BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGÔ THỊ MAI TÌM HIỂU MỘT SỐ VẬN DỤNG CỦA TOÁN HỌC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀO THỰC TIỄN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2014

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


Trung học phổ thông số 1 Bát Xát đã giúp đỡ em trong quá trình thực tập cũng
như thời gian em thực nghiệm tại trường.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn
phương pháp dạy học môn Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin
cũng như các thầy cô trong Trường Đại học Tây Bắc đã tận tình dạy bảo, tạo
điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành nghiên cứu này.

Sơn La, ngày tháng năm 2014
Người thực hiện
Ngô Thị Mai
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Đối tượng nghiên cứu 2
7. Cấu trúc khóa luận 2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Nội dung của Toán học 3
1.2. Mối quan hệ Toán học và thực tiễn 4
1.2.1. Nguồn gốc của Toán học 4
1.2.2. Vai trò của Toán học trong các nghành khoa học khác 5
1.2.3. Tính phổ dụng 7
1.2.4. Tính toàn bộ 7
1.2.5. Tính nhiều tầng 7
1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khóa luận
Từ xa xưa ông cha ta đã có câu “Học đi đôi với hành”. Việc học và hành phải
có mối quan hệ chặt chẽ, mật thiết với nhau. Nếu ôm cả đống kiến thức mà
không thực hành thì chỉ là lý thuyết suông và nếu chỉ thực hành mà không có
một chút kiến thức nào thì kết quả cũng chẳng được gì.
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới nền giáo dục tiến bộ,
hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Luật giáo dục
2005 tiếp tục xác định: “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý
học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với đời sống sản xuất, lý luận phải
gắn liền với thực tiễn”. Unesco đã đề ra bốn trụ cột của giáo dục trong thế kỉ
XXI là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định
mình. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học là
không thể không đề cập đến.
Toán học có vai trò vô cùng quan trọng trong cuộc sống hàng ngày thể hiện ở
sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất,
đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử. Toán học có vai trò như vậy là
do sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển
và mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động của
con người và ngược lại nó cũng là môn học đắc lực giúp con người chinh phục
và khám phá thế giới.
Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa
học thì ngay từ bây giờ, khi ngồi trên ghế nhà trường, giáo viên phải dạy cho


3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Nội dung của Toán học
Theo từ điển thì Toán học (từ tiếng anh là Mathematics) là môn khoa học
ngiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách
khác, người ta cho rằng đó là môn học “hình và số”. Theo quan điểm chính
thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng, định nghĩa từ các
tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan
điểm khác nhau của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng
dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn
ngữ của vũ trụ”.
Môn toán liên hệ chặt chẽ với khoa học khác, Toán học đang phát triển
như vũ bão, ngày càng xâm nhập vào các lĩnh vực khoa học công nghệ và đời
sống. Toán học phản ánh trong nhà trường phổ thông là cơ bản, là nền tảng
được sắp xếp thành một hệ thống và đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng để
tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp hoặc đi vào cuộc sống
lao động.
Nội dung toán học của môn Toán trong nhà trường phổ thông chủ yếu
bao gồm các lĩnh vực sau, được tập hợp thành hai bộ phận:
- Số học, đại số và giải tích.
- Hình học.
Về số học, đại số và giải tích, có thể kể các nội dung sau:
(i) Các tập hợp số.
(ii) Các phép biến đổi đồng nhất.
(iii) Phương trình và bất phương trình.
(iv) Hàm số và đồ thị.
(v) Những yếu tố tổ hợp và xác suất.
(vi) Giới hạn, nguyên hàm, tích phân.

