TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHÒATOÁN’
NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC
KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
CỔ ĐIỂN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Đại số
Ngưòi hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ
KIỀU NGA
HÀ NỘI – 2014
■
Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G
T H Ứ C C Ổ Đ I Ể N ”

được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận
tình của các thày cô và bạn bè.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tói cô giáo hướng dẫn - TS.
Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại số
trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Bích Ngọc
Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình
của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga.
Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng vói bất kì đề tài nào khác.
Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực.
Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình.
Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Bích Ngọc
LỜI CẢM ƠN
MUC LUC

,a
2
, ,ữ
n
): tổng hoán vị theo N

biến số a
b
a
2
, , a
n
• cyc
• ^F ( A , B , C

) = / (аД c) + / ( B , C , A )

+ / (c,a,fc)
• ợyc
• Ví dụ: Y ^ A

2

B

= q
2
fc + fc
2
c + c

giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học. Để giải quyết chúng đòi hỏi phải có sự
sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán.
4
• Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựa
chọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt là việc rất
quan trọng. Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụng các bất đẳng
thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều được giải quyết một cách
nhanh chóng.
• Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga cùng
với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khóa luận
với đề tài “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C Ổ
Đ I Ể N ” .
2. Muc đích và nhiêm vu nghiên cứu
• • • o
• Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển.
3. Đối tượng nghiên cứu
• Một số bài tập về bất đẳng thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Đọc tài liệu, so sánh, phân tích và tổng hợp.
5
1.1Quan hệ thứ tự trên R và bất đẳng thức
• Trên tập số thực M xác định quan hệ “<” được định nghĩa như sau:
Với mọi A , B

thuộc R, ta có
•

A < B

nếu& - A


theo định nghĩa ta có A < B

khi và chỉ khi B - A

>0 A < B khi và chỉ khi B - A

>0 Cho A , B , C , D

là các biểu thức. Khi
đó ta có các tính chất sau đây: A<B và B<c thì A<c A < B V À
C<Dthì A + C < B + D A < B

khi và chỉ khi A + C < B +
C A < B

khi và chỉ khi M A < M B [ M >

o)
•

A < B

khi và chỉ khi M A > M B

(m < o)
•


У Х

1

, Х

2

e A;V/le [0,1] = > À X ^

+

(1 - X ) ^ A V Í
D Ụ :

các nửa khoảng, tam giác, đường tròn đơn vị trong mặt phẳng là các tập
lồi.
1.3.2. Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm
• Hàm số / (jt)được gọi là lồi trên [a,z?]nếu vói mọi X

V

X

2

e [ A , B ]

với

1.3.3. Tính chất cơ bản của hàm lồi
• Tính chất 1. Cho D

là tập lồi trong K Giả sử F

2

( X ) , . . . , F

N

( X

)là
các hàm lồi xác định trên D .

Cho Ả Ị

> 0, với mọi I = L , 2 , . . . , N .

Khi đó
hàm số /îj/j (jc) + Лз/з (jc) + + Ằ

N

F

N

(jc) cũng lồi trên D .


1

+ (1 - Ằ ) Y

2

)

làhàmlồittên
[0;l]
• Tính chất 3. Cho D

<z]R là tập hợp lồi, hàm số/: D — > R

là hàm lồi
• trên D .

Khi đó vói mọi số thực a thuộc № thì các tập
• К={{
х
’У)
&г>:
/{
х
’У)
<а
}
• N
ữ

с gọi là tập lồi trên
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
7
• đồ thị. Hàm / là lồi trên D

khi và chỉ khi E P I Ý Ì Ầ L

tập lồi trong M
Tính chất 5. Cho/(jt)là hàm xác định trên [ A ,

B ]

và có đạo hàm cấp 2 tại
jee[ữ,z?]. Nếu/"(jc)>0, Vjce[a,&]thì /(jc)là hàm lồi ưên [ A , B ] .

Nếu F ( X ) <0, Vjce[a,b]ứù /(jc)là hàm lõm trên [ A , B ] .
1.3.4.Hàm afin
• Cho hàm số/ : D

—»R. Hàm/là hàm afin khi và chỉ khi/(x)vừa là hàm
lồi, vừa là hàm lõm.
•

C H Ú Ý :

Hàm / (jt) có dạng / (x) = A X + B


L

= A

2

= . . . = A .
2.1.2. Chứng minh
• Trước hết ta chứng minh rằng: với Va >0, ne N ta có
• a
n+1
- ịn + ìja + n> 0
• Thật vậy,
• a
n+ì
-{n +1 )ữ + «>0 = a
n+l
-na-a + n
• = ịa
n+1
-a)-n(a-l)
• = aịa
n
-ÝỊ-nịa-Ý)
—

Ữ Ị ^ Ũ —

1
+


N

~

3
+ + Ị N -

l)a + n) ~ Ị >

0
• Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng
quy nạp theo N .

