Header Page 1 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.......................................................

NGUYỄN THI ̣ MINH TRANG

CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
CƠ BẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
.......................................................

NGUYỄN THI ̣ MINH TRANG - MÃ HỌC VIÊN: C00271

CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
CƠ BẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60460113

tác giả rấ t mong nhận được sự chỉ bảo tận tình, những đóng góp ý kiế n
quý báu của quý thầ y cô và các đô ̣c giả quan tâm tới mảng kiế n thức đươ ̣c
nghiên cứu trong luâ ̣n văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 25 tháng 5 năm 2016.
Tác giả

Nguyễn Thi Minh
Trang
̣

Footer Page 3 of 166.

1


Header Page 4 of 166.

Footer Page 4 of 166.

2

Thang Long University Library


Header Page 5 of 166.
MỞ ĐẦU
Các bài toán về bấ t đẳ ng thức nói chung là các bài toán khó đố i với
ho ̣c sinh phổ thông. Đa ̣i đa số ho ̣c sinh phổ thông tiế p câ ̣n các bài toán bấ t
đẳ ng thức theo phương pháp đa ̣i số dễ dàng hơn so với viêc̣ tiế p câ ̣n các

3


Header Page 6 of 166.
GIỚI THIỆU
Luâ ̣n văn “Chứng minh một số bấ t đẳ ng thức cơ bản bằ ng phương pháp
hình học ” gồ m có
- Mở đầ u.
- Ba chương nô ̣i dung.
Chương I Phương pháp biểu diễn số dương bằng độ dài đoạn thẳng
Chương này dựa theo Chương I của tài liệu tham khảo [1] và các tài liệu
tham khảo [4], [5], [7], [8], [9], [10], [12], [13], [14]. Chương này trình
bày chứng minh các bất đẳng thức bằng cách so sánh độ dài của các đoạn
thẳng và sử dụng một trong các phương pháp dưới đây để thiết lập bất
đẳng thức AM-GM cho hai số dương và một số các bất đẳng thức khác.
1. Nguyên lý bao hàm.
2. Nguyên lý trắ c đi ̣a.
3. So sánh Pythagore.
4. Bất đẳng thức tam giác (đa giác).
5. So sánh đồ thị của các hàm số.
Chương II Phương pháp biểu diễn số dương bằng diện tích hoặc thể tích
Chương này dựa theo Chương II của tài liệu tham khảo [1] và các tài liệu
tham khảo [2], [3], [6], [11], [15]. Chương này trình bày chứng minh các
bất đẳng thức bằng cách sử dụng các số dương biểu thi ̣cho số đo diện tích
hoặc thể tích của một vật thể theo phương pháp nguyên lý bao hàm, dùng
nguyên lý bao hàm để thiế t lập bất đẳng thức AM- GM và một số bất
đẳng thức khác có liên quan.
Chương III Một số bài tập áp dụng
Chương này lấy từ tài liệu tham khảo [1] và phần lớn do tác giả tự giải.
Chương này trình bày một số các bài tập chứng minh bất đẳng thức cơ

cạnh lớn hơn”. Do đó trong một tam giác vuông cạnh huyền luôn là cạnh
lớn nhất. Vì vậy để so sánh hai đoạn thẳng ta coi một đoạn thẳng ứng với
cạnh bên và đoạn còn lại ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông.
4. Bất đẳng thức tam giác (đa giác). Mệnh đề I.20 trong cuố n sách
cơ sở phát biể u rằ ng “Trong một tam giác, tổng của hai cạnh bất kì luôn
lớn hơn cạnh thứ ba”. Do đó khi ba đường thẳng tạo thành một tam giác
thì độ dài của một cạnh bất kì trong tam giác luôn bé hơn hoặc bằng tổng
độ dài hai cạnh còn lại (tương tự cho các đa giác). Và bấ t đẳ ng thức tam
giác là một trường hợp đặc biệt của nguyên lý trắc địa.

Footer Page 7 of 166.

5


Header Page 8 of 166.
5. So sánh đồ thị của các hàm số. Nếu đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)
nằm phía trên đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) trong một khoảng giá trị 𝑥 thì
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) trong khoảng giá trị đó. Và vì đoạn thẳng nối từ điểm
(𝑥; 𝑓(𝑥)) tới điểm (𝑥; 𝑔(𝑥)) có độ dài lớn hơn hoặc bằng không nên bất
đẳng thức 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) được thiế t lập.

Hình 1.1
Trong hình 1.1 phía trên ta khẳng định rằng có thể kết hợp các số dương
với chiều dài của các đoạn thẳng.

1.1

Bất đẳng thức liên quan tới hình tam giác


Trong chương này chúng ta sẽ bắt gặp các phương pháp khác nhau
của việc tìm trung bình các số. Có lẽ giá trị trung bình nổi tiếng nhất là
Trung Bình Cộng, trung bình cô ̣ng của hai số 𝑎 và 𝑏 là

𝑎+𝑏
2

. Giá trị trung

bình khác là căn bậc hai của trung bình bình phương, căn bậc hai của
trung bình bình phương đố i với hai số 𝑎 và 𝑏 là √

(𝑎2 +𝑏2 )
2

.

Căn bậc hai của trung bình bình phương thường xuất hiện trong vật lý, kĩ
thuật điện và người ta sử dụng nó để đo độ lớn của những đa ̣i lươ ̣ng nhâ ̣n
cả giá tri dương
lẫn âm, chẳng hạn như sóng.
̣

Footer Page 9 of 166.

7


Header Page 10 of 166.
Trong hình 1.4 chúng ta sử dụng hai lần bất đẳng thức tam giác để chỉ ra


Thang Long University Library


Header Page 11 of 166.
của các mặt bên của một hình hộp chữ nhật hoặc hình hộp với chiều dài
biên 𝑎, 𝑏 và 𝑐 như ở hình bên phải của hình 1.5.

1.2

Đường gấp khúc

Nguyên lý trắc địa đối với những đường gấp khúc được minh họa ở hình
1.4 và 1.5, có thể được mở rộng cho các bất đẳng thức khác.
Ví dụ. Cho bốn số dương bất kì 𝑥, 𝑦, 𝑢 và 𝑣, ta có
√(𝑥 + 𝑦)2 + (𝑢 + 𝑣)2 ≤ √𝑥 2 + 𝑢2 + √𝑦 2 + 𝑣 2 .
Bấ t đẳ ng thức đươ ̣c minh họa trong hình 1.6 [7].

Hình 1.6.
Từ đó ta có thể mở rộng cho 𝑛 biến số và thu được trường hợp đặc
biệt Bất đẳng thức của Minkowski (Hermann Minkowski, 1864-1909) đối
với các số dương 𝑎𝑖 và 𝑏𝑖 [14]:
√(∑

𝑛
𝑖=1

2

2

không vì ta luôn có thể vẽ đươ ̣c bên trong đa giác này một đa giác khác có
chu vi lớn bất kì.
Nhưng nếu ta chỉ xét các đa giác lồi thì câu trả lời là có. Vâ ̣y mô ̣t
hình 𝑛- giác là lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì (nằm trên hoặc nằm
trong) của 𝑛- giác thì nằm trong 𝑛- giác đó.

Hình 1.8
Bây giờ xét một 𝑚- giác lồi chứa trong một 𝑛- giác lồi như minh họa ở
hình 1.8.
Giả sử 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 biểu thị cho các đỉnh của 𝑛- giác theo chiều
kim đồng hồ (để thuận tiện ta giả sử 𝐴0 = 𝐴𝑛 ), tương tự ta
gọi 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑚 biểu thị các đỉnh của 𝑚- giác với 𝐵0 = 𝐵𝑚 . Gọi 𝐶𝑖 là
giao điểm của cạnh 𝐴𝑖−𝑖 𝐴𝑖 với một cạnh nào đó của 𝑚- giác (với 𝑖 chạy từ
1 đến 𝑛), áp dụng bất đẳng thức đa giác cho miền đa giác có các đỉnh
𝐴𝑖−1 , 𝐴𝑖 , 𝐶𝑖 , đỉnh 𝐵𝑖′ của 𝑚- giác (với 𝐵𝑖′ luôn nằm giữa 𝐶𝑖 và 𝐶𝑖−1 ) và
𝐶𝑖−1 . Sử dụng kí hiệu giá tri ̣tuyê ̣t đố i biểu thi ̣độ dài các cạnh của đa giác,
ta có
|𝐴𝑖−1 𝐴𝑖 | + |𝐶𝑖 𝐴𝑖 | ≤ |𝐶𝑖 𝐵𝑖′ | + ⋯ + |𝐶𝑖−1 𝐴𝑖−1 | (∗)

Footer Page 12 of 166.

10

Thang Long University Library


Header Page 13 of 166.
Chứng minh chu vi của 𝑛- giác thì nhỏ hơn hoặc bằng chu vi của 𝑚- giác.
Thật vậy. Từ bất đẳng thức (∗), ta có
|𝐴1 𝐴2 | + |𝐴2 𝐶2 | ≤ |𝐶2 𝐵2 | + |𝐵2 𝐶1 | + |𝐶1 𝐴1 |

xấp xỉ tỉ lệ giữa chu vi một đường tròn với đường kính của nó bằ ng việc
sử dụng các đa giác ngoại tiếp và nội tiếp một đường tròn. Khi tính xấp xỉ
chu vi của đường tròn với chu vi các hình đa giác 96 cạnh ông đã phát
hiện ra
10

3

71

=3

1
4
7
2018
40

284

1
4
7
2017
40


1.4

Bấ t đẳ ng thức giữa trung bin
̀ h cô ̣ng – trung bin
̀ h nhân (AMGM)

Tiế p theo sau trung bình cô ̣ng thì trung bình quan trọng thứ hai là trung
bình nhân. Cho hai số dương 𝑎 và 𝑏, trung bình nhân của 𝑎 và 𝑏 là √𝑎𝑏.
Ví dụ.
Nếu một khoản đầu tư 𝑋 được tăng 25% trong năm đầu tiên (Tức là
𝑋 được tăng lên bằ ng 𝑋. 𝑎 với hê ̣ số 𝑎 = 1.25) và 80% trong năm thứ hai
(với hê ̣ số 𝑏 = 1,8). Khi đó lãi trung bình thu về hàng năm kí hiệu 𝑟 là
√𝑎𝑏 = 1,5 hoặc 50% vì 𝑎𝑏𝑋 = 𝑟 2 𝑋. Nếu ta sử dụng trung bình cô ̣ng thay
thế ta sẽ có thể tính nhầm rằng tỉ lệ lãi trung bình hàng năm là 52,5%, vì
trung bình cô ̣ng của 1,25 và 1,8 là 1,525. Từ ví dụ này ta suy ra trung
bình cô ̣ng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân.
Từ đó bất đẳng thức nổi tiếng

𝑎+𝑏
2

≥ √𝑎𝑏 áp du ̣ng cho các số dương

𝑎, 𝑏 đươ ̣c go ̣i là bấ t đẳ ng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân,
đẳng thức xảy ra khi 𝑎 = 𝑏. Từ nay về sau bất đẳng thức này được viết tắt
là bất đẳng thức AM- GM.

Footer Page 14 of 166.

12


Header Page 16 of 166.

Bài toán 1.4.1. Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp được trong một
đường tròn bán kính 𝑅, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hình 1.10
Chứng minh.
Giả sử 𝑥 và 𝑦 biểu thị độ dài các cạnh của một hình chữ nhật khi đó
(𝑥/2)2 + (𝑦/2)2 = 𝑅2 . Kí hiệu 𝐴 = 𝑥𝑦 là diện tích của hình chữ nhật.
Áp dụng bất đẳng thức AM- GM, ta thu được một giá trị lớn nhất trên A:
2𝑅2 =

𝑥 2 +𝑦 2
2

≥ √𝑥 2 𝑦 2 = xy = A.

Đẳng thức xảy ra khi 𝑥 = 𝑦. Từ đó ta có hình chữ nhật nội tiếp được trong
một đường tròn có diện tích lớn nhất là hình vuông. (□).
Bài toán 1.4.2. Bài toán của Dido
Dido là một công chúa đến từ Phoenician của thành phố Tyre (hiện
nay là thành phố Lebanon). Dido rời thành phố khi anh trai của bà giết
chồng của mình và bà đến Châu Phi vào khoảng 900 năm trước công
nguyên gần vịnh Tunis. Dido quyết định mua mảnh đất từ ông chủ của
một địa phương tên là King Jarbas của vương quốc thuộc tây nam Châu
Phi. Vì vậy bà và những người tùy tùng của bà có thể định cư ở đó. Bà đã
trả Jarbas một số tiền nhiều bằng mảnh đất bà có thể rào quanh bằng một
tấm da của một con bò. Để có được càng nhiều đất càng tốt Dido đã cắt
miếng da bò thành những dải mỏng và buộc chúng với nhau . Mảnh đất

