B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

ĐINH TH± HONG GAM

ĐIEU KIfiN TOI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Hà N®i-2012


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

ĐINH TH± HONG GAM

ĐIEU KIfiN TOI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giái
tích Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng
Tâm

Hà N®i-2012



5

Mnc lnc
Má đau

vii

N®i dung

1

1

Kien thNc chuan b%

1

1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach . . . . . . . .

5

1.2.1

1.6 Bài toán toi ưu và hàm Lagrange..............................................22
1.7 Khái ni¾m bài toán bien phân....................................................28
2

Đieu ki¾n can cho bài toán bien phân

30

2.1 Phương trình Euler.......................................................................30
2.2 Đieu ki¾n Weierstrass.................................................................33


6

2.3 Đieu ki¾n Legendre......................................................................35
2.4 Đieu ki¾n Jacobi...........................................................................38
2.5 Bài toán đang chu.........................................................................42
3

Đieu ki¾n đú cho bài toán bien phân

46

3.1 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương yeu..................49
3.2 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương manh..............50
3.3 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong m®t so không gian
(Banach phán xa, Sobolev).........................................................51
3.3.1

Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu trong không gian

cái đó đeu chào đòi trong chiec nôi cna Phép tính bien phân. Vi¾c
nghiên cúu nhung bài toán bien phân thnc sn đóng vai trò quan trong
trong thnc te cũng như trong lý thuyet (xem[2] và nhung tài li¾u dan
trong đó).
Bài toán tìm đưòng
lăn nhanh nhat có dang:
¸ x1 ,
1 + y12(x)
dx → inf ;
,
−2gy(x)
x0

(1)

y(x0) = 0, y(x1) = y1.
là bài toán đau tiên cna Giái tích vô han chieu (không gian cna tat cá
nhung quy đao noi hai điem cho trưóc có so chieu vô han) và cũng là
m®t trong nhung bài toán có ràng bu®c đau tiên. Hai lòi giái đau tiên
đưoc công bo năm 1697, trong đó phương pháp do Johann Bernoulli
đưa ra chí thích úng vói bài toán cu the này. Ngưoc lai, anh trai ông là
Jacob Bernoulli đã đe xuat m®t phương pháp có the tong quát hóa
đưoc, mó ra ký nguyên cna Lý thuyet bien phân (co đien).


8

Sau khi bài toán này đưoc công bo, đã xuat hi¾n m®t so bài
toán toi ưu khác có ràng bu®c như bài toán đang chu co đien : tìm
đưòng cong khép kín có chu vi cho trưóc sao cho di¾n tích tao thành

+ Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà khoa
hoc nghiên cúu và công bo ve nhung đieu ki¾n toi ưu cho bài toán
bien phân.


1

Chương 1
Kien thNc chuan b%
Trong chương này, tôi đưa ra nhung kien thúc cơ bán nham bo tro
kien thúc cho các chương sau nên các ket quá không chúng minh.

1.1

Không gian Banach

Dưói đây là các đ%nh nghĩa và tính chat ve không gian Banach và
các kien thúc có liên quan như không gian đ%nh chuan, dãy h®i tu,
h®i tu tuy¾t đoi. . .
Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian đ%nh chuan). Cho X là không gian
tuyen tính trên trưòng K. X đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan
trên trưòng K neu ton tai m®t chuan "." trên X, ∀u, v ∈ X và α ∈ K,
thóa mãn các đieu ki¾n sau đây:
(i) "u" “ 0 (vói "u" là m®t so thnc không âm)
(ii) "u" = 0 neu u = 0
(iii) "αu" = |α| . "u"
(iv) "u + v" ™ "u" + "v" (bat đang thúc tam giác)
M®t không gian đ%nh chuan trên trưòng K = R ho¾c K = C đưoc
goi là không gian đ%nh chuan thnc ho¾c phúc, tương úng.


Ví dn 1.1.2. Cho P ([0, 1]) là không gian các đa thúc trên [0, 1]
vói chuan
= max
" " P [0,1]
| P (x) . Đ%nh nghĩa:
|
x2 + ... xn , n = 1, 2, ...
Pn (x) = 1 + x
+
n!
+
2!
thì (Pn) là m®t dãy Cauchy, nhưng nó không h®i tu trong P ([0, 1]).
M®t so ví du minh hoa ve không gian Banach.
Ví dn 1.1.3. Không gian X := K là không gian Banach trên trưòng
K
vói chuan "u" = |u| , ∀u ∈ K.
Ví dn 1.1.4. Chúng ta se chí ra rang không gian l2 bao gom tat cá
.∞
nhung dãy so phúc x = (xn) sao cho chuoi n= |xn|2 h®i tu vói chuan
1
.
∞

"x" =


.
2


k
n→∞ n,k

Chúng ta se chúng minh rang a là m®t phan tú cna l2 và rang dãy

(an) h®i tu tói a. Th¾t v¾y, tù (1.1) cho m → ∞ ta đưoc
∞
.
2
|αk − αn,k| ™ ε2,

(1.2)

k=1

vói moi n “ N0. Khi
đó
ta có

.∞

k=
1

‚
‚
.
. .∞
.
2


0

‚ ..
(|αk| − |αN ,k|) ,
+ ∞
2.

