BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
ĐINH THỊ HỒNG GẤM
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
ĐINH THỊ HỒNG GẤM
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội-2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn
Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong
nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích
đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

vi
2.3 Điều kiện Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Điều kiện Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Bài toán đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Điều kiện đủ cho bài toán biến phân 46
3.1 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương yếu . . . . . 49
3.2 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương mạnh . . . . 50
3.3 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong một số không gian
(Banach phản xạ, Sobolev) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian
Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian
Sobolve

W
n
1,1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57
vii
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Sự hình thành của Giải tích hữu hạn chiều xuất phát từ việc
nghiên cứu điều kiện cần cho những bài toán cực trị đơn giản, còn các
bài toán biến phân là một yếu tố quan trọng tác động đến sự hình thành
của Giải tích vô hạn chiều. Không gian vô hạn chiều của các hàm liên
tục và hàm khả vi liên tục, việc phân loại tôpô, những duyên cớ đầu
tiên cho Phép tính vi phân vô hạn chiều, tất cả những cái đó đều chào

viii
Sau khi bài toán này được công bố, đã xuất hiện một số bài
toán tối ưu khác có ràng buộc như bài toán đẳng chu cổ điển : tìm đường
cong khép kín có chu vi cho trước sao cho diện tích tạo thành là lớn nhất.
Kết quả được Euler trình bày trong tài liệu [3] (1744) là cách xử lý tổng
quát đầu tiên cho các bài toán tối ưu có ràng buộc.
Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu
những khía cạnh khác nhau của các bài toán biến phân (xem [3], [4] và
[5] và những tài liệu dẫn trong đó).
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của
chúng với những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn
đề tài nghiên cứu:
"Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân"
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về những điều kiện cần, đủ tối ưu cho bài toán biến
phân thông qua một số bài toán như: phương trình Euler, điều kiện
Werierstrass, bài toán đẳng chu. . .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng hợp một cách hệ thống một số kết quả về những điều kiện
tối ưu cho bài toán biến phân.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Những bài toán biến phân.
+ Phạm vi: Những điều kiện tối ưu trong một số không gian
hàm.
ix
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan
đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý
thuyết tối ưu.

n
∈ X, ∀n.
Ta viết lim
n→+∞
u
n
= u.
Nếu lim
n→+∞
u
n
− u = 0 và khi đó ta nói dãy (u
n
)hội tụ tới u.
Thay vì viết lim
n→+∞
u
n
= u ta có thể viết u
n
→ u khi n → +∞.
Dãy (u
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy nếu
∀ε > 0, ∃n
0
(ε) sao cho u
n
− u
m

chuẩn P  = max
[0,1]
|P (x)|. Định nghĩa:
P
n
(x) = 1 + x +
x
2
2!
+ +
x
n
n!
, n = 1, 2,
thì (P
n
) là một dãy Cauchy, nhưng nó không hội tụ trong P ([0, 1]).
Một số ví dụ minh họa về không gian Banach.
Ví dụ 1.1.3. Không gian X := K là không gian Banach trên trường K
với chuẩn u = |u|, ∀u ∈ K.
Ví dụ 1.1.4. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng không gian l
2
bao gồm tất cả
những dãy số phức x = (x
n
) sao cho chuỗi
∞

n=1
|x


k=1
|α
m,k
− α
n,k
|
2
< ε
2
, ∀m, n  N
0
(1.1)
Điều này kéo theo rằng với mỗi k ∈ N cố định và với mỗi ε > 0 tồn tại
một số N
0
thỏa mãn
|α
m,k
− α
n,k
| < ε, ∀m, n  N
0
Nhưng điều này cũng có nghĩa là, với mỗi k dãy (α
n,k
) là một dãy Cauchy
trong C và vì vậy nó hội tụ.
Kí hiệu: α
k
= lim

|α
N
0
,k
|
2
< ∞, theo bất đẳng thức Minkowski,
ta có




∞

k=1
|α
k
|
2
=




∞

k=1
(|α
k
| −|α

∞

k=1
|α
N
0
,k
|
2





∞

k=1
|α
k
− α
N
0
,k
|
2
+





k
− α
n,k
|)
2
= 0,
4
tức là dãy (a
n
) hội tụ tới a trong l
2
.
Ví dụ 1.1.5. Một ví dụ quan trọng khác của không gian Banach là không
gian C
([a,b])
những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức) trên một đoạn
[a, b]. Nhắc lại rằng chuẩn trên C
([a,b])
được đinh nghĩa f = max
[a,b]
|f (x)|.
Lấy (f
n
) là một dãy Cauchy trong C
([a,b])
. Với ε > 0 tùy ý tồn tại N
0
∈ N
sao cho
f

