Header Page 1 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

TRẦN CHÂU NGUYÊN

CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
--------------------------------------------

Trần Châu Nguyên – C00451

CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Xin chân thành cảm ơn!

Footer Page 3 of 166.

3


Header Page 4 of 166.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 1
MỤC LỤC ........................................................................................................ 2
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5
Chương 1: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH ........... 6
1.1 Không gian xạ ảnh ...................................................................................... 6
1.2. Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa................................................................ 8
1.3. Ánh xạ xạ ảnh........................................................................................... 13
1.3.1. Định nghĩa ............................................................................................ 12
1.3.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. ................................................................ 14
1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh P 2  R  . .................................. 16
1.4.1. Định nghĩa. ........................................................................................... 16
1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. ........................................... 17
1.4.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực .... 18
1.5. Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong P 2  R  .................................... 19
1.6. Nguyên tắc đối ngẫu................................................................................. 23
1.7. Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh.................................................. 24
1.8. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ........................................................ 30
1.8.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ..................................................... 30
1.8.2. Một số nhận xét: .................................................................................... 31
1.8.3. Một số khái niệm đối ngẫu trong P2 : ................................................... 32

chọn nghiên cứu đề tài “Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ
thông”.
Mục đích của chúng tôi trong luận văn nhằm trình bày phương pháp sử
dụng cực và đối cực để giải quyết bài toán hình học phổ thông. Chúng tôi sẽ
đưa ra hướng giải quyết một số dạng bài toán hình học sơ cấp bằng cách sử
dụng kiến thức về cực và đối cực mà các phương pháp thông thường mất
nhiều công sức mới giải quyết được. Với mong muốn như vậy, tôi hy vọng
luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho các học sinh phổ thông và các
đồng nghiệp giáo viên Toán THPT và THCS để tiếp cận các bài toán hình học
sơ cấp theo một hướng mới.
Luận văn được chia ra làm 3 chương. Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình
bày các kiến thức về cực và đối cực trong mặt phẳng xạ ảnh. Chúng tôi sẽ
dành Chương 2 để trình bày cực và đối cực trong mặt phẳng Euclid. Chương
3 là chương cuối của luận văn sẽ dành để trình bày hệ thống một số dạng bài
tập hình học sơ cấp được giải bằng phương pháp sử dụng cực, đối cực.

Footer Page 5 of 166.

5


Header Page 6 of 166.

Chương 1
CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH
1.1 Không gian xạ ảnh
Cho V n là không gian véc-tơ n chiều trên trường K , với n  1 . Ta kí hiệu
 V n  là tập hợp các không gian véc-tơ con một chiều của V n . Theo kí hiệu

đó, ta hiểu V1   V1 .

Thang Long University Library


Header Page 7 of 166.

Định nghĩa 1.1.2 (Phẳng trong không gian xạ ảnh P 2 ). Cho không gian xạ
ảnh  P 2 , p, R 3  . Gọi W là không gian véc-tơ con m  1

chiều của R 3

( 2  m  0 ). Khi đó tập hợp p  W  được gọi là cái phẳng m chiều (hoặc là
m  phẳng) của P 2 .

Như vậy, mỗi điểm của P 2 là một 0  phẳng; 1 phẳng của P 2 còn gọi là
đường thẳng; 2  phẳng của P 2 là cả không gian P 2 .
Định nghĩa 1.1.3 (Hệ điểm độc lập của P 2 ). Hệ r điểm ( r  1 ) của không
gian xạ ảnh P 2 được gọi là hệ điểm độc lập nếu hệ r véc-tơ đại diện cho
chúng là hệ véc-tơ độc lập tuyến tính trong R 3 . Hệ điểm không độc lập gọi là
hệ điểm phụ thuộc.
Theo định nghĩa đó, trong P 2 hệ chỉ có một điểm là hệ độc lập, hệ gồm hai
điểm là hệ độc lập nếu hai điểm đó phân biệt, hệ gồm ba điểm độc lập nếu ba
điểm đó không thẳng hàng. Hệ gồm 4 điểm trở lên luôn luôn là hệ điểm phụ
thuộc.
Định nghĩa 1.1.4 (Mục tiêu xạ ảnh). Một tập hợp có thứ tự gồm 4 điểm của
P 2 là

S0 , S1, S2 ; E được gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì

3 điểm trong 4


1

2

3

. Với mỗi điểm X bất kì của P 2 ta lấy véc-tơ x đại diện cho





X . Khi đó tọa độ  x0 ; x1; x2  của véc-tơ x đối với cơ sở e0 , e1 , e2 cũng được gọi

là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu S0 , S1, S2 ; E và viết X  ( x0 ; x1; x2 ) .

