ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGHIÊM ĐỨC VĂN

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGHIÊM ĐỨC VĂN

VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU

Các điều kiện cần và đủ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2

Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi suy rộng

25

2.1

Các định nghĩa và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận

38


ưu vectơ, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán bù vectơ, bài toán
cân bằng Nash, bài toán điểm bất động,. . . phạm vi áp dụng của bài toán
cân bằng rất rộng rãi. Người ta nghiên cứu bài toán cân bằng về sự tồn tại
nghiệm, điều kiện tối ưu, đối ngẫu, ổn định nghiệm và cấu trúc tập nghiệm.
X. H. Gong [2] đã dẫn các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu,
nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục và nghiệm siêu hữu hiệu
của bài toán cân bằng vectơ lồi có ràng buộc và áp dụng cho bài toán bất
đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu vectơ. X. J. Long, Y. Q. Huang, Z. Y.
Peng [5] thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu Henig và
nghiệm siêu hữu hiệu của bài toàn cân bằng vectơ có ràng buộc với các giả
thiết về tính lồi suy rộng. Mới đây, D. V. Luu và D. D. Hang [6, 7] đã thiết
lập các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức
biến phân vectơ không trơn và bài toán cân bằng vectơ không trơn. Đây là
đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài:
“Về điều kiện tối ưu cho bài toàn cân bằng vectơ”.
Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho một
số loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồi có ràng buộc của
Gong ([2], 2008) và điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu
hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc với các giả thiết lồi suy rộng
của Long – Huang – Peng ([5], 2011).


3
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo
Chương 1 trình bày các kết quả của X. H. Gong ([2], 2008) về điều kiện
tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi gồm một số khái niệm nghiệm hữu
hiệu và các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm
hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của bài
toán cân bằng véctơ có ràng buộc và áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến


Các khái niệm và kết quả bổ trợ

Giả sử X, Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là không
gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương thực, X0 là tập con lồi khác rỗng
của X, g : X0 → Z, F : X0 × X0 → Y , K là nón nhọn lồi đóng của
Z, intK = ∅.
Đặt
A = {x ∈ X0 : g(x) ∈ K}.
Xét bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (VEPC): Tìm x ∈ A sao cho
F (x, y) ∈
/ −P
trong đó P ∪ {0} là một nón lồi trong Y.

(∀y ∈ X),


5
Giả sử Y ∗ là không gian tôpô đối ngẫu của Y , C là một nón nhọn lồi
đóng trong Y . Tập
C ∗ = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y)

0, ∀y ∈ C}

là nón đối ngẫu của C.
Ký hiệu tựa phần trong của C ∗ là C , tức là
C := {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) > 0, ∀y ∈ C \ {0}}.
Giả sử D là tập con khác rỗng của Y . Bao nón của D được xác định như sau:
cone(D) = {td : t


và 0 ∈
/ cl(B + U ), và do đó CU (B) := cone(U + B ) là một nón lồi nhọn và
C \ {0} ⊂ intCU (B ).
Nếu intC = ∅ thì một véc tơ x ∈ A thỏa mãn
F (x, y) ∈
/ −intC , với mọi y ∈ A,
được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng véctơ có ràng
buộc VEPC.
Với mỗi x ∈ X0 , ta kí hiệu
F (x, A) =

F (x, y).
y∈A

Định nghĩa 1.1.
Vectơ x ∈ A được gọi là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của VEPC nếu
tồn tại một nón lồi nhọn H ⊂ Y với C \ {0} ⊂ intH sao cho
F (x, A) ∩ ((−H) \ {0}) = ∅.
Định nghĩa 1.2.
Vectơ x ∈ A được gọi là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC nếu tồn
tại lân cận U nào đó của 0 với U ⊂ VB sao cho
cone (F (x , A)) ∩ (−intCU (B )) = ∅.
Rõ ràng một véctơ x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu Henig nếu và chỉ nếu
F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅.


