TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
———————o0o——————–

TRẦN THỊ TUYẾT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT
LÍ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Giảng viên hướng dẫn: TS. TRẦN THÁI HOA

HÀ NỘI, 5 - 2014


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học
tập và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của TS. Trần Thái Hoa.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận tôi có kham khảo
một số tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: "Phương pháp giải một

1.2.1.1 Phương pháp chung
1.2.1.2. Bài tập

Trang

1
4
4
4
5
7
8
10
11
11
11
12
14
14
14


1.2.3. Công thức phong vũ biểu
1.2.3.1 Phương pháp chung
1.2.3.2. Bài tập
1.2.4. Áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ
khí lí tưởng
1.2.4.1. Phương pháp chung
1.2.4.2. Bài tập
1.2.5. Dạng định lí trung bình động năng và định lí


2.1.2.2. Áp dụng phương pháp thống kê vào
hệ lượng tử
2.1.3. Các công thức cần nhớ

35
36


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Trang
2.1.3.1. Phân bố chính tắc lượng tử
36
2.1.1.2 . Hàm phân bố chính tắc lớn lượng tử
38
2.2. Dạng bài tập
41
Chương 3. Tích phân trạng thái và ứng dụng
3.1. Cơ sở lí thuyết
45
3.1.1. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo
tích phân trạng thái
45

học phần Vật lí thống kê. Hay còn làm cơ sở để các bạn sinh viên có
nhu cầu học các bậc học cao hơn có thể ôn tập một cách dễ dàng.
2. Mục đích nghiên cứu
Phân loại một số dạng bài tập vật lí thống kê để giúp các bạn
sinh viên dễ dàng trong việc học, nghiên cứu để có cái nhìn tổng quát
về một số dạng bài tập môn vật lí thống kê.
3. Đối tượng nghiên cứu
Vật lí thống kê là một trong những môn học thuộc Vật lí lý thuyết
nhằm nghiên cứu hệ vật lí vĩ mô. Vật lí thống kê là bộ môn khoa học
có đối tượng nghiên cứu là những hệ bao gồm một số rất lớn các hạt
như nguyên tử, iôn và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay
hệ nhiều hạt.
4. Phạm vi nghiên cứu
Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô
1


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và quy luật chuyển động của
các hạt vi mô cấu trúc thành hệ.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại và chỉ ra phương hướng chung để giải một số dạng bài
tập trong vật lí thống kê.

1.1 Cơ sở lí thuyết
1.1.1 Không gian pha
Không gian pha là không gian quy ước nhiều chiều, các tọa độ
của không gian pha chính là các thông số độc lập xác định trạng thái
vi mô của hệ (tọa độ, xung lượng của tất cả các hạt trong hệ). Có
hai không gian pha:
+ Không gian µ: Đối với 1 hạt có 3 bậc tự do ⇒ có 6 chiều.
+ Không gian K: Đối với n hạt mỗi hạt có f bậc tự do ⇒ 2nf
chiều.
Các yếu tố cơ bản của không gian pha:
+ Điểm pha: 1 điểm trong không gian pha có 2nf tọa độ biểu
diễn một trạng thái vi mô của hệ đang xét.
+ Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ biến đổi điểm pha sẽ
“chuyển động” và vạch một đường cong gọi là quỹ đạo pha, mỗi điểm
trên quỹ đạo tương ứng với 1 trạng thái tức thời xác định của hệ.
Quỹ đạo của hệ không cắt nhau trong không gian pha.
+ Mặt năng lượng (siêu diện năng lượng) đối với một hệ cô đơn
thì E = const và E là thông số vĩ mô ⇒ phương trình của năng
3


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

lượng là:

v : vận tốc chuyển động của chất lỏng.
+ Tương tự
- Vận tốc pha là vận tốc của các điểm biểu diễn pha.
- Các thành phần của vận tốc pha là:
.

.

.

.

.