Với N

-1 :bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
• Giả sử bất đẳng thức đúng với N

số thực không âm, tức là
CHƯƠNG
1
ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với N

+1 số thực không âm
•
Đăt b

_
fl


N

+1
n
• áp dụng (1) với a = — ta có
• c
• íh X
+1
h
- -(n +l)—+ n>0
• c
•

z>"
+1
— (« + l)c"£ + nc"
+1
> 0
<=> b
n+1
> (n +1 )c
n
b - nc
n+ì
= c
n

((« +1 )b - nc)
• ^(ữ


N

+1 )

"
+
\ N
•

( T H E O

giả thiết quy nạp)
• + ữry + + ÍZ , I
• suy ra — — — >
<2

^2

, A

N + Ỉ
•

N

+1
• hay bất đẳng thức đúng với n + 1 số thực dương.
• Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
• Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

• a
5
+ b
5
+ c
5
> a
2
b
3
+ b
2
c
3
+ c
2
a
3
(1)
• Giải:
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
• a
5
+a
5
+b
5
+b
5
+b

2
a
3
CHƯƠNG
1
• Cong ve voi v§ cua cac bat dang thuc tren ta dugc
• a
5
+ B

5

+ C

5

>
A

5
B

6
+ B

2

C

3

)
(2)
• Giai:
• Chia 2 ve cua (2) choA

3

B

3

C

3

>0. Khi do bat dang thuc can
chung minh tuong duong voi
• 1 1 1 1 1 1
•

— Z R

H— T

H—r ^ ^—I—^—I"'
• a
3
b
3
c

2

C
•
• Cong ve voi ve cua cac bat dang thuc tren ta dugc
• 1 1 1 1 1 1
• Z I Z, I ZT ^ Z I Z I” "
• a
3
b
3
c
3
a
2
b b
2
c c
2
a
• Dau bang xay ra khi va chi khi A = B = C .
• Vi du 3.Voi A , B , C

> 0. Chung minh ring:
• (l + a
3
)(l + Z?
3
)(l + c
3


•

1
•/
•

V

C

/
•
•

I
B E )
• (l
+
fl3
)[l
+
^
• Đăt X = A ,

Y


X Y Z )
•
op=
4
+
*
3
)(i^
3
)(i+^
+
í^)(i
3
5x
i+
;
3
)
sl
• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
1
3
2 Vậy ta có điều phải chứng minh.
3 Ví dụ 4.VỚĨ A , B , C >

0. Chứng minh rằng:
4 (1 + A

3



>0 ta có
7 ỉj(l + x)(l + y)(l + z) ỉỊ(l + x)ậ + ỵ)(l + z) ~
8
1
-
1

+

1
-2L
+
-JL
+
_?_
9
<
l + л: 1+J 1 + z l + x l+y
1 + z_ị
3 3 ”
10 suy ra ^/(1 + x)(l + y)(l + Z ) >

1 + Ị [ X Ỹ Z
11 hay (ĩ + x)(ĩ + y)ịl +z)>ịl + tfxỹz)
12 Với x = a
3
,y = z = b
3
ta có

3
Nhân vế với
vế của các bất đẳng thức trên ta được
16 (l + a
3
)
3
(l+ b
3
)
3
(l + c
3
)
3
> (l + ab
2
)
3
(l + bc
2
)
3
(l +
ca
2
)
3
hay ịl + a
3

25 i

=1
26
27 n

1
28 2 -a
t
29
30 Suy ra
31 ấ(2-«,)ấy
1
-^
2
32 i=l (=1
z
A

I
33 Vì = 1 nên ta có
34 i

=1
35 / _ -Axh 1^ 2

'V'
1
2 2n
2

_s - dị
50 Đặt S

= Vữ, ta có—-1 =
51 i=i A .
52 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho N

-1 số dương ta có
53 !_ 1 = s-q > (n-ĩy^a

l

a

2

a

i

_

1

a

i+v

a



số thực dương ta có
63 (

n An
64 n

( n
65 n

a
i
66 i=1 V 1-1 y
67 r
68 Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi A

]

= A

2

= . . . = A

N
n
>(„-!)■
i
-1
v


0 thỏa mãn
A + B + C + D = \ .

