B) = ∪ G−1 (y) = {x ∈ D |G(x) ∩ B = ∅}.
y∈B

Từ định nghĩa ánh xạ đa trị, ta có các phép tính về ánh xạ đa trị như
sau:
Định nghĩa 1.2.6. Cho G1 , G2 : D → 2Y là hai ánh xạ đa trị từ D vào
Y. Ta gọi ánh xạ giao (hợp) của G1 và G2 , kí hiệu G1 ∩ G2 (G1 ∪ G2 ) là
một ánh xạ đa trị từ D vào Y, được xác định:

x ∈ D → (G1 ∩ G2 ) (x) = G1 (x) ∩ G2 (x);
(x ∈ D → (G1 ∪ G2 ) (x) = G1 (x) ∪ G2 (x)).
Định nghĩa 1.2.7. Cho Gi : D → 2Yi là các ánh xạ đa trị từ D vào Yi
(i = 1,2,...,n). Ánh xạ tích đề các của các Gi , i = 1,2,...,n, kí hiệu là
n

G=

n

Gi , là một ánh xạ đa trị từ D vào
i=1

n

x ∈ D → G(x) =

Yi , được xác định:
i=1

Gi (x).

13

xạ đa trị từ D vào Y, được xác định:
n

x ∈ D → G(x) =

Gi (x).
i=1

Định nghĩa 1.2.10. Cho ánh xạ đa trị G : D → 2Y . Ánh xạ tích của ánh
xạ G với một số α là một ánh xạ đa trị từ D vào Y, kí hiệu αG, được xác
định:

x ∈ D → (αG) (x) = αG(x).
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính. D là tập con khác rỗng
của X. Cho G : D → 2Y là ánh xạ đa trị từ D vào Y, ta có:
Định nghĩa 1.2.11. Ta gọi ánh xạ bao lồi của G, kí hiệu coG, là một ánh
xạ đa trị từ D vào Y, được xác định như sau:

x ∈ D → (coG) (x) = co(G(x)) .
Định nghĩa 1.2.12. Ánh xạ bao đóng của G, kí hiệu G, là một ánh xạ đa
trị từ D vào Y được định nghĩa:

x ∈ D → G(x) = G(x).
Định nghĩa 1.2.13. G được gọi là ánh xạ đóng, nếu GrG là đóng trong
không gian tích X × Y .
Cho (p) là một tính chất nào đó của một tập con (ví dụ: tính đóng, lồi,
compact,...). Nếu mọi giá trị G(x) của ánh xạ đa trị G đều có tính chất
(p) trong Y, thì ta nói rằng G nhận giá trị có tính chất (p). Chẳng hạn,

Nhận xét: Nếu G1 , G2 : D → 2Y là hai ánh xạ đa trị compact thì
các ánh xạ G1 + G2 , λG1 (λ ∈ R) và G1 ∩ G2 cũng là những ánh xạ đa trị
compact.
Tiếp theo, ta nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Cho X, Y là hai không gian tôpô, D ⊂ X, G : D → 2Y là ánh xạ đa trị.
Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa nửa liên tục trên và dưới của ánh xạ
đa trị theo nghĩa của Berge [7].
Định nghĩa 1.2.15. G được gọi là nửa liên tục trên (kí hiệu: u.s.c) tại

x0 ∈ D nếu với mọi tập mở V, G(x0 ) ⊂ V , đều tồn tại lân cận U của x0
sao cho G(x) ⊂ V , với mọi x ∈ U .
G được gọi là nửa liên tục trên trên D, nếu nó là nửa liên tục trên tại
mọi x0 ∈ D.
Định nghĩa 1.2.16. G được gọi là nửa liên tục dưới (kí hiệu: l.s.c) tại

x0 ∈ D nếu với mọi tập mở V, G(x0 ) ∩ V = ∅, đều tồn tại lân cận U của
x0 sao cho G(x) ∩ V = ∅, với mọi x ∈ U .
G được gọi là nửa liên tục dưới trên D, nếu nó là nửa liên tục dưới tại
mọi x0 ∈ D.
Ví dụ 1.7. Cho ánh xạ đa trị G : R → 2R , được xác định:
[0, 21 ), x = 0;
G(x) =
[0, 1], x = 0.
Dễ thấy, G là nửa liên tục trên tại 0 và G không nửa liên tục dưới tại 0.
Thật vậy:
Ta chứng minh G nửa liên tục trên tại 0.
Gọi V là tập mở bất kì sao cho G(0) = [0, 1] ⊂ V . Lấy U là lân cận bất kì

Footer Page
89.

iii) G(x0 ) là tập compact và G(x) ∩ H(x) = ∅ với mọi x ∈ D.
Khi đó, ánh xạ đa trị G ∩ H : D → 2Y là nửa liên tục trên tại x0 .
Chứng minh. Xem mệnh đề 2, trang 71 trong [6].
Hệ quả 1.2.18. Cho H : D → 2Y là ánh xạ đa trị từ D vào không gian
tôpô Y. Nếu H là ánh xạ đóng, compact và H(x) = ∅ với mọi x ∈ D, thì
H là nửa liên tục trên.
Chứng minh. Ta lấy ánh xạ G : D → 2Y như sau:

