TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SP TOÁN - TIN
KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Đồng Tháp, năm 2014
i
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SP TOÁN - TIN
KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Ngành đào tạo: Sư phạm Toán học
Trình độ đào tạo: Đại học
Sinh viên thực hiện: Lê Thị Ngọc Thảo
Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Dũng
Đồng Tháp, năm 2014
ii
MỤC LỤC
Mở đầu 1
1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Tổng quan về đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7 Kế hoạch nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

[11] đã giới thiệu khái niệm mêtric nón. Năm 2012, S. Sedghi và các cộng sự
[18] giới thiệu khái niệm không gian S-mêtric như là một sự suy rộng mới
của không gian mêtric. Những không gian này đã được nghiên cứu ở Trường
Đại học Đồng Tháp, xem [1], [2], [8], [10], [16], [17], [19].
Năm 2010, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu một loại không
gian mới, đó là không gian kiểu-mêtric. Hướng nghiên cứu về tính chất của
không gian kiểu-mêtric và những tương tự của nó đã được một số tác giả
quan tâm nghiên cứu. Gần đây, N. V. Dung và các cộng sự [3], [4] đã chứng
minh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric; mở rộng định lí điểm
bất động cho hai ánh xạ trong không gian kiểu-mêtric. Trong tài liệu [12],
M. Jovanovic và các cộng sự đã chứng minh một số kết quả cho điểm bất
2
động chung của không gian kiểu-mêtric. Định lí điểm bất động trong không
gian kiểu-mêtric còn được nghiên cứu trong tài liệu [9].
Tính chất của không gian kiểu-mêtric đã được các tác giả sử dụng trong
các công trình trên. Tuy nhiên, những tính chất này được trình bày rời rạc,
dưới dạng cô đọng và chưa mang tính hệ thống.
Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát một số
tính chất của không gian kiểu-mêtric” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2 Tổng quan về đề tài
Năm 2010, M. A. Khamsi và N. Hussain [13] đã giới thiệu định nghĩa
không gian kiểu-mêtric như sau.
Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1 và D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn
các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X.
(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) D(x, y) = D(y, x).
(3) D(x, y) ≤ K

D(x, z) + D(z, y)


kiểu-mêtric như sau.
(1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không gian kiểu-mêtric (X, d, 1)
3
và ngược lại.
(2) Nếu (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric thì (X, D, K

) cũng là
một không gian kiểu-mêtric với mọi K

≥ K.
Trong khóa luận này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một số tính chất
của không gian kiểu-mêtric. Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa
cho kết quả đạt được.
3 Mục tiêu nghiên cứu
- Hệ thống, thiết lập và chứng minh một số tính chất của không gian
kiểu-mêtric.
- Xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric trong
chuyên ngành hẹp Tôpô đại cương.
5 Nội dung nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. Nội
dung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày
những khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric và không gian tôpô
được sử dụng trong khóa luận.
Chương 2: Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric. Trong chương
này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản của không gian kiểu-mêtric.
Sau đó, chúng tôi thiết lập, chứng minh một số tính chất của không gian
kiểu-mêtric và xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

minh họa cho kết quả đạt được.
- Tổ chức thảo luận
nhóm, kiểm tra kết
quả.
Từ 1/2014 đến
3/2014
5
Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng
dẫn
Thời gian
thực hiện
- Trình bày kết quả trước nhóm
nghiên cứu, bộ môn.
- Hướng dẫn sinh viên
chỉnh sửa các ý kiến
đóng góp.
Tháng 4/2014
- Hoàn thành khóa luận. - Kiểm tra khóa luận. Tháng 5/2014
6
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian mêtric
Từ khoảng cách giữa hai điểm trong không gian R
2
hoặc R
3
, khái niệm
khoảng cách đã được mở rộng thành khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong
không gian R
n

Nếu x = z thì d(x, z) = 0 còn d(x, y) + d(y, z) ≥ 0.
Vậy d là một mêtric trên X.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm trong không gian mêtric.
1.1.4 Định nghĩa ([5]). Cho (X, d) là một không gian mêtric.
(1) Dãy {x
n
} trong X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim
n→∞
d(x
n
, x) = 0,
kí hiệu là lim
n→∞
x
n
= x.
(2) Dãy {x
n
} trong X được gọi là một dãy Cauchy nếu lim
m,n→∞
d(x
m
, x
n
) = 0.
(3) Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mỗi
dãy Cauchy trong X là một dãy hội tụ trong X.
1.2 Không gian tôpô
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của không
gian tôpô.