∈ [a, b]. Khi đó f
N
0
là liên tục trên [a, b], tồn tại một số δ > 0
thỏa mãn
|f
N
0
(x
0
) −f
N
0
(y)| < ε,
với mỗi y ∈ [a, b] thỏa mãn |x
0
− y| < δ. Suy ra
|f (x
0
) −f (y)|  |f (x
0
) −f
N
0
(x
0
)| + |f
N
0
(x

1
+ x
2
+ + x
n
− x → 0 khi n → ∞.
Trong trường hợp đó ta viết
∞

n=1
x
n
= x. Nếu
∞

n=1
x
n
 < ∞ thì chuỗi gọi
là hội tụ tuyệt đối.
Trong trường hợp tổng quát, một chuỗi hội tụ tuyệt đối không nhất
thiết hội tụ.
Định lí 1.1.6. Một không gian định chuẩn là không gian Banach nếu
và chỉ nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ.
Định lí 1.1.7. Một không gian vectơ con đóng của một không gian Ba-
nach là một không gian Banach.
1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach
Mục này trình bày biến phân bậc nhất và đạo hàm, biến phân và đạo
hàm cấp cao, một số tính chất cơ bản như định lí về đạo hàm riêng của
Schwartz, qui tắc dây chuyền, định lí hàm ẩn, và định lí Lyusternik và

Banach, F : X → Y khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại toán tử tuyến tính
liên tục Λ : X → Y sao cho
F (x + h) = F (x) + Λh + r (h) với lim
h
X
→0
r (h)
Y
h
X
= 0.
Khi đó Λ là đạo hàm Fréchet, kí hiêụ là F

F
(x) hay F

(x). Ánh xạ F
được gọi là chính qui tại x nếu nó khả vi Fréchet tại x và Im F

(x) = Y .
Kí hiệu L(X, Y ) không gian của các toán tử tuyến tính liên tục từ X
vào Y , trang bị chuẩn
Λ = sup
x
X
=1
Λx
Y
Nếu F : X → Y khả vi Fréchet tại mọi điểm trong tập mở V và ánh xạ
x → F

và
δF (x, h) = F

G
(x) h.
Ví dụ 1.2.4. Hàm
f (x
1
, x
2
) =



1 nếu x
1
= (x
2
)
2
và x
2
= 0
0 trường hợp còn lại
khả vi Gâteaux tại (0, 0) ∈ R
2
nhưng không liên tục tại đó nên theo
Mệnh đề 1.2.3 thì nó không thể khả vi Fréchet được.
Định lí 1.2.5 (Định lí giá trị trung bình). Cho X và Y là các không
gian topo tuyến tính, U là một tập mở của X, ánh xạ F : U → Y khả vi

F (x + h) −F (x) − F

G
(z) h  sup
0t1
F

G
(x + th) − F

G
(z) · h.
Mệnh đề sau đây là một hệ quả của định lí giá trị trung bình.
Mệnh đề 1.2.6. Cho X là một không gian Banach và F là một ánh xạ
liên tục từ một lân cận U của x
0
∈ X vào không gian Banach Y . Giả
thiết rằng F khả vi Gâteaux tại mọi điểm của U và ánh xạ x → F

G
(x)
từ U vào L (X; Y ) liên tục. Khi đó F khả vi Fréchet trên U và
F

G
(x) = F

F
(x) , ∀x ∈ U.
Ví dụ 1.2.7 (Đạo hàm Fréchet của hàm vector). Cho g

, t
1
] → R
n
có ảnh nằm trong U. Ta sẽ chỉ ra rằng G khả vi Fréchet tại x (·).
Vì U là tập mở nên tồn tại ε > 0 sao cho |x
0
(t) −x| < ε kéo theo
(t, x) ∈ U. Nếu x (·) − x
0
(·)
C
< ε ta có
lim
λ→0