G(x) = H(D), x ∈ D.
Dễ thấy, G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và H = G ∩ H . Theo Mệnh
đề 1.2.17, H là nửa liên tục trên.
Như ta đã biết, hàm g : X → R được gọi là nửa liên tục trên (hoặc
dưới) tại x0 nếu với bất kì ε > 0, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho

g(x) ≤ g(x0 ) + ε (hoặc g(x) ≥ g(x0 ) − ε), với mọi x ∈ U .
Định nghĩa 1.2.19. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,

D ⊂ X là tập khác rỗng và I là tập các chỉ số. Họ hàm số gα : D → R, α ∈ I
được gọi là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậc tại x0 ∈ D,
nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: gα (x) ≤
gα (x0 ) + ε (tương ứng gα (x) ≥ gα (x0 ) − ε), với mọi x ∈ U ∩ D và α ∈ I .

Footer Page
89.
Số18
hóaofbởi
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


y, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ∩ (V + C) = ∅, với mọi
x ∈ U ∩ domG. Và điều này tương đương với: với mọi tập mở W, G(x0 ) ∩
(W + C) = ∅, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho G(x) ∩ (W + C) = ∅,
với mọi x ∈ U ∩ domG.
Chứng minh. a) Giả sử G là C - liên tục trên tại x0 . Lấy W là tập mở
trong Y sao cho G(x0 ) ⊂ (W + C). Theo giả thiết, G(x0 ) là compact nên
Footer Page
89.
Số19
hóaofbởi
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 20 of 89.
17

tồn tại lân cận V0 của 0 trong Y sao cho G(x0 ) + V0 ⊂ W + C . Lấy V là
lân cận bất kì của 0 trong Y, thì V ∩ V0 là lân cận của 0. Do G là C - liên
tục trên tại x0 , nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho:

G(x) ⊂ G(x0 ) + V ∩ V0 + C , với mọi x ∈ U ∩ domG.
Ta có:

G(x0 ) + V ∩ V0 + C ⊂ G (x0 ) + V0 + C ⊂ W + C + C = W + C .
Từ đó suy ra:
G(x) ⊂ W + C , với mọi x ∈ U ∩ domG.
Ngược lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y. Không mất tính tổng
quát, ta có thể giả thiết rằng V mở. Đặt W = G(x0 ) + V . Ta thấy W là

Footer Page
89.
Số20
hóaofbởi
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

, với yi ∈ G(x0 ).

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 21 of 89.
18

Ta thấy yi +

V
2

là lân cận của yi và yi ∈ G(x0 ) nên theo giả thiết, tồn tại

các lân cận Ui (i = 1,2,...,n) của x0 sao cho:

G(x) ∩ yi +
n

V
2

+ C = ∅ , với mọi x ∈ Ui ∩ domG.

b) Nếu G là ánh xạ đơn trị, theo định nghĩa, ta thấy tính C - liên tục
trên và C - liên tục dưới của G đồng nhất. Khi đó, G được gọi là C - liên

Footer Page
89.
Số21
hóaofbởi
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 22 of 89.
19

tục;
c) Trường hợp Y = R, C = R+ = {x ∈ R |x ≥ 0} và ánh xạ đơn trị G
là C - liên tục tại x0 , ta suy ra G là nửa liên tục dưới tại x0 theo nghĩa
thông thường. Trong trường hợp ngược lại, lấy C = R− = {x ∈ R |x ≤ 0}
và G là C - liên tục tại x0 thì G là nửa liên tục trên tại x0 ;
d) Nếu G là liên tục trên và G(x) đóng với mọi x ∈ D thì G là đóng;
e) Theo Hệ quả 1.2.18 và chú ý ở phần a) ta thấy, nếu G là đóng,
compact thì G là liên tục trên.
Nhận xét a) Nếu hai ánh xạ đa trị G1 , G2 : D → 2Y đồng thời là C liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới), thì ánh xạ đa trị G1 ∪ G2 cũng là C
- liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới);
b) Cho X, Y1 , Y2 là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là
tập con khác rỗng của X. Nếu G1 : D → 2Y1 , G2 : D → 2Y2 là các ánh xạ
đa trị C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới), thì ánh xạ đa trị G1 × G2
cũng là C - liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới).
Mệnh đề sau cho ta các điều kiện cần và đủ của một ánh xạ đa trị là C

suy rộng {xβ } ⊂ D thỏa mãn xβ → x0 , yβ ∈ G(xβ ) + C, yβ → y0 . Lấy V
là lân cận lồi, đóng tùy ý của 0 trong Y. do G là C - liên tục trên tại x0
và yβ → y0 , nên tồn tại chỉ số β ∗ ≥ 0 sao cho G(xβ ) ⊂ G(x0 ) + V2 + C và

yβ − y0 ∈ V2 , với mọi β ≥ β ∗ . Vì vậy, y0 = y0 − yβ + yβ ∈ V2 + G(xβ ) + C ⊂
V
V
2 + G(x0 ) + 2 + C ⊂ G(x0 ) + V + C . Theo giả thiết, G(x0 ) + C là tập
đóng nên y0 ∈ G(x0 ) + C .
Ngược lại, cho G là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng {xβ } ⊂
D, xβ → x0 , yβ ∈ G (xβ ) + C, yβ → y0 đều suy ra y0 ∈ G (x0 ) + C . Bằng
phản chứng, ta giả sử rằng G không là C - liên tục trên tại x0 . Khi đó,
phải tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho với mọi lân cận Uβ của x0 ta
đều tìm được xβ ∈ Uβ để:
G (xβ ) ⊂ G (x0 ) + V + C .
Ta chọn yβ ∈ G(xβ ) mà yβ ∈
/ G (x0 ) + V + C . Ta có yβ ∈ G (xβ ) ⊂ G(D).
Vì G(D) là tập compact, nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
rằng yβ → y0 . Theo giả thiết, y0 ∈ G(x0 ) + C . Mặt khác, từ yβ → y0 suy
ra tồn tại β ∗ ≥ 0 để yβ − y0 ∈ V , với mọi β ≥ β ∗ . Từ đó suy ra:
yβ ∈ y0 + V ⊂ G(x0 ) + V + C , với mọi β ≥ β ∗ .
Điều này dẫn tới mâu thuẫn.
2) Giả sử G là ánh xạ compact và C - liên tục dưới tại x0 ∈ domG, và
xβ → x0 , y0 ∈ G(x0 ). Với lân cận V tùy ý của 0 trong Y, tồn tại lân cận
U của x0 sao cho:
G(x0 ) ⊂ G(x) + V − C , với mọi x ∈ U ∩ domG.
Vì xβ → x0 , nên tồn tại β0 ≥ 0 thỏa mãn
G(x0 ) ⊂ G(xβ ) + V − C , với mọi β ≥ β0 .
Theo giả thiết y0 ∈ G(x0 ), nên với mỗi β ≥ β0 , tồn tại yβ ∈ G(xβ ) ⊂
G(D), vβ ∈ V, cβ ∈ C sao cho:

zβ ∈ yβ + V2 + V2 − C ⊂ G(xβ ) + V − C , với mọi β ≥ β1 .
Điều này mâu thuẫn.
Đơn giản hơn, ta có thể sử dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị để
nghiên cứu tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Xét G : D → 2Y ,
trong đó D ⊂ X . Với mỗi ξ ∈ C , ta định nghĩa hàm gξ , Gξ : D → R như
sau:

gξ (x) = inf

ξ, y , x ∈ D,

y∈G(x)

Gξ (x) = sup ξ, y , x ∈ D , trong đó R = R ∪ { ± ∞}.
y∈G(x)

Mệnh đề sau đây cho thấy mối liên hệ giữa tính C - liên tục trên (hoặc
dưới) của ánh xạ đa trị G với tính nửa liên tục trên (hoặc dưới) của các
hàm gξ , Gξ .
Mệnh đề 1.2.23. a) Nếu G là (-C) - liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈

domG, thì với mỗi ξ ∈ C cố định, Gξ (tương ứng gξ ) là hàm số nửa liên
tục trên tại x0 .
b) Nếu G là C - liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ domG, thì với mỗi
ξ ∈ C cố định, gξ (tương ứng Gξ ) là hàm số nửa liên tục dưới tại x0 .

Footer Page
89.
Số24
hóaofbởi


ta ssuy ra sup ξ, c = 0. Từ đó suy ra Gξ (x) ≤ Gξ (x0 ) + ε, với mọi
c∈−C

x ∈ U ∩ domG hay Gξ là nửa liên tục trên tại x0 .
Bây giờ,giả sử G là (-C) - liên tục dưới tại x0 . Theo định nghĩa tồn tại
lân cận U của x0 sao cho:
G(x0 ) ⊂ G(x) + V + C , với mọi x ∈ U ∩ domG.
Theo định nghĩa của gξ , ta có:
inf ξ, y ≥ inf ξ, y + inf ξ, v + inf ξ, c .
y∈G(x0 )

v∈V

y∈G(x)

c∈C

Cũng như trong chứng minh ở phần trên, ta có:

inf ξ, v = −ε, inf ξ, c = 0.

v∈V

c∈C

Từ đó, ta có:

gξ (x0 ) ≥ gξ (x) − ε, x ∈ U ∩ domG.
Ta đã chứng minh được gξ là nửa liên tục trên tại x0 .