2
2
2
8
Đẳng thức xảy ra khi 𝑦 = 2𝑥. Vì vậy hình chữ nhật có diê ̣n tích lớn nhấ t
khi chiều dài gấp hai lần chiều rộng.
Bài toán 1.4.3. Bài toán cực đại của Regiomontanus
Vào năm 1471 Johannes Muller (1436- 1476) đã lấy tên
Regiomontanus đặt cho nơi sinh của ông, Kö nigsberg và ông đã viết một
bức thư cho ông Christian Roder nói về bài toán tạo góc như sau: Đứng ở
vi ̣ trí nào trên trái đất mà có thể nhìn đươ ̣c thanh treo theo phương thẳ ng
đứng với góc nhin
̀ lớn nhấ t?.

Footer Page 17 of 166.

15


Header Page 18 of 166.
Trong tác phẩm kinh điển của ông 100 bài toán quan trọng của
toán học cơ bản [4]. Heinrich Dö rrie viết rằng “Bài toán này đáng phải để
ý hàng đầ u đặc biệt như bài toán quan trọng nhất phải đối mặt trong lịch
sử toán học từ thời cổ xưa”. Lời giải dưới đây được dựa theo [8].

Hình 1.12
Từ hình 1.12 ta thấy cái thanh được treo bên trên phần mắt của
người quan sát. Khoảng cách từ đỉnh và đáy của thanh treo đến đường kẻ
từ mắ t người quan sát (song song với mă ̣t đấ t) lần lượt là 𝑎 và 𝑏, 𝑥 là
khoảng cách từ vị trí người quan sát đến thanh treo, 𝜃 là giới hạn góc nhìn


cot θ =

𝑥
𝑎𝑏
x
ab
2√𝑎𝑏
+
≥ 2√
.
=
a − b (a − b)x
a − b (a − b)x a − b

Đẳng thức xảy ra khi

𝑥
a−b

=

𝑎𝑏
(a − b)x

hay 𝑥 = √𝑎𝑏. Vậy người quan sát

cần phải đứng ở một khoảng cách bằng trung bình nhân giữa chiều cao
của đỉnh và đáy của thanh treo.


(1/a)+(1/b)
2

= 𝑎+𝑏.

Trung bình điều hòa xảy ra một cách tự nhiên ở nhiều vị trí sắp xếp,
ví du ̣ như nếu chúng ta lái xe ô tô với quãng đường 100km với vận tốc
80km/h và quãng đường 100km khác với vận tốc 120km/h khi đó vận tốc
trung bình cho từng quãng đường là 96km/h, kế t quả này cũng chính là
trung bình điề u hòa của 80 và 120.
Thật dễ để chỉ ra rằng trung bình điều hòa của hai số dương 𝑎 và
𝑏 nhỏ hơn hoặc bằng trung bình nhân (Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
cho hai số

1 1

,

𝑎 𝑏

để chứng minh). Vì vậy bốn giá trị trung bình phải thỏa

mãn

Footer Page 19 of 166.

17


Header Page 20 of 166.

2
+
>
𝑥−1 𝑥+1 𝑥
Với 𝑥 > 1, áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình điều hòa và trung bình
cô ̣ng cho hai số dương

1
𝑥−1

và
1

1
𝑥−1+𝑥+1

< 𝑥−1

2

1

, ta có

𝑥+1

+
2

1

2 3 4
5 6 7
8 9 10

Áp dụng bất đẳng thức Mengoli ta thấy được sự mâu thuẫn
3 3 3
𝐻 >1+ + + +⋯=1+𝐻
3 6 9

Suy ra 𝐻 là chuỗi phân kì.
Các bất đẳng thức trong bốn giá trị trung bình của (1.1) được minh
họa trong hình 1.13 [9]. Sử du ̣ng so sánh Pythagore ta có
|𝐻𝑀| ≤ |𝐺𝑀| ≤ |𝐴𝑀| ≤ |𝑅𝑀|

Footer Page 20 of 166.

18

Thang Long University Library


Header Page 21 of 166.