G (x (·) + λz (·))
λ

(t) = g
x
(t, x (t)) z (t) ,
9
nghĩa là
[G

G
(x (·)) z (·)] (t) = g
x
(t, x (t)) z (t) .

h
(t)




t=0
(1.6)
được gọi là biến phân bậc n của F tại x.
Đạo hàm Fréchet bậc n có thể định nghĩa qui nạp: Nếu đạo hàm
Fréchet (bậc nhất) F

của F tồn tại trong một lân cận của x. Nếu ánh
xạ x → F

(x) tồn tại và liên tục trong lân cận của một điểm thì ta nói
F khả vi liên tục hai lần tại điểm đó.
1.2.3 Một số tính chất cơ bản
Định lí 1.2.8 (Định lí về đạo hàm riêng của Schwarts). Cho X, Y và Z
là các không gian Banach, U là tập hợp mở của X ×Y và F : U → Z có
đạo hàm (Fréchet) riêng F
x
(x, y) và F
y
(x, y) tại mọi điểm (x, y) ∈ U.
Nếu các ánh xạ (x, y) → F
x
(x, y) và (x, y) → F
y
(x, y) liên tục (theo

(·) là một hàm liên tục trên [t
0
, t
1
] sao cho
(t, x
0
(t) , ˙x
0
(t)) ∈ H

với mọi t ∈ [t
0
, t
1
].
Xét ánh xạ
M : C
n
1
([t
0
, t
1
]) → C
m
([t
0
, t
1

2
(x (·) , y (·)) (r (·) , s (·))] (t) =L
x
(t, x (t) , y (t)) r (t) +
+ L
y
(t, x (t) , y (t)) s (t) .
Mặt khác nhận thấy
[M

1
(x (·)) z (·)] (t) = (z (t) , ˙z (t)) .
Áp dụng Định lí 1.2.5 ta có
[M

(x
0
(·)) z (·)] (t) = L
x
(t, x
0
(t) , ˙x
0
(t)) z (t) + L
y
(t, x
0
(t) , ˙x
0
(t)) ˙z (t) .

F
2
là một ánh xạ tuyến tính, nên sử dụng kết quả của ví dụ 1.2.4 và
1.2.11 cùng với định lí 1.2.9 ta thu được
F

(x (·)) z (·) =
t
1

t
0
[L
x
(t, x (t) , ˙x (t)) z (t) + L
y
(t, x (t) , ˙x (t)) ˙z (t)] dt.
(1.7)
Định lí 1.2.12 (Định lí hàm ẩn). Cho X, Y và Z là các không gian
Banach, U là một lân cận của (x
0
, y
0
) ∈ X × Y và F : U → Z khả vi
Fréchet liên tục. Giả thiết rằng F (x
0
, y
0
) = 0 và đạo hàm riêng F
y

0
∈ M nếu tồn tại ε > 0 và ánh xạ
12
r : [0, ε] → X, thỏa mãn lim
t→0
r(t)
t
= 0, sao cho
x
0
+ tx + r (t) ∈ M ∀t ∈ [0, ε] .
Dễ thấy, tập hợp các vector tiếp tuyến M tại một điểm bất kỳ là một
nón đóng và khác rỗng (vì chứa điểm 0), được gọi là nón tiếp tuyến tập
M tại x
0
. Nếu nón này là một không gian con thì ta gọi là không gian
tiếp tuyến tập M tại x
0
và kí hiệu là T
x
0
M. Định lí sau sẽ nói về không
gian này.
Định lí 1.2.13 (Định lí Lyusternik). Cho X và Y là không gian Banach,
V là một lân cận của x
0
∈ X, và F : V → Y khả vi Fréchet. Giả thiết
rằng F chính qui tại x
0
(tức ImF