, G
2
, . . . , G
n
∈ T thì

α∈I
G
α
∈ T .
Sau đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ về tôpô.
1.2.2 Ví dụ ([5], trang 92 - 93). Cho X là một tập hợp khác rỗng.
(1) T = {X, ∅} là một tôpô trên X và được gọi là tôpô thô.
(2) T = P(X), tập hợp tất cả các tập con của X, là một tôpô trên X và
được gọi là tôpô rời rạc.
(3) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric. Gọi T là họ tất cả các tập
mở theo d trên X. Khi đó, T là một tôpô trên X và được gọi là tôpô sinh
bởi mêtric. Đặc biệt trên R, tôpô sinh bởi mêtric d(x, y) = |x − y| với mọi
x, y ∈ R được gọi là tôpô thông thường.
Chứng minh. Để chứng minh T là một tôpô, ta kiểm tra các điều kiện trong
Định nghĩa 1.2.1. Chúng tôi chứng minh chi tiết cho T = {X, ∅}, các trường
hợp còn lại được chứng minh tương tự. Thật vậy, ta có
(1) ∅ ∈ T , X ∈ T .
(2) Giả sử (G
α
)
α∈I
⊂ T . Ta xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1. G
α

của không gian tôpô (X, T ).
(2) Tôpô thông thường trên R nhận họ các khoảng mở

a, b

làm một cơ sở
của nó.
1.2.5 Định nghĩa ([5], trang 104). Cho (X, T
X
) và (Y, T
Y
) là hai không gian
tôpô và ánh xạ f : X −→ Y .
(1) f được gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x
0
)
đều tồn tại một lân cận U của x
0
sao cho f(U) ⊂ V .
(2) f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
10
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN
KIỂU-MÊTRIC
2.1 Không gian kiểu-mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của không
gian kiểu-mêtric.
2.1.1 Định nghĩa ([13], Definition 6). Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1

(1) D(f, g) = 0 khi và chỉ khi

1
0
|f(x) − g(x)|
2
dx = 0.
Điều này tương đương với |f(x) − g(x)|
2
= 0 với mọi x ∈

0, 1

hay f = g.
(2) D(f, g) =

1
0
|f(x) − g(x)|
2
dx =

1
0
|g(x) − f(x)|
2
dx = D(g, f).
(3) 2

D(f, h) + D(h, g)

1
0

1
2
+ 1
2

|f(x) − h(x)|
2
+ |h(x) − g(x)|
2

dx
≥

1
0

|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|

2
dx
≥

1
0


f(x) − h(x) + h(x) − g(x)

(2) D(x, y) = D(y, x).
12
(3) Ta xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1. D(x, y) = D(a, b) = 1. Ta chỉ cần xét z = c. Khi đó
D(a, b) = 1 < 10 = 2

D(a, c) + D(c, b)

.
Trường hợp 2. D(x, y) = D(a, c) = 1. Ta chỉ cần xét z = b. Khi đó
D(a, c) = 1 < 10 = 2

D(a, b) + D(b, c)

.
Trường hợp 3. D(x, y) = D(b, c) = 4. Ta chỉ cần xét z = a. Khi đó
D(b, c) = 4 = 2

D(b, a) + D(a, c)

.
Từ các trường hợp trên, chứng tỏ D(x, y) ≤ 2

D(x, z) + D(z, y)

. Vậy D
là một kiểu-mêtric trên X với K = 2.
Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số nhận xét về không gian kiểu-mêtric.
2.1.4 Nhận xét ([3], Remark 1.3). (1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là một
không gian kiểu-mêtric (X, d, 1) và ngược lại.

) = 0.
(3) Không gian kiểu-mêtric (X, D, K) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy
trong X là một dãy hội tụ trong X.
13
2.1.6 Nhận xét. Trong không gian kiểu-mêtric, tôpô T
1
được hiểu là tôpô
cảm sinh bởi sự hội tụ của nó. Điều này có nghĩa là tập A mở trong không
gian kiểu-mêtric khi và chỉ khi với mỗi x ∈ A, lim
n→∞
x
n
= x, tồn tại n
0
sao cho
x
n
∈ A với mọi n ≥ n
0
.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một tôpô khác trên không gian kiểu-mêtric.
Trước hết, chúng tôi định nghĩa hình cầu mở trong không gian kiểu-mêtric
như sau.
2.1.7 Định nghĩa. Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric. Với r > 0
và x ∈ X, đặt B(x, r) = {y ∈ X : D(x, y) < r}. Khi đó, B(x, r) được gọi là
hình cầu mở tâm x bán kính r.
2.1.8 Mệnh đề ([6], Proposition 1.2.1). Cho một tập X và một họ B những
tập con của X có các tính chất sau.
(1) Với mỗi U
1