Chứng minh
rằng:
79
80 Hướng dẫn:
81 1 . a + a + b + c
+ d ^ 5%Ja
2
bcd
—
—
1 , ^ 5 zld
2
abc
—
—
+

1
>

—

í
/

í

—
—
—
—
—
—
—
—
—
—

A B C D A + B + C + D

Bài 6. V Ớ I A ^ B Ị

(i = 1,2, ,«) là
những số thực dương. Chứng minh rằng:
—
— Hướng dẫn:
— Bất đẳng thức đã cho tương đương với
— 1
—
—
—
—
— Áp dụng bất đẳng ứiức Cauchy ta được
—

p<iỳ—ĩ—+lỳ



c + 2ữy
Bài 4. Với A,B,C

>0. Chứng minh rằng:
1 4 9 36
- + - + ->———. A
B C A+B+C
Bài 5. Với A,B,C,D >

0. Chứng minh rằng:
1 1 4 16 ^ 64
- + - + - + — >
1 1 1 o
-+-+->3 A
í
1
1
1
+
+
Bài 2. Cho a,b,c,d >0 ứiỏamãn điều kiện a + b + c + d -1
2
— n
—
(
—
(
n
—

— —
—
^
i=1
—
/
" n

Í

1

rị«. + №
Yị(
1+ a
i
+ b
i)
V 1-1
>1
V
V i=1 y
1
1
b
ử
r
a
n
<

— + ^r + ^7 > .
— a
2
+b
2
b +c a +c
— Giải:
— Ta có
—

. a

2
+b

2

—
—
— Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
— Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay. Sử dụng bất
đẳng thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau.
—
—
—
—
—

+{l-a)b

2a+b

2

b

2
+(l-p)c

2

b

2
+c


2,
\-ỄL'
2/
b
>
Ữ c
2
Giải:
Ta
ab

2

^
v
a

2
+b

2

= A-AB

- - >A

~——, - = a~ —
a

2
+b

2
2 a

2
+b

2
2

c

2+a

2

>b- Ễ E
>c~ —
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Ví

dụ 3. Vói A > 0,B,C <

1. Chứng minh rằng:
a(a

2
+2^-b

2
a

2
+b

2 +
b

2
+c

2 +

Từ kết quả của ví dụ 2, chọn a = 2ị\-b), Ị3 = 2ị\-c), ỵ = 2(l-a)
ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 4. Với A,B,C >

0. Chứng minh rằng:
(

3 B

2

- A

2

^
+ B
<a + b
— Sử dụng kết quả của ví dụ 2 với A = P = Ỵ =
A

ta được
—
—
—

r

— í 'In
2
_„
2
'\
—

ia —
c
— 2 2
v
c
+ a J
—

r
3b
2
-a
( 2 Q72^
>—ịa + b +


2

+
a

2
'
—

a

2
+b

2
b

2

3
-
3
—

a

2
+b

2
+ aab b

2
+c

2

—

Ầ +B

2

4—(A

2
+
£
2
)
—- >
—

b

2
+ c

2
+ abc a
+ 2


+ aca a
+ 2
— г
— Sử dụng kêt quả của ví dụ 6 với А

-1 ta có bài toán sau:
— Ví dụ 7. Với A , B , C >

0 .Chứng minh rằng:
—
—
— Sử dụng kêt quả của ví dụ 6 và chọn А

= —

> 0 ta có bài
toán sau:
— а
— Ví dụ 8. Vói A , B , C

> 0 .Chứng minh rằng:
— a
3
ab
3
с
3

>

+
a(b
2
+c
2
) + l
+
b[c
2
+a
2
) + l
— Ví dụ 10. Với A , B , C

>0. Chứng minh rằng:
—
—
—
— 3 , , 3
+
, 3 , 3
+
3 , 3
+
—

Ũ

+ơ Ь


— A
7

=—5

:
— a +b a +b a +b 4a a
3
+b
a
>
1 +
4 7 4 4 л С. ГГ Г г~ Л
> a + b
3
— а
3
+b
3
>2^а
3
Ь
3
<^>
a
> Ja
3


fc
3
+c
3
2л/&
—

с
4
ay/a ^
— + —^> c
— с
3
+ А

3
2 л/с
— Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng
thức cần chứng minh.
— Ví dụ 11. Với A , B , C

>0. Chứng minh rằng:
— a
7
b
5
с
5
1 (b