Hình 1.13
Nhiều giá trị trung bình khác có thể được đưa vào giữa 𝑚𝑖𝑛(𝑎, 𝑏)
𝑎2 +𝑏2

và 𝑚𝑎𝑥(𝑎, 𝑏), ví dụ như trung bình phản điề u hòa
𝑎+𝑏


Khi đó 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 2𝑦; 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 2𝑥; −𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2𝑧
Và nế u 𝑠 là nửa chu vi thì 𝑠 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , do đó ta luôn có

Footer Page 21 of 166.

19


Header Page 22 of 166.
𝑠 − 𝑎 = 𝑧, 𝑠 − 𝑏 = 𝑥 và 𝑠 − 𝑐 = 𝑦
Bài toán 1.6.1. Bất đẳng thức của Padoa
Bất đẳng thức [13], do Alessandro Padoa (1868- 1937) phát biểu
rằng: Nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các cạnh của một tam giác thì
𝑎𝑏𝑐 ≥ (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑏 + 𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎 − 𝑏).
Chứng minh.
Sử dụng đổi biến Ravi, bất đẳng thức của Padoa tương đương với
bất đẳng thức sau
(𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧)(𝑧 + 𝑥) ≥ (2𝑥)(2𝑦)(2𝑧) = 8𝑥𝑦𝑧
Bất đẳng thức trên dễ dàng chứng minh khi sử dụng bất đẳng thức AMGM: 𝑥 + 𝑦 ≥ 2√𝑥𝑦, tương tự cho 𝑥 + 𝑧 và 𝑦 + 𝑧, do đó
(𝑥 + 𝑦)(𝑦 + 𝑧)(𝑧 + 𝑥) ≥ 2√𝑥𝑦 .2√𝑦𝑧 .2√𝑥𝑧 = 8𝑥𝑦𝑧.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 suy ra 𝑎 = 𝑏 = 𝑐.
Vậy 𝑎𝑏𝑐 ≥ (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑏 + 𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎 − 𝑏). (□).
Bài toán1.6.2. Nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 biể u thi ̣ độ dài các cạnh của một tam giác thì
√𝑎 + √𝑏 + √𝑐 ≥ √𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + √𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + √−𝑎 + 𝑏 + 𝑐. (1)
Sử dụng đổi biến Ravi, bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức
√𝑥 + 𝑦 + √𝑦 + 𝑧 + √𝑧 + 𝑥 ≥ √2𝑥 + √2𝑦 + √2𝑧 (2)
Chứng minh.
Do bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức (2) nên để chứng
minh bất đẳng thức (1) ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (2).
Với ba số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧. Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 suy ra 𝑎 = 𝑏 = 𝑐.
Vậy √𝑎 + √𝑏 + √𝑐 ≥ √𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + √𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + √−𝑎 + 𝑏 + 𝑐 . (□)

1.7

So sánh đồ thị

Từ hình 1.15 [10] cho thấ y với mo ̣i 𝑥 > 0 thì một phần đồ thị của
Hypebol: 𝑓(𝑥) =

1
𝑥

tiế p xúc với đường thẳng 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥 tại điểm có

tọa độ (1, 1). Mă ̣t khác vì Hypebol là hàm lồi nên đồ thi ̣ của nó nằm phía
trên đường tiếp tuyến 𝑔(𝑥) = 2 – 𝑥 từ đó suy ra

1
𝑥

≥ 2 − 𝑥 hay 𝑓(𝑥) ≥

1

1

𝑥

𝑥


2𝑥
𝜋

tại hai điểm là

𝜋

𝜋

2

2

gốc tọa độ và điểm ( ; 1). Vì vậy đồ thị của hàm 𝑠𝑖𝑛 là lõm trên [0; ]
suy ra hàm số sin nằ m phía trên đường 𝑦 =

2𝑥
𝜋

và nằ m phía dưới đường

𝑦 = 𝑥, từ đó ta có bấ t đẳ ng thức
2𝑥
≤ sin 𝑥 ≤ 𝑥
𝜋

Hình 1.16
Thực ra ta cần phải thận trọng khi sử dụng đồ thị hàm để thiế t lập
bất đẳng thức vì từ ví dụ trong hình 1.17 cho thấy rằng cos 𝑥 ≥ 1 −


√(cos 𝑥 − 1)2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ≤ |𝑥|
⇔ 2 − 2 cos 𝑥 ≤ 𝑥 2
𝑥2
⇔ cos 𝑥 ≥ 1 −
2

Hình 1.18

Footer Page 25 of 166.

23