1.2. Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa
Trong không gian xạ ảnh P 2  R  cho 4 điểm thẳng hàng A, B, C , D trong đó ba
điểm A, B, C đôi một không trùng nhau. Ta gọi a, b, c, d là các véc-tơ lần lượt
đại diện cho các điểm A, B, C , D thì các véc-tơ đó thuộc một không gian véc-tơ
2 chiều, trong đó a , b độc lập tuyến tính. Khi đó có các số k1, l1 và k2, l2 sao
cho
c  k1 a  l1 b;
d  k 2 a  l2 b

Ta chú ý rằng k1  0 và l1  0 vì C không trùng với A và B .
Định nghĩa 1.2.1 (Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng). Nếu tỉ số

k2 k1
có

hàng và phân biệt thì:
i) Khi hoán vị 2 điểm đầu với nhau, hoặc 2 điểm cuối với nhau thì tỉ số kép
trở thành số nghịch đảo.
ii) Khi hoán vị đồng thời 2 điểm đầu với nhau và 2 điểm cuối với nhau, tỉ số
kép không thay đổi.
iii) Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép không thay đổi.
iv) Khi hoán vị 2 điểm ở giữa với nhau, hoặc hoán vị điểm đầu và điểm cuối
với nhau thì được tỉ số kép mới bằng 1 trừ đi tỉ số kép cũ.
v)

Nếu

A,B,C,D,E

là

5

điểm

thẳng

hàng

phân

 A, B, C , D  .  A, B, D, E    A, B, C , E  .

Chứng minh. i) Ta có c  l1 b  k1 a và d  l2 b  k2 a vì vậy


1
  A, B, C , D  ,
1
 A, B, C, D

C , D, A, B    A, B, C , D  .
c  k1 a  l1 b
iii) Ta có 
. Từ đó ta suy ra
d  k2 a  l2 b

(k1l2  k2l1 )a  l2 c  l1 d
.

 k1l2  k2l1  b  k2 c  k1 d

Vì vậy ta được

Footer Page 9 of 166.

9

biệt

thì


Header Page 10 of 166.

k

d

l
k

l
k
a

l
c


 1
1 2
2 1
2

Vì vậy, ta được :
 A, C , B, D  

l1k2  l2 k1 k1 l1k2  l2 k1
lk
:

 1  1 2  1   A, B, C , D  .
l2
1
l2 k1
l2 k1

với giá là điểm đó.
Một chùm đường thẳng được xác định khi cho giá của nó, hoặc cho hai
đường thẳng nào đó của chùm.
Định lý 1.2.5 (Tỉ số kép của bốn đường thẳng thuộc một chùm). Cho 4 đường
thẳng U ,V ,W , Z thuộc một chùm trong đó U ,V ,W đôi một phân biệt. Nếu d là
đường thẳng cắt 4 đường thẳng đó lần lượt tại A, B, C , D (không cắt giá của
chùm) thì tỉ số kép của 4 điểm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng
d . Tỉ số kép nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm 4 đường thẳng, kí hiệu

U ,V ,W , Z  .
Chúng minh. Thật vậy, ta chọn một mục tiêu xạ ảnh nào đó, và giả sử đối với
mục tiêu đó, các đường thẳng đó có ma trận cột là U  , V  và

 W   p1 U   q1 V  ;


 Z   p2 U   q2 V 

còn các điểm A, B, C , D có ma trận tọa độ cột tương ứng là  A ,  B  , C  ,  D .
Điểm A  U , B  V nên ta có U   A  0, V   B   0 , ngoài ra điểm A, B
t

t

là phân biệt nên ta cũng có U   B   0, V   A  0 . Điểm C nằm trên đường
t

t

thẳng AB nên phải có C   k1  A  l1  B  , mặt khác C cũng nằm trên W nên

k2  p2 U   B  , l2  q2 V   A .
t

t

Từ đó ta suy ra
p2 U   B  p1 U   B  p2 p1
k k
:
 : .
 A, B, C , D   2 : 1 
l2 l1 q2 V t  A q1 V t  A q2 q1
t

t

Vậy tỉ số kép nói trên không phụ thuộc d . Định lý được chứng minh.
Chú ý: Từ cách chứng minh định lí trên ta suy ra cách tìm tỉ số kép của chùm
4 đường thẳng khi biết tọa độ của chúng đối với một mục tiêu nào đó như sau:
nếu các đường thẳng U ,V ,W , Z có ma trận cột tọa độ lần lượt là

U  , V  ,  W   p1 U   q1 V  ,  Z   p2 U   q2 V 
thì
p

p

U ,V ,W , Z   2 : 1 .
q2 q1



Định lí 1.2.8 (Định lý hình bốn cạnh toàn phần). Trong hình bốn cạnh toàn
phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đó chia điều hòa hai đường
thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéo thứ ba.
Chứng minh. (hình vẽ)

Giả sử a, b, c, d là bốn cạnh của hình bốn cạnh toàn phần. Các đỉnh của nó
là : P  a  b, Q  c  d , R  a  d , S  b  c,U  a  c,V  b  d. Các điểm chéo
là: I  PQ  RS , J  RS  UV , K  UV  PQ. Như vậy ta cần chứng minh cặp
đường thẳng IJ , IK chia điều hòa cặp đường thẳng IU , IV . Tức là

 J , K ,U ,V   1. Xét hình bốn đỉnh toàn phần

PQRS thì kết quả trên là hiển

nhiên.

1.3. Ánh xạ xạ ảnh.
Cho các K  không gian xạ ảnh  P, p , V  và  P', p ', V' .

Footer Page 13 of 166.

13


Header Page 14 of 166.

1.3.1. Định nghĩa (Ánh xạ xạ ảnh). Một ánh xạ f : P  P' được gọi là ánh xạ
xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính  : V  V' sao cho nếu véc-tơ x V là đại
diện cho điểm X P thì vec-tơ  ( x)  V' là đại diện cho điểm f  x   P' . Nghĩa

c. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm
(do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính và sự phụ thuộc tuyến
tính của hệ vec-tơ). Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm:
m  phẳng, số chiều của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng

4 điểm và của chùm bốn siêu phẳng.
d. Mỗi đơn cấu tuyến tính  : V  V' là đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh duy
nhất f : P  P' . Hai đơn cấu tuyến tính  : V  V' và  ': V  V' cùng đại
diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P  P' khi và chỉ khi có số k  K \ 0 sao cho

Footer Page 14 of 166.

14

Thang Long University Library


Header Page 15 of 166.

  k ' . Thật vậy, nếu đã cho đơn cấu tuyến tính  : V  V' thì ánh xạ xạ ảnh
f : P  P' được hoàn toàn xác định bởi: Nếu M P có đại diện là véc-tơ



x V thì f  M  có đại diện là  x . Nếu  ' : V  V' cũng là đại diện cho ánh

xạ xạ ảnh f thì với mọi vec-tơ xV , các vec-tơ   x  và  '  x  cùng đại diện
cho một điểm của P' nên   x   k x '  x  . Do  và  ' đều là đơn cấu tuyến
tính nên ta suy ra k x không phụ thuộc vào x .
Định nghĩa 1.3.3 (Phép biến đổi xạ ảnh). Ánh xạ xạ ảnh f : P  P' là song


15


Header Page 16 of 166.

H ' . Quan hệ tương đương xạ ảnh của các hình là một quan hệ tương đương.

Một tính chất của hình H được gọi là tính chất xạ ảnh (hay bất biến xạ ảnh)
nếu mọi hình H ' tương đương với H đều có tính chất đó. Như vậy, hai hình
tương đương xạ ảnh đều có các tính chất xạ ảnh giống nhau.
Dưới đây là định lý cơ bản của phép biến đổi xạ ảnh trong P 2 .
Định lí 1.3.4. Nếu f : P2  P2 là song ánh bảo tồn sự thẳng hàng của ba điểm
và bảo tồn tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng thì f là phép biến đổi xạ ảnh
trong P 2 .

1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh

P2  R  .

1.4.1. Định nghĩa. Xét phương trình bậc hai thuần nhất của 3 biến x0 , x1 , x2
trên trường số thực R , tức là phương trình có dạng
2

a xx

i , j 0

ij i


gọi là không suy biến. Ngược lại, nếu det A  0 thì siêu mặt bậc hai  S  được
gọi là suy biến.
Ta thường gọi siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh P 2  R  là đường
bậc hai. Hai đường bậc hai  S  và  S ' với các ma trận A và A ' tương ứng
được xem là trùng nhau khi và chỉ khi có số thực k  0 sao cho A  kA ' . Khái
niệm đường bậc hai là một khái niệm xạ ảnh.
1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. Trong không gian xạ ảnh
P 2  R  cho đường bậc hai  S  và đường thẳng Q . Ta chọn mục tiêu xạ ảnh

S0 , S1, S2 ; E sao cho 2 điểm

S0 , S1 nằm trên Q . Khi đó phương trình Q là
x2  0 .

(1)

Giả sử khi đó phương trình của  S  là
2

a xx

i , j 0

ij i

j

 0 . (2)

Giao của Q và  S  là tập hợp  S ' gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ


của  S  có dạng chuẩn tắc
 x02  x12  ...  x 2p 1  x 2p  ...  x 2p  q 1  0

(có p dấu  và q dấu +), trong đó 1  p  q  3 và q  p  0 .
Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một phương trình chuẩn tắc. Siêu mặt bậc hai

 S  trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số  p, q  . Ta có định lý
phân loại siêu mặt bậc hai như sau.
Định lý 1.4.5. Hai siêu mặt bậc hai  S1  và  S2  trong không gian xạ ảnh thực
là tương đương khi và chỉ khi phương trình chuẩn tắc của chúng giống nhau.
Như vậy trong P 2  R  ta có 5 loại đường bậc hai sau đây:
1) x02  x12  x22  0 (đường ô van ảo),
2)  x02  x12  x22  0 (đường ô van, hay đường cô nic),

3) x02  x12  0 (cặp đường thẳng ảo liên hợp),

Footer Page 18 of 166.

18

Thang Long University Library


Header Page 19 of 166.

4)  x02  x12  0 (cặp đường thẳng thực phân biệt)
5) x02  0 (cặp đường thẳng trùng nhau).

P2  R 

 k1  M t  l1  N t  A  k2  M   l2  N    0 . *


 

Chú ý rằng do M , N   S  nên  M  A  M    N  A  N   0 . Do đó từ * ta suy
t

t

ra

Footer Page 19 of 166.

19


Header Page 20 of 166.

 k1l2  k2l1  M  A  N   0 .
t

Vì M , N là hai điểm phân biệt của  S  nên  M  A  N   0 , (vì nếu
t

(M )t A( N )  0 thì cả đường thẳng MN sẽ nằm trên S ) suy ra k1l2  k2l1  0 . Vậy

Y , Z , M , N    M , N , Y , Z   1 .
- Nếu đường thẳng  Y , Z  cắt  S  tại điểm duy nhất X thì


P 2  R  hoặc là toàn bộ P 2  R  .

Chứng minh. Giả sử siêu mặt bậc hai  S  có phương trình

2

a xx

i , j 0

ij i

j

 0 và

Y  ( y0 : y1 : y2 ) . Điểm X  ( x0 : x1 : x2 ) liên hợp với Y đối với siêu mặt bậc hai

 S  khi và chỉ khi

y Ax  0 , hay
t

2

a yx

i , j 0
2


Định nghĩa 1.5.4 (Cực và đối cực qua siêu mặt bậc hai). Nếu tập hợp các
điểm liên hợp đối với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S) là một đường thẳng
thì đường thẳng đó được gọi là đường thẳng đối cực của điểm Y và kí hiệu là
Y*. Ngược lại, điểm Y được gọi là điểm đối cực của đường thẳng Y*.
Điểm Y được gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp với
mọi điểm của P 2  R  đối với (S). Như vậy điểm kì dị của (S) phải nằm trên (S)
vì điểm kì dị liên hợp với chính nó. Hơn nữa chỉ có siêu mặt bậc hai suy biến
mới có điểm kì dị. Thật vậy, tọa độ của điểm kì dị là nghiệm của hệ phương
trình
2

a x
i 0

ij i

 0, j  0,1, 2 .

Bởi vậy, nếu (S) có điểm kì dị thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm
thường, do đó detA=0, hay (S) suy biến.
Định nghĩa 1.5.5 (Tiếp tuyến và tiếp điểm). Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt
bậc hai  S  nhưng không phải là điểm kì dị của  S  thì đường thẳng đối cực
Y * của Y đối với  S  được gọi là đường thẳng tiếp xúc của  S  tại Y , hay còn

gọi là tiếp tuyến của  S  tại Y . Điểm Y nằm trên đường thẳng Y * và điểm Y
được gọi là tiếp điểm.
Bây giờ, ta chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến thì mỗi
đường thẳng bất kì đều có điểm đối cực duy nhất. Thật vậy, giả sử  S  có
phương trình xt Ax  0 với det A  0 . Với đường thẳng U, điểm X là đối cực



1

*

1

*

1

*

Vì các đường thẳng U ,V , P, Q cùng thuộc một chùm (có giá là U V ) nên:

 P   k1 U   l1 V  ,  Q   k2 U   l2 V  .
Từ đó :

 P   A  P   k A U   l A V   k U   l V  ,
1

*

1

1

1

*

2

22

Thang Long University Library


Header Page 23 of 166.

Vậy bốn điểm U * ,V * , P* , Q* thẳng hàng. Nhưng hai điểm U * ,V * liên hợp với
nhau đối với  S  còn P* , Q* là các giao điểm của U *V * với  S  nên
U * ,V * , P* , Q*   1 , do đó U ,V , P, Q  1 .

1.6. Nguyên tắc đối ngẫu
Ta định nghĩa về phép đối xạ trong P 2 như sau: Kí hiệu  2 là tập hợp tất cả
các điểm, đường thẳng (0 – phẳng và 1 – phẳng trong P 2 ). Ta chọn trong P 2
một mục tiêu xạ ảnh nào đó và xác định ánh xạ  :  2   2 như sau: nếu A là
một điểm thì   A  là một đường thẳng có tọa độ giống như tọa độ của A , cụ
thể là A   a0 : a1 : a2  thì   A   a0 : a1 : a2  ; nếu U là một đường thẳng nào đó
thì  U  

X U

  X  là một điểm.

Hai cái phẳng U và V trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 gọi là có quan hệ liên
thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia. Tức là U  V hoặc V  U .
Khi đó ta nói U thuộc V , hoặc V thuộc U . Chẳng hạn, nếu điểm A nằm trên
đường thẳng a thì ta nói: “điểm A thuộc đường thẳng a ”, hoặc nói: “đường
thẳng a thuộc điểm A ”. Như vậy, từ “ thuộc” đồng nghĩa với một trong các

A1 A2 A3 A4 A5 A6 . Các điểm Ai gọi là các đỉnh của hình sáu đỉnh đó. Các đường

thẳng A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A6 , A6 A1 gọi là các cạnh của hình sáu đỉnh. Các
cặp đỉnh A1 và A4 , A2 và A5 , A3 và A6 gọi là các cặp đỉnh đối diện. Các cặp cạnh
A1 A2 và A4 A5 , A2 A3 và A5 A6 , A3 A4 và A6 A1 gọi là các cặp cạnh đối diện.

Định lý 1.7.2 (Định lý Pascal). Nếu một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một
đường ôvan (còn gọi là hình sáu đỉnh nội tiếp đường ôvan) thì giao điểm của
các cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh. (hình vẽ)

Footer Page 24 of 166.

24

Thang Long University Library


Header Page 25 of 166.

(Hình 1)
Giả sử hình 6 đỉnh A1 A2 A3 A4 A5 A6 nội tiếp đường ôvan (S). Ta kí hiệu:
P  A1 A2  A4 A5 , Q  A2 A3  A5 A6 , R  A3 A4  A6 A1 .

Từ định lý Stâyne thuận, ta có:

 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A6    A5 A2 , A5 A3 , A5 A4 , A5 A6  .
Tuy nhiên, ta có:

 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A6    M , A3 , A4 , R  ,  A5 A2 , A5 A3 , A5 A4 , A5 A6    A2 , A3 , N , Q  .