1
+ (1 − λ) x
2
, 0  λ  1}
giữa hai điểm x
1
và x
2
bất kỳ thuộc A cũng nằm trong A.
Định nghĩa 1.3.2 (Hàm lồi). Cho hàm f : X → R ∪ {−∞, ∞} thì
domf := {x ∈ X/f (x) < ∞}
13
là miền xác định hữu hiệu và
epif := {(α, x) ∈ R ×X/f (x)  α}
là epigraph của f. Hàm f được gọi là thật nếu domf = ∅ và f (x) > −∞
với mọi x ∈ X.
Hàm f là một hàm lồi nếu epif là một tập lồi trong R × X.
Mệnh đề 1.3.1. Cho f : X → R lồi khi và chỉ khi
f (λx
1
+ (1 − λ) x
2
)  λf (x
1
) + (1 − λ) f (x
2
) , ∀x
1
, x
2

|A) := sup
x∈A
x
∗
, x.
Tổng hai hàm lồi và thật là một hàm lồi (không nhất thiết là thật).Supremum
của một họ tùy ý các hàm lồi cũng lồi.
Định lí sau đây đưa ra một số tính chất quan trọng của hàm lồi đối
với bài toán cực trị.
Định lí 1.3.2. Chof là một hàm lồi thật.
14
(i) Mọi tập mức dưới
ς
α
f := {x ∈ X/f (x)  α} (1.9)
là lồi (∀α ∈ R).
(ii) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
(iii) Mỗi điểm dừng của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
Định lí tiếp theo nói về tính liên tục của hàm lồi.
Định lí 1.3.3. Cho f là một hàm lồi thật trên X. Khi đó bốn mệnh đề
sau đây là tương đương:
1. f bị chặn trên tại một lân cận của điểm nào đó;
2. f liên tục tại một điểm nào đó;
3. int (epif) = ∅;
4. int (domf) = ∅ và f liên tục trên int (domf) .
Và ta có
int (epif) = {(α, x) ∈ R × X/x ∈ int (domf) , f (x) < α}.
Định nghĩa 1.3.3 (Dưới vi phân). Cho f là một hàm lồi thật trên X.
Tập
∂f (x) := {x

∗
/ x
∗
 = 1, x
∗
, x = x} nếu x = 0. (1.12)
Nếu x
∗
 = 1 thì z  x
∗
, z. Do đó x
∗
, x = x suy ra z−x 
x
∗
, z − x. Vậy x
∗
∈ ∂ x. Ngược lại, nếu x
∗
∈ ∂ x thì
− x = 0 − x  x
∗
, 0 − x = −x
∗
, x
⇔x = 2x − x  x
∗
, 2x − x = x
∗
, x

kết quả trên chỉ ra rằng ∂ x = ∅ với mọi x ∈ X.
Ví dụ 1.3.5 (Dưới vi phân của hàm chỉ định). Với mọi x ∈ A thì
∂δ (x |A) khác rỗng vì nó đều chứa 0. Từ định nghĩa ta có
∂δ (x |A) = N (x |A) , (1.13)
trong đó
N (x |A) := {x
∗
∈ X
∗
|x
∗
, z − x  0 ∀z ∈ A} (1.14)
là nón pháp tuyến của tập A tại điểm x.
16
Định lí 1.3.6 (Định lí Moreau- Rockafellar). Nếu f
1
và f
2
là hàm lồi
thật trên X thì
∂ (f
1
+ f
2
) (x) ⊃ ∂f
1
(x) + ∂f
2
(x) ∀x ∈ X.
Nếu một trong hai hàm liên tục tại một điểm thuộc vào miền xác định

|x| =

n

i=1
(x
i
)
2

1/2
là chuẩn Euclid của x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
.
Tôpô được cảm sinh qua chuẩn này được gọi là Tôpô hội tụ đều.
Không gian C
n
m
([t
0
, t
1
])
C
n
m

Không gian L
n
p
([t
0
, t
1
])R
n
Khi l  p < ∞thì L
n
p
([t
0
, t
1
]) kí hiệu không gian Banach của các ánh
xạ đo được Lebesgue từ [t
0
, t
1
] vào R
n
với

t
1
t
0
[x (t)]dt < ∞.