Trước hết, chúng tôi xét mối quan hệ giữa hai tôpô T
1
và T
2
trong không
gian kiểu-mêtric (X, D, K).
2.2.1 Mệnh đề. Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric. Khi đó,
T
1
⊂ T
2
.
14
Chứng minh. Lấy U ∈ T
1
. Giả sử ngược lại U /∈ T
2
. Khi đó tồn tại x ∈ U sao
cho B(x,
1
n
)  U với mọi n ∈ N. Nghĩa là, với mỗi n ∈ N, tồn tại x
n
∈ B(x,
1
n
)
và x
n
∈ U. Do đó D(x

Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất của không gian kiểu-mêtric.
2.2.2 Mệnh đề. Giả sử (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric và l > 0.
Khi đó D
1
và D
2
là những kiểu-mêtric trên X với
(1) D
1
(x, y) = min {l, D(x, y)} với mọi x, y ∈ X.
(2) D
2
(x, y) =
D(x, y)
1 + D(x, y)
với mọi x, y ∈ X.
Hơn nữa, nếu X =
n

i=1
A
i
, A
i
∩ A
j
= ∅ với mọi i = j thì
(3) D
3
(x, y) =

l, D(y, x)

= D
1
(y, x).
(c) Ta xét hai trường hợp sau đây
Trường hợp 1. l ≤ D(x, y). Khi đó
D
1
(x, y) = min

l, D(x, y)

= l
≤ min

l, K

D(x, z) + D(z, y)

≤ K min

l, D(x, z) + D(z, y)

15
≤ K

min {l, D(x, z)} + min {l, D(z, y)}

= K

D
1
(x, z) + D
1
(z, y)

.
(2) D
2
là một kiểu-mêtric trên X. Thật vậy, với mỗi x, y, z ∈ X, ta có
(a) D
2
(x, y) = 0 khi và chỉ khi
D(x, y)
1 + D(x, y)
= 0. Điều này tương đương
với D(x, y) = 0 hay x = y.
(b) D
2
(x, y) =
D(x, y)
1 + D(x, y)
=
D(y, x)
1 + D(y, x)
= D
2
(y, x).
(c) D
2


D(x, z) + D(z, y)

≤
KD(x, z)
1 + KD(x, z)
+
KD(z, y)
1 + KD(z, y)
≤
KD(x, z)
1 + D(x, z)
+
KD(z, y)
1 + D(z, y)
= KD
2
(x, z) + KD
2
(z, y)
= K

D
2
(x, z) + D
2
(z, y)

.
(3) D

K

D
3
(x, z) + D
3
(z, y)

= K

2l + D(x, z) + D(z, y)

(2.2)
Từ (2.1), (2.2) ta có D
3
(x, y) ≤ K

D
3
(x, z) + D
3
(z, y)

.
Trường hợp 2. x, y /∈ A
i
với mọi i = 1, n, z ∈ A
i
. Khi đó
D

D(x, y) =



0 nếu x = y
1 nếu x = y
với mọi x, y ∈ X. Khi đó, D là một kiểu-mêtric trên X và được gọi là
kiểu-mêtric rời rạc.
Chứng minh. Ta kiểm tra D là một kiểu-mêtric trên X bằng cách chứng
minh D thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 2.1.1. Thật vậy, với mỗi
x, y, z ∈ X, ta có
17
(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(2) D(x, y) =



0 nếu x = y
1 nếu x = y
= D(y, x).
(3) Ta xét hai trường hợp sau
Trường hợp 1. x = y = z. Khi đó
D(x, y) = 0 ≤ K

D(x, z) + D(z, y)

.
Trường hợp 2. x = y hoặc y = z, hoặc z = x. Nếu x = y thì D(x, y) = 1.
Ta thấy D(x, z) và D(z, y) không thể đồng thời bằng 0. Thật vậy, nếu
D(x, z) = D(z, y) = 0 thì x = y = z. Điều này mâu thuẫn với giả thiết

, x
2
),
y = (y
1
, y
2
) ∈ X × Y .
(1) D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
) với K = max {K
1
, K
2
}.
(2) D(x, y) = max {D
1
(x
1
, y

, K
2
}.
Không gian kiểu-mêtric (X × Y, D, K) được gọi là không gian kiểu-mêtric
tích với kiểu-mêtric đã chọn.
Chứng minh. Để chứng minh (X × Y, D, K) là một không gian kiểu-mêtric,
ta chứng minh hàm D trong từng trường hợp thỏa mãn các điều kiện trong
Định nghĩa 2.1.1.
18
(1) D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
) là một kiểu-mêtric trên X × Y với
K = max {K
1
, K
2
}.
Thật vậy, với mỗi x = (x
1
, x

2
(x
2
, y
2
) = 0 hay x
1
= y
1
và x
2
= y
2
, nghĩa là x = y.
Vậy D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
(b) D(x, y) = D
1
(x
1
, y
1
) + D
2
(x
2
, y
2
) = D
1
(y

, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
)