Thực tế cho thấy, sau khi phát sinh, lý thuyết của Toán học có ảnh hưởng
trực tiếp hay gián tiếp đến sự phát triển của các lực lượng sản xuất, đến các khoa
học khác. Ăng - ghen đã viết: “Cũng như mọi ngành khác của tư duy, những qui
luật trừu xuất từ thế giới hiện thực đến một mức độ phát triển nào đó sẽ tách
khỏi thế giới hiện thực, đối lập với nó như là một cái gì độc lập, như là những
qui luật từ ngoài đưa đến mà thế giới bắt buộc phải phù hợp. Điều đó đã xảy ra

5
với xã hội và nhà nước, cũng như với Toán học thuần tuý; Toán học thuần tuý
được áp dụng vào thế giới mặc dầu rằng nó bắt nguồn từ chính thế giới ấy và chỉ
là biểu thị một bộ phận của những hình thức liên hệ của thế giới”.
Tóm lại Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động của con người và
ngược lại nó cũng là môn học đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá
thế giới.
1.2.2. Vai trò của Toán học trong các nghành khoa học khác
Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng khách
quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ
bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống. Điều đó nói lên vai trò
của Toán học trong nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công
nghệ, y học, sinh học, văn học…
Những thành tựu to lớn trong thời đại của chúng ta ngày nay như năng
lượng điện tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện tử…Đều gắn liền với sự phát
triển của ngành toán học như đại số tổ hợp, xác suất thống kê, hàm số phức,
toán giải tích hàm, hình học Aphin…
Đầu tiên, không thể không nhắc tới vai trò của Toán học với kinh tế học.
Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất.
Ai cũng biết rằng không chỉ cần có kỹ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất
tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lý sản xuất một cách
khoa học để phát huy đầy đủ, hiệu quả của kĩ thuật, máy móc. Đứng trước một
vấn đề sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án sản xuất và tất nhiên sẽ

Trong hóa học và sinh học trước đây chỉ thỉnh thoảng dùng đến toán,
nhưng chỉ dùng đến toán học cổ điển như giải tích, phương trình vi phân, thống
kê. Hiện nay, một bộ phận hóa học và sinh học đã sử dụng những nội dung hiện
đại của Toán học như Tôpô học, thông tin học, máy tính điện tử… Bằng những
phương pháp toán học người ta có thể dự đoán chính xác hơn các tính chất của
nhiều hợp chất hóa học, có thể tính được công thức của hợp chất hóa học, hoặc
có thể tính được công thức của hợp chất có một số đặc tính định trước. Những
bí mật của sự sống, những vấn đề khó khăn nhất về tính di truyền, cơ cấu hoạt
động của thần kinh và những vấn đề sinh lý sự vật, việc tính toán sinh con theo

7
ý muốn… đã và đang được nghiên cứu bằng những phương tiện toán học tinh vi
và hiện đại.
Tóm lại, Toán học có vai trò to lớn với sự nghiệp phát triển của các
ngành khoa học, kỹ thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản
xuất.
Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các khoa học với nhau và thúc đẩy
cùng phát triển. Ngày nay các phương pháp toán học không phải chỉ được sử
dụng trong vật lý, cơ học mà còn trở thành những phương pháp chung cho toàn
bộ khoa học khác. Không phải chỉ ở nhà vật lý, cơ học và các kỹ sư mới cần
đến Toán học mà còn có cả các nhà sinh vật học, các thầy thuốc, các nhà ngôn
ngữ học…cũng cần đến Toán học.
1.2.3. Tính phổ dụng
Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn có tính phổ dụng tức là cùng một
đối tượng toán học (khái niệm, định lý, công thức ) có thể phản ánh rất nhiều
hiện tượng trên những lĩnh vực rất khác nhau trong cuộc sống.
Ví dụ: Hàm số
axy 
có thể biểu thị mối quan hệ giữa diện tích của một tam
giác với đường cao ứng với một cạnh khi cho trước cạnh đó, giữa quãng đường

1.3.1. Môn toán có tính trừu tƣợng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng
Tính trừu tượng của Toán học và của môn toán trong trường Trung học
phổ thông được quy định do chính đối tượng và phương pháp của Toán học thể
hiện ở hai định nghĩa sau đây:
(i) Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng
và lôgic trong thế giới khách quan.
(ii) Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có
thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề.
Như vậy, những quan hệ số lượng được hiểu theo nghĩa rất tổng quát và
rất trừu tượng. Chúng có thể diễn tả quan hệ lôgic và quan hệ hình dạng không
chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà còn cả trong không gian trừu tượng
khác nữa như không gian có số nhiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử
là các hàm liên tục
Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm vi các tập hợp số mà còn
được hiểu như những phép toán và những tính chất của chúng trên những tập