0

|αN ,k|

2

0

k=1

k=1

‚
‚
.
. ∞
∞
..
..
2
2
,



túc là dãy (an) h®i tu tói a trong l2.
Ví dn 1.1.5. M®t ví du quan trong khác cna không gian Banach là
không gian C([a,b]) nhung hàm liên tuc (giá tr% thnc ho¾c phúc) trên
m®t đoan [a, b]. Nhac lai rang chuan trên C([a,b]) đưoc
f
" " đinh nghĩa
|
|
= max f (x) .
[a,b]

Lay (fn) là m®t dãy Cauchy trong C([a,b]). Vói ε > 0 tùy ý ton tai N0 ∈ N
sao cho
"fn − fm " < ε, ∀m, n “ N0
và vì v¾y cũng
có
|fn (x) − fm (x)| < ε, ∀m, n “ N0, ∀x ∈ [a, b]

(1.3)

Đieu này kéo theo rang (fn (x)) là m®t dãy Cauchy vói moi x ∈ [a,
b]. Tính đn cna R (ho¾c C) cho phép ta xác đ%nh
f (x) = lim

f
n→∞ n

(x) , x ∈ [a, b]

xn = x.
Neu

.∞ "xn" < ∞ thì chuoi goi
n=
1

Trong trưòng hop tong quát, m®t chuoi h®i tu tuy¾t đoi không nhat
thiet h®i tu.
Đ%nh lí 1.1.6. M®t không gian đ%nh chuan là không gian Banach neu
và chs neu chuoi h®i tn tuy¾t đoi là h®i tn.
Đ%nh lí 1.1.7. M®t không gian vectơ con đóng cúa m®t không gian Banach là m®t không gian Banach.

1.2

Phép tính vi phân trên không gian Banach

Muc này trình bày bien phân b¾c nhat và đao hàm, bien phân và
đao hàm cap cao, m®t so tính chat cơ bán như đ%nh lí ve đao hàm
riêng cna Schwartz, qui tac dây chuyen, đ%nh lí hàm an, và đ%nh lí
Lyusternik và m®t so ví du minh hoa.
1.2.1

Bien phân b¾c nhat và đao hàm

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho X và Y là hai không gian tôpô tuyen tính, V
là m®t lân c¾n cna x ∈ X và F : X → Y . Neu
δF (x, h) := lim t−1 (F (x + th) F (x))
−
t→0

r

đưoc goi là chính qui tai x neu nó khá vi Fréchet tai x và Im F r (x) = Y
.
Kí hi¾u L(X, Y ) không gian cna các toán tú tuyen tính liên tuc tù
X
vào Y , trang b% chuan
"Λ" = sup "Λx"
Y
"x"X =1

Neu F : X → Y khá vi Fréchet tai moi điem trong t¾p mó V và ánh xa
x → F r(x) liên tuc trên V (hay tai x0 ∈ V ) theo tôpô L(X, Y ) thì ta nói
F khá vi liên tuc trên V (hay tai x0) hay F thu®c vào lóp C1.
Neu f là m®t phiem hàm và thì x là m®t điem dùng.


Ví dn 1.2.2 (Đao hàm Fréchet cna ánh xa afin). M®t ánh xa A : X → Y
tù không gian tuyen tính X vào không gian tuyen tính Y có dang
A (x) = Λx + a,
vói a ∈ X và Λ là m®t ánh xa tuyen tính tù X vào Y , đưoc goi là
ánh xa afin. Neu X và Y là không gian Banach và Λ liên tuc thì A
khá vi
Fréchet khap nơi và ArF (x) = Λ.
M¾nh đe 1.2.3.
(i) Neu F khá vi Fréchet tai x thì F liên tnc và khá vi Gâteaux tai đây:
Fr

r



khá vi Gâteaux tai (0, 0) ∈ R2 nhưng không liên tuc tai đó nên theo
M¾nh đe 1.2.3 thì nó không the khá vi Fréchet đưoc.
Đ%nh lí 1.2.5 (Đ%nh lí giá tr% trung bình). Cho X và Y là các
không gian topo tuyen tính, U là m®t t¾p mó cúa X, ánh xa F : U → Y
khá vi Gâteaux tai moi điem trên đoan noi [x, x + h] ⊂ U. Khi đó ta
có:
(i)

th
ì

Neu ánh xa z → F rG (z) h là m®t ánh xa liên tnc cúa [x, x + h] vào Y
F (x + h) − F (x)
=


1

¸

F rG (x + th) hdt.