+ K
2

D
2
(x
2
, z
2
) + D
2
(z
2
, y
2
)

≤ K

(D

(2) D(x, y) = max

D
1
(x
1
, y
1
), D
2
(x
2
, y
2
)

là một kiểu-mêtric trên X × Y với
K = max {K
1
, K
2
}.
Thật vậy, với mỗi x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2

(x
2
, y
2
) = 0 hay x
1
= y
1
và x
2
= y
2
, nghĩa là
x = y.
(b) D(x, y) = max

D
1
(x
1
, y
1
), D
2
(x
2
, y
2
)


≤ max

K
1

D
1
(x
1
, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
)

, K
2

D
2
(x
2
, z
2
) + D
2

, y
2
)

≤ K max

D
1
(x
1
, z
1
), D
2
(x
2
, z
2
)} + max {D
1
(z
1
, y
1
), D
2
(z
2
, y
2

1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
), z = (z
1
, z
2
) ∈ X × Y , ta có
19
(a) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi

D
1
2
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
) = 0. Điều này

= y
1
và x
2
= y
2
, nghĩa là x = y.
(b) D(x, y) =

D
1
2
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
)
=

D
1
2
(y



K
1
(D
1
(x
1
, z
1
) + D
1
(z
1
, y
1
))

2
+

K
2
(D
2
(x
2
, z
2
) + D

(x
2
, z
2
) + D
2
(z
2
, y
2
)

2
≤ K


D
1
2
(x
1
, z
1
) + D
2
2
(x
2
, z
2

, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
) là một kiểu-mêtric trên X × Y
với K = max {K
1
, K
2
}.
Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất trong không gian kiểu-mêtric tích.
2.2.5 Mệnh đề. Cho (X
1
, D
1
, K
1
), (X
2
, D
2
, K
2
) là hai không gian kiểu-mêtric
và kiểu-mêtric tích được xác định như trong Mệnh đề 2.2.4.

= y trong (X
2
, D
2
, K
2
).
(2) {(x
n
, y
n
)} là dãy Cauchy trong không gian tích X
1
× X
2
khi và chỉ khi
{x
n
} và {y
n
} lần lượt là dãy Cauchy trong (X
1
, D
1
, K
1
) và (X
2
, D
2

(x
n
, y
n
) = (x, y) khi và chỉ khi
lim
n→∞
D

(x
n
, y
n
), (x, y)

= lim
n→∞

D
1
(x
n
, x) + D
2
(y
n
, y)

= 0.
Điều này tương đương với lim

, K
2
).
(2) Ta có
lim
n,m→∞
D

(x
n
, y
n
), (x
m
, y
m
)

= 0
khi và chỉ khi lim
n,m→∞

D
1
(x
n
, x
m
) + D
2

, K
1
) và {y
n
} là một dãy Cauchy trong
(X
2
, D
2
, K
2
).
(3) Giả sử X
1
, X
2
đầy đủ ta cần chứng minh X
1
× X
2
đầy đủ. Thật vậy,
lấy {(x
n
, y
n
)} là dãy Cauchy trong X
1
× X
2
. Theo tính chất (2) ta có {x

2
là đầy đủ.
Ngược lại, giả sử X
1
× X
2
đầy đủ ta cần chứng minh X
1
, X
2
đầy đủ. Thật
vậy, lấy {x
n
}, {y
n
} lần lượt là dãy Cauchy trong X
1
, X
2
. Theo tính chất (2)
ta có {(x
n
, y
n
)} là dãy Cauchy trong X
1
× X
2
. Vì X
1

n
}, {y
n
} mà lim
n→∞
x
n
= x,
21
lim
n→∞
y
n
= y. Ví dụ sau chứng tỏ tồn tại kiểu-mêtric D không liên tục theo T
1
.
2.2.6 Ví dụ ([3], Example 2.2). Cho X =

0, 1,
1
2
, . . . ,
1
n
, . . .

và
D(x, y) =



1
4
trường hợp khác.
Khi đó, D là một kiểu-mêtric không liên tục trên X với K = 4. Đặc biệt,
D là một kiểu-mêtric trên X nhưng không là một mêtric trên X.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X, ta có D(x, y) ≥ 0, D(x, y) = 0 khi và chỉ khi
x = y và D(x, y) = D(y, x).
Nếu D(x, y) = D(0, 1) = 1 thì
D(x, z)+D(z, y) =











D

0,
1
2n

+ D

1
2n

1
2n + 1
.
Nếu D(x, y) = D

0,
1
2n

=
1
2n
thì
D(x, z) + D(z, y)
=



















nếu z =
1
2m
D

0,
1
2m + 1

+ D

1
2m + 1
,
1
2n

=
1
4
+
1
4
nếu z =
1
2m + 1
= 1