9
hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề,
phép biến hình
Tính chất trừu tượng không chỉ ở trong Toán học mà có đặc điểm của mọi
khoa học. Nhưng trong Toán học cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của
đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi.
Như vậy, Toán học có tính chất trừu tượng cao độ.
Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau.
Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng
vật chất cụ thể. Nhưng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng hóa
những cái trừu tượng đã đạt được trước đó.
Tính trừu tượng cao độ chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của
Toán học.
Tính trừu tượng cao độ làm cho Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có

học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công
cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong thực tế
và vì vậy là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông của
con người mới.
Ví dụ: Tri thức về tương quan tỉ lệ thuận
axy 
là công cụ để nghiên cứu rất
nhiều các lĩnh vực khác nhau như:
- Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với
đường cao h ứng với cạnh đó:
1
2
S ah

- Quãng đường S đi được trong một chuyển động đều với vận tốc cho trước
V tỉ lệ thuận với thời gian đi t:
S Vt

Cùng với tri thức, môn Toán trong nhà trường còn rèn luyện cho học sinh
những kỹ năng toán học như kỹ năng tính toán, vẽ hình, kỹ năng đọc và vẽ biểu
đồ, kĩ năng đo đạc, ước lượng, kĩ năng sử dụng dụng cụ toán học và máy tính
điện tử môn toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phương
pháp, phương thức tư duy và hoạt động như Toán học hóa tình huống thực tế,
thực hiện và xây dựng thuật giải phát hiện và giải quyết vấn đề… Những kĩ năng
này rất cần cho người lao động trong thời đại mới.
1.4.2. Toán học góp phần phát triển nhân cách
Ngoài việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện
kỹ năng toán học cần thiết, môn toán còn có tác dụng góp phần phát triển nhân

11

12
1. Theo anh (chị) trong dạy học Trung học phổ thông, việc vận dụng Toán
học vào thực tiễn có cần thiết không?
2. Trong quá trình giảng dạy, anh (chị) có hay cho học sinh tiếp cận các
bài toán liên quan với thực tiễn không?
3. Anh (chị) có thường xuyên tổ chức các tiết ngoại khóa, thực hành Toán
học trong dạy học không?
4. Theo anh (chị) các tiết thực hành, ngoại khóa trong môn toán có quan
trọng đối với học sinh không?
5. Theo anh (chị) sách giáo khoa toán học Trung học phổ thông có nhiều
nội dung vận dụng vào thực tiễn hay không?
6. Những thuận lợi và khó khăn của việc vận dụng Toán học Trung học
phổ thông vào thực tiễn?
7. Anh (chị) hãy chia sẻ một số kinh nghiệm về việc dạy và học các bài
toán có nội dung thực tiễn?
1.5.4. Đánh giá thực trạng
Sau khi thăm dò ý kiến của 7 giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn
toán về thực trạng vận dụng Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn, tôi thu
được kết quả như sau:

13
Bảng 1: Nhận thức của giáo viên về việc vận dụng Toán học Trung học
phổ thông vào thực tiễn
Stt
Tiêu chí
Mức độ
Tổng
1
2
3


0 0 0 0 7 100
2
Trong quá trình giảng
dạy, anh (chị) có hay cho
học sinh tiếp cận các bài
toán liên quan với thực
tiễn không? 0 0



0 0 1 14,3 6 82,7 0 0 7 100
4


7 100
5
Theo anh (chị) sách giáo
khoa toán học Trung học
phổ thông có nhiều nội
dung vận dụng vào thực
tiễn hay không?
0
0
0
0
7
100
0
0
7
100

14
Theo kết quả của bảng trên ta thấy, tất cả các giáo viên đều nhận thức được
sự cần thiết của việc vận dụng Toán học Trung học phổ thông vào thực tiễn. Cụ
thể có 14,3% giáo viên cho rằng việc vận dụng Toán học vào cuộc sống là rất
cần thiết. Có tới 82,7% giáo viên cho rằng cần thiết. Tuy nhiên hầu hết các giáo
viên vẫn chưa thường xuyên cho học sinh vận dụng các bài toán liên quan tới
thực tiễn đời sống. Cụ thể có 57,1% giáo viên rất ít khi cho học sinh tiếp cận với
các bài toán có liên quan tới thực tiễn. Phần lớn các giáo viên vẫn chưa thấy