0


(ii) Neu X và Y là không gian Banach thì
"F (x + h) − F (x)" ™ sup "F rG (x + th)" · "h"
0™t™1


[G (x (·))] (t) = g (t, x (t)) , t0 ™ t ™ t1
Như v¾y G : C n ([t0, t1]) → C m ([t0, t1]) là m®t hàm liên tuc [t0, t1] → Rn
có ánh nam trong U . Ta se chí ra rang G khá vi Fréchet tai x (·).
Vì U là t¾p mó nên ton tai ε > 0 sao cho |x0 (t) − x| < ε kéo theo
(t, x) ∈ U . Neu "x (·) − x0 (·)"C < ε ta có
.
.
G (x (·) + λz (·))
lim
λ→0

λ


(t) = gx (t, x (t)) z
(t) ,


nghĩa
là

[Gr (x (·)) z (·)] (t) = gx (t, x (t)) z (t) .
G

Vì (t, x) → gx (t, x) liên tuc nên x (·) → GrG (x (·)) cũng liên tuc. Áp
dung m¾nh đe 1.2.6 ta nh¾n đưoc tính khá vi Fréchet tai x (·) và
[GrF (x0 (·)) z (·)] (t) = gx (t, x0 (t)) z (t) .
1.2.2

Bien phân và đao hàm b¾c cao

xa x → F rr (x) ton tai và liên tuc trong lân c¾n cna m®t điem thì ta nói
F khá vi liên tuc hai lan tai điem đó.
1.2.3

M®t so tính chat cơ bán

Đ%nh lí 1.2.8 (Đ%nh lí ve đao hàm riêng cna Schwarts). Cho X, Y và
Z là các không gian Banach, U là t¾p hop mó cúa X × Y và F : U → Z
có đao hàm (Fréchet) riêng Fx (x, y) và Fy (x, y) tai moi điem (x, y)
∈ U. Neu các ánh xa (x, y) → Fx (x, y) và (x, y) → Fy (x, y) liên
tnc (theo tôpô đeu) tai (x¯, y¯) ∈ U thì F khá vi Fréchet tai đó và
F r (x¯, y¯) [(ξ, η)] = Fx (x¯, y¯) [ξ] + Fy (x¯, y¯) [η] .
Đ%nh lí 1.2.9 (Quy tac dây chuyen). Cho X,Y và Z là các không gian
Banach, U là m®t t¾p mó cúa X, V là m®t t¾p mó cúa Y, F : U → Y


và G : V → Z. Cho x ∈ U vói F (x) ∈ V . Neu F khá vi Fréchet tai x
và


G khá vi Fréchet tai F (x) thì ánh xa H = G ◦ F cũng khá vi Frétchet
tai x và H r (x) = Gr (F (x)) ◦ F r (x) .
Ví dn 1.2.10 (Đao hàm Frétchet cna hàm Lagrange). Cho L (t, x, y)
là m®t ánh xa tù w ⊂ R × Rn × Rn vào Rm, liên tuc và khá vi liên
tuc theo x và y,x0 (·) là m®t hàm liên tuc trên [t0, t1] sao cho
(t, x0 (t) , x˙ 0 (t)) ∈ H r
vói moi t ∈ [t0, t1].
Xét ánh xa
M : Cn1 ([t0, t1]) → C m ([t0, t1])
[M (x (·))] (t) = L (t, x (t) , x˙ (t)) , t ∈ [t0 , t1 ] .

t1

¸

[F1 (x (·))] (t) = L (t, x (t) , x˙ (t)) , t0 ™ t ™ t1 và F2
(α (·)) =

α (t) dt
t0

F2 là m®t ánh xa tuyen tính, nên sú dung ket quá cna ví du 1.2.4 và
1.2.11 cùng vói đ%nh lí 1.2.9 ta thu đưoc
t1

F r (x (·)) z (·) ¸
=
[Lx (t, x (t) , x˙ (t)) z (t) + Ly (t, x (t) , x˙ (t)) z˙ (t)]
dt.
t0

(1.7)

Đ%nh lí 1.2.12 (Đ%nh lí hàm an). Cho X, Y và Z là các không gian
Banach, U là m®t lân c¾n cúa (x0, y0) ∈ X × Y và F : U → Z khá
vi
Fréchet liên tnc. Giá thiet rang F (x0, y0) = 0 và đao hàm riêng Fy (x0,
y0)
là m®t phép đong phôi tuyen tính. Khi đó ton tai ε > 0, δ > 0 và m®t
ánh xa x → y (x) tù quá cau B (x0, δ) ⊂ X vào quá cau B (y0, ε) ⊂ Y
sao cho: