VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

HUYỆN PHÚ LỘC

NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm):
 3x  9 x  3
Cho biểu thức A  

x

x

2


1

x 1

1

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây
CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng:
HM MK CD


HK MC 4R

3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
c  ab a  bc b  ac


2
ab
bc
ac


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Câu


x 1

x3 x 2

=


x  1
x  1
x  1

x 2

x 1



x 1

0,5



0,5

x  0
Với điều kiện: 
x  1


x  1 ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 0 ≤
2



x 1

2

x  1 > 0 nên

  khi













x 1

2

x  1 = 1 hoặc

x 1

Điểm

x 1 =

2



0,5

≤2



2

x 1 = 2

0,5

2

2

2 1  3  2 2

0,5


6 x 



2
x  4   VP  2 ,


1
6 x  x4  x 5
x 1

VT  VP  x  5 (TMĐK).

0,5

Vậy nghiệm của phương trình là x  5

0,5

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A

x 1
x  x 1
2

2

0,25

3x  3
A 2
 3A  2

x  x 1
x  x 1
x2  x  1

 x  2

2

=

x2  x 1

 x  2

1  1 (vì

x2  x 1

2

0,25
0,5

 0, x )

1

0,5

3x + 7

0,5

 x = – 2  yJ = 1  J(-2;1)

Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20

0,5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

 OJ2 + IJ2 = OI2  tam giác OIJ là tam giác vuông tại J

0,5

1
1
 S OIJ  OI .OJ   5  20  5 (đvdt)
2
2

4

1

2

MA.MB.MC
AC.BC

2

Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông tại C)
MC 2 .MC 2 MC3
MH.MK MC
=

=
 MH.MK =
MC.AB
AB
MC 2
AB

Mà MC = MK ( do CHMK là hình chữ nhật)

0,5

0,5
0,5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí



MH.MK MC 2MC CD

trên đường kính AB.
5

0,5

Vì a + b + c = 1 nên
c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b)
a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c)

0,5

b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c)
nên BĐT cần chứng minh tương đương với:

c  ac  b  b  ab  c   a  b a  c  2
a b

ac

2

bc
2

0,5
2

 c  a c  b 
 b  a b  c  
  a  b a  c  

 đpcm
3

0,5

Chú ý:
1) Nếu thí sinh làm bài không làm bài theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Bài hình không vẽ hình thì không chấm điểm.