7
Định nghĩa 1.3.
Vectơ x ∈ A được gọi là một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC nếu với
mỗi lân cận V của 0, tồn tại lân cận U nào đó của 0 sao cho

hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của VOPC tương ứng là VW , VH , VG
và VS .
Ký hiệu tôpô mạnh trên Y ∗ bởi β(Y ∗ , Y ). Tập
n

y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (y)| < ε

ω=
i=1

: Ai (i = 1, 2, ..., n)

y∈Ai

là các tập con bị chặn của Y, ε > 0, n ∈ N
lập thành một cơ sở lân cận của 0 trong Y ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ).
Bổ đề 1.1.
Giả sử nón lồi nhọn C có một cơ sở là B.
(i) Với bất kì lân cận lồi mở U của 0 trong Y với U ⊂ VB , ta có
(CU (B))∗ \ {0} ⊂ C (B).
(ii) Với bất kì f ∈ C (B), tồn tại lân cận lồi mở U của 0 trong Y với
U ⊂ VB sao cho
f ∈ (CU (B))∗ \ {0} .
(iii) Nếu nón lồi đóng C có một cơ sở B đóng bị chặn, thì intC ∗ = C (B ),
trong đó intC ∗ là phần trong của C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ).

1.2

Các điều kiện cần và đủ tối ưu


y − F (x, y ) ∈ intC , g(y ) − z ∈ intK .
Rõ ràng M = ∅. Do tính C- lồi của F theo biến thứ hai, và tính K- lõm
của g, ta có M là một tập lồi. Rõ ràng M là một tập mở. Ta khẳng định rằng


10
(0, 0) ∈
/ M . Nếu không, khi đó tồn tại y ∈ X0 sao cho
0 − F (x, y ) ∈ intC ,

g(y ) − 0 ∈ intK .

Khi đó F (x, y ) ∈ −intC , và y ∈ A. Điều này mâu thuẫn với x là nghiệm
hữu hiệu của VEPC. Như vậy (0, 0) ∈
/ M . Theo định lí tách các tập lồi, tồn
tại (0, 0) = (y ∗ , z ∗ ) ∈ (Y × Z)∗ = Y ∗ × Z ∗ sao cho
0 < y ∗ (y) + z ∗ (z) với mọi (y, z) ∈ M.

(1.1)

Giả sử (y, z) ∈ M . Khi đó tồn tại y ∈ X0 sao cho y−F (x, y ) ∈ intC , g(y )−
z ∈ intK . Vì vậy, với mọi c ∈ intC , k ∈ intK , t > 0 , t > 0 , ta có
(y + tc, z) ∈ M ,và (y, z − t k) ∈ K. Từ (1.1) ta có
0 < y ∗ (y + tc) + z ∗ (z) với mọi c ∈ intC và t > 0 .
Như vậy,
(−z ∗ (z) − y ∗ (y))/t < y ∗ (c) với mọi c ∈ intC và t > 0 .
Cho t → ∞, ta nhận được
0

y ∗ (c) với mọi c ∈ intC .

t > 0. Từ (1.1) và giả thiết (A), ta có
0 < y ∗ (F (x, x) + tc) + z ∗ (g(x) − tk) = ty ∗ (c) + z ∗ (g(x)) − tz ∗ (k).
Cho t → 0, ta có được 0
ta có z ∗ (g(x))

z ∗ (g(x)). Lưu ý rằng x ∈ A, và z ∗ ∈ −K ∗ ,

0. Như vậy,
z ∗ (g(x)) = 0.

(1.3)

Từ (1.2), (1.3) và F (x, x) = 0, ta có
y ∗ (F (x, x)) + z ∗ (g(x)) = min y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y)) .
y∈X0

(1.4)

Ngược lại, cho x ∈ A, và giả sử rằng tồn tại y ∗ ∈ C ∗ \ {0} , z ∗ ∈ −K ∗ sao
cho z ∗ (g (x)) = 0 và
y ∗ (F (x, x)) + z ∗ (g (x)) = min {y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y))} .
y∈X0

(1.5)


12
Ta sẽ chỉ ra rằng x là một nghiệm hữu hiệu yếu của VEPC. Nếu không, khi
đó tồn tại y0 ∈ A sao cho
F (x, y0 ) ∈ −intC .