rằng Toán học nghiên cứu những định luật trong sản xuất.
Giáo viên cần tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu
cầu quá chặt chẽ về lý thuyết. Ở bậc phổ thông, học sinh cần phải được cung cấp
những kiến thức cần thiết cho cuộc sống và cung cấp công cụ để học tốt các môn
học. Cần làm cho học sinh biết ứng dụng những tri thức và phương pháp toán
học vào những môn học khác trong nhà trường. Trong điều kiện sách giáo khoa
hiện hành, có thể bước đầu nên đưa vào bằng các giờ học ngoại khoá, thực hành
hoặc bằng các giờ học tự chọn.
Tóm lại trong quá trình dạy học toán ở trường Trung học phổ thông giáo
viên luôn cần phát triển kỹ năng và kỹ sảo cho học sinh vận dụng Toán học
trong thực tế hàng ngày, trong lao động và trong tính toán những sự việc có thật
trong cuộc sống. Đồng thời, giáo viên làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực
tiễn để học sinh có ý thức và khả năng vận dụng Toán học trong cuộc sống.

16
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ VẬN DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VÀO THỰC TIỄN

2.1. Một số vận dụng của mệnh đề - tập hợp
Tình huống 1: Bạn hãy mô tả nguyên lý lôgic của sơ đồ mạng điện cầu thang
điều khiển một ngọn đèn đến từ hai nơi.
Phƣơng án giải quyết:
Bài toán yêu cầu tìm nguyên lý lôgic của sơ đồ mạng điện điều khiển

17
Ta có bài giải như sau:
Mạch điện điều khiển 1 ngọn đèn bằng 2 công tắc phải đảm bảo yêu cầu
sau đây:
- Khi công tắc của mạch a và mạch b cùng đóng hoặc cùng mở thì đèn sáng.
- Khi một trong hai công tắc đóng thì công tắc thứ hai mở thì đèn tắt.
Nếu ký hiệu c là mạng điện điều khiển ngọn đèn bằng hai công tắc thì ta
có bảng sau:
A
B
C
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1 Nhìn vào bảng trên ta thấy khi
c
thì mệnh đề “a

b”. Sơ đồ của mạng c

Từ (1) ta suy ra
(3)
DX

Từ (2) ta suy ra
(4)
D X V

(5)
VX

(6)
VD

Từ (4) ta suy ra
(7)
XV

(8)
DV

Từ các kết quả trên ta suy ra:
X D V

D X V
V D X



Vậy:

 
2n A B C  

Sơ đồ ven:
28
2
6
5
8
10
13
A
B
C

Trước hết ta tìm số du khách biết ít nhất một trong ba thứ tiếng, tức là tìm
 
n A B C

Ta sử dụng sơ đồ ven để tìm số này: Tính tổng
     
n A n B n C

Trong tổng này, mỗi một trong các phần tử của A giao B, B giao C, C giao
A được tính làm hai lần, nên trong tổng
     
n A n B n C
ta phải trừ đi tổng
     
n A B n B C n A C    

 
28 13 10 8 6 5 2 34n A B C         

Vậy tổng số du khách của đoàn du lịch là
34 41 75
du khách.
Tình huống 4: Các nhà thiên văn tính được thời gian để trái đất quay một vòng
quanh mặt trời là 365 ngày
1
4

ngày. Còn bạn Nam tính đi từ nhà đến trường là
30 phút

1 phút.
Trong hai phép đo trên phép đo nào chính xác hơn?
Phƣơng án giải quyết: (Bài toán về sai số và số gần đúng)
Nhận thấy phép đo của các nhà thiên văn có sai số tuyệt đối không vượt
quá
1
4
ngày, nghĩa là 6 giờ hay 360 phút.
Còn phép đo của Nam có sai số tuyệt đối không vượt quá 1 phút.
Thoạt nhìn, ta thấy phép đo của Nam chính xác hơn của các nhà thiên văn
(so sánh 1 phút với 360 phút). Tuy nhiên,
1
4
ngày hay 360 phút là độ chính xác
của phép đo một chuyển động trong 365 ngày, còn 1 phút là độ chính xác của
phép đo một chuyển động trong 30 phút. So sánh hai tỉ số?