13
y − F (x, y ) ∈ intCU (B ), g(y ) − z ∈ intK .
Rõ ràng là M = ∅. Do tính C - lồi của F theo biến thứ hai, tính K - lõm của
g, C\ {0} ⊂ intCU (B ) và CU (B) là một nón lồi, ta có M là một tập lồi. Rõ
ràng M là một tập mở. Ta khẳng định rằng (0, 0) ∈
/ M . Nếu không, khi đó
tồn tại y ∈ X0 sao cho
0 − F (x, y ) ∈ intCU (B ),

g(y ) − 0 ∈ intK .

Khi đó F (x, y ) ∈ −intCU (B ), và y ∈ A. Điều này mâu thuẫn với (1.6).
Như vậy (0, 0) ∈
/ M . Theo định lí tách các tập lồi, tồn tại (0, 0) = (y ∗ , z ∗ ) ∈
(Y × Z)∗ = Y ∗ × Z ∗ sao cho
0 < y ∗ (y) + z ∗ (z) với mọi (y, z) ∈ M.

(1.7)

Lấy (y, z) ∈ M . Khi đó tồn tại y ∈ X0 sao cho
y − F (x, y ) ∈ intCU (B ), g(y ) − z ∈ intK .
Vì vậy, với mọi c ∈ intCU (B ), k ∈ intK , t > 0 , t > 0 ta có
(y + tc, z) ∈ M và (y, z − t k) ∈ M.
Điều này kéo theo y ∗ ∈ (CU (B))∗ và z ∗ ∈ −K ∗ . Bằng cách chứng minh
tương tự với định lí 1.1, ta có y ∗ = 0. Theo bổ đề 1.1, ta có y ∗ ∈ C (B). Rõ
ràng là
(F (x, y) + c, g(y) − k) ∈ M, với mọi y ∈ X0 ,
c ∈ intCU (B ) và k ∈ intK .
Ta nhận được

y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y)
y∈X0

.

(1.11)

Ta sẽ chỉ ra x là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC, tức là tồn tại lân
cận U của 0 với U ⊂ VB ,
F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅.

(1.12)

Giả sử ngược lại rằng với bất kì lân cận U của 0 với U ⊂ VB , ta có
F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅

(1.13)

không đúng, có nghĩa là
F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅.
Như vậy, với mỗi lân cận U của 0 với U ⊂ VB , tồn tại yU ∈ A sao cho
F (x, yU ) ∈ −intCU (B ).

(1.14)


15
Bởi vì y ∗ ∈ C (B), theo bổ đề 1.1, tồn tại V ⊂ VB sao cho
y ∗ ∈ (CV (B))∗ \ {0}. Với V đó, từ (1.14) tồn tại yV ∈ A sao cho
(1.15)

Giả sử giả thiết (A) thỏa mãn và C có một cơ sở đóng bị chặn B. Khi
đó x ∈ A là một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC nếu và chỉ nếu tồn tại
y ∗ ∈ intC ∗ , z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g(x)) = 0 và
y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y)
y∈X0

,


16
trong đó ∈ intC ∗ là phần trong của C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ).
Định lí 1.3. ,
Giả sử giả thiết (A) đúng và C có một cơ sở B. Khi đó x ∈ A là một
nghiệm hữu hiệu toàn cục của VEPC nếu và chỉ nếu tồn tại y ∗ ∈ C ,
z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g(x)) = 0 và
y ∗ F (x, x) + z ∗ g (x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y)
y∈X0

.

Chứng minh.
Giả sử x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của VEPC. Theo định
nghĩa, tồn tại nón lồi nhọn H ⊂ Y sao cho C \ {0} ⊂ intH và
F (x, A) ∩ ((−H) \ {0}) = ∅.

(1.18)

Đặt
M = (y, z) ∈ Y × Z : ∃y ∈ X0 sao cho y − F (x, y ) ∈ intH ,
g(y ) − z ∈ intK .

(1.20)

Rõ ràng là
F (x, x) + tc, g(x) − tk ∈ M, với mọi c ∈ intH , z ∈ intK , t > 0 .
Từ (1.19) và giả thiết (A), ta có
0 < y ∗ (F (x, x) + tc) + z ∗ (g(x) − tk) = ty ∗ (c) + z ∗ (g(x)) − tz ∗ (k).
Cho t → 0, ta có được 0
z ∗ (g(x))

z ∗ (g(x)). Lưu ý rằng x ∈ A, và z ∗ ∈ −K ∗ , ta có

0. Như vậy,
z ∗ (g(x)) = 0.

(1.21)

Do F (x, x) = 0, (1.20) và (1.21), ta có
y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y) .
y∈X0

(1.22)

Ngược lại, cho x ∈ A, và giả sử rằng tồn tại y ∗ ∈ C (B), z ∗ ∈ −K ∗ sao cho
z ∗ g(x) = 0


18
và
y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y)
y∈X0

y ∗ (F (x, yH0 )) < 0.

(1.27)

Do yH0 ∈ A, g(yH0 ) ∈ K, ta có
z ∗ (g(yH0 ))

0.

(1.28)

Từ (1.27) và (1.28), ta có
y ∗ (F (x, yH0 )) + z ∗ (g(yH0 )) < 0.
Nhưng theo (1.23), ta có
0 = y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y)
y∈X0

.

Đây là một mâu thuẫn. Vì vậy, x là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của
VEPC.


19

1.3

Áp dụng

Trong phần này, trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu,

Chứng minh tương tự định lí 1.4, theo định lí 1.2, hệ quả 1.1 và định lí
1.3, ta nhận được các định lí sau:


20
Định lí 1.5.
Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K- lõm, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho
g(x0 ) ∈ intK , C có một cơ sở là B và T : A → L(X, Y ). Khi đó x ∈ A là
một nghiệm hữu hiệu Henig của VVIC nếu và chỉ nếu tồn tại y ∗ ∈ C (B),
z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và
y ∗ T x, x − x

+ z ∗ g(x) = min y ∗ ( T x, y − x ) + z ∗ g(y)
y∈X0

.

Hệ quả 1.2.
Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K - lõm, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho
g(x0 ) ∈ intK , C có một cơ sở là B đóng bị chặn và T : A → L(X, Y ).
Khi đó x ∈ A là một nghiệm siêu hữu hiệu của VVIC nếu và chỉ nếu tồn tại
y ∗ ∈ intC ∗ ,
z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và
y ∗ ( T x, x − x ) + z ∗ (g(x)) = min {y ∗ ( T x, y − x ) + z ∗ (g(y))} ,
y∈X0

trong đó intC ∗ là phần trong của C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ).
Định lí 1.6.
Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K - lõm, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho
g(x0 ) ∈ intK , C có một cơ sở là B và T : A → L(X, Y ). Khi đó x ∈ A là


.

Định lí được chứng minh.
Tương tự phần chứng minh của định lí 1.7, theo định lí 1.1, hệ quả 1.1,
định lí 1.3, và định nghĩa 1.5 ta nhận được các định lí sau:
Định lí 1.8.
Giả sử g : X0 → Z là một ánh xạ K - lõm, f : A → Y là một ánh xạ
C - lồi, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho g(x0 ) ∈ intK , và C có một cơ sở là B.
Khi đó x ∈ A là nghiệm hữu hiệu Henig của VOPC nếu và chỉ nếu tồn tại
y ∗ ∈ C (B),z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và
y ∗ (f (x)) + z ∗ g(x) = min y ∗ f (y) + z ∗ g(y)
y∈X0

.

Hệ quả 1.3.
Giả sử g : X0 → Z là ánh xạ K - lõm, f : A → Y là một ánh xạ C lồi, tồn tại x0 ∈ X0 sao cho g(x0 ) ∈ intK , và C có một cơ sở đóng bị chặn


22
B. Khi đó x ∈ A là một nghiệm siêu hữu hiệu của VOPC nếu và chỉ nếu tồn
tại y ∗ ∈ intC ∗ , z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và
y ∗ f (x) + z ∗ g(x) = min y ∗ f (y) + z ∗ g(y)
y∈X0

,

trong đó intC ∗ là phần trong của C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ).
Định lí 1.9.

Nếu x = 0, ta chọn y ∗ = (0, 1) ∈ (R+
) \ {0} và z ∗ = (0, 0) ∈ −R+
.

Khi đó z ∗ (g(0)) = 0 và
y ∗ f (0) + z ∗ g(0) = min
y∈[−1,1]

y ∗ f (y) + z ∗ g(y)

,