.

q1 , q2 , ..., q1N , p1 , p2 , ..., p1N
- Mật độ biểu diễn pha: ρ = ρ(qk , pk , t)
Đối với vận tốc pha ta có:
∂ρ
+
∂t

fN

k=1

.

.

.

.

∂ qk
∂ pk
∂ρ
. ∂ρ
+ρ
+ pk
+ρ
)=0
∂qk
∂qk
∂pk
∂pk
fN

∂ρ
. ∂ρ
+ pk
)+ρ
∂qk
∂pk

k=1

.

.

∂ρ
. ∂ρ
+ pk
)
∂qk
∂pk

.

.

∂qk ∂pk
+
∂qk
pk

k

(4)

Mặt khác


∂ p˙k
∂ 2H
∂H





∂ qk ∂ p k
(
+
)=0
∂qk
∂pk

(6)

Từ (5) và (6)
⇔

∂ρ
=0
∂t

(7)

Hệ quả:
1. Từ (6) ⇒

của chất lỏng.
2.

∂ vx ∂ vy ∂ vz
+
+
= 0 ⇔ Điều kiện không nén được
∂x
∂y

. ∂ω
. ∂ω
+ pk
)=
=
+
( qk
+ [H.ω]
dt
∂t
∂qk
∂pk
∂t
∂ω
dω
=0⇒
= − [H.ω] phương trình Liuvin
Mà
dt
∂t
Điều kiện cân bằng thống kê:
Vì F =

F (x)ω(x, t)dx = const ⇒ ω(x, t) không phụ thuộc

tường minh vào thời gian ⇒

∂ω
= 0 ⇒ [H.ω] = 0
∂t

⇒ công thức phong vũ biểu biểu
p(z) = p0 exp −

mgz
kT

p0 là áp suất tại z = 0, p là áp suất tại z

1.1.4. Dạng áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ
khí lí tưởng
- Đối với hệ N hạt khí lí tưởng:
N

H=
k=1

p2k
+ Uk (x)
2m

- Tích phân trạng thái của một hạt khí lí tưởng thứ k:
Zk =

exp −

H
θ

dX


Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

+ Năng lượng tự do:
ψ = kT ln Z
V
3
ln (2πmθ) + ln
2
N

⇔ ψ = −θN
+ Phương trình trạng thái:
p=−

∂ψ
kN T
=
⇔ pV = kN T
∂V
V

Đối với 1mol N = NA và NA k = R ⇒ pV = RT
+ Entropi
S=−



1.1.5. Dạng định lí trung bình động năng và định
lí Virian
- Biểu thức tính động năng ứng với 1 bậc tự do thứ k:
∂H
1
pk
2 ∂ pk
1
∂H
⇒ ε k = pk
2 ∂ pk
εk =

1
⇔E=
2

f

pk
k=1

8

∂H
∂ pk


- Nội dung định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do:

2
- Định lí trung bình động năng và định lí Virian thường áp dụng để
tính năng lượng trung bình của một chuyển động bất kì.
Tương tự ta cũng có: qk

1.2. Dạng bài tập
1.2.1. Không gian pha
1.2.1.1. Phương pháp chung
- Xác định số bậc tự do của 1 hạt và không gian pha của hạt.
- Chọn trục tọa độ suy rộng.
- Viết phương trình Hamintơn cho mỗi hạt.
9


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

- Dùng phương trình chính tắc (hoặc các phương trình chuyển
động) để tìm ra phương trình của q, p suy ra quỹ đạo của hạt.
- Vẽ quỹ đạo, thể tích pha (nếu cần).

1.2.1.2. Bài tập
Bài 1
Viết phương trình quỹ đạo pha của hạt khối lượng m dao động
điều hòa ba chiều độc lập với các tần số tương ứng ω1 , ω2 và ,ω3 . Biết

p˙x = −

∂H
= −mω1 x
∂x

x˙ =

∂H
∂px

10


Suy ra
x¨ + ω1 x = 0
x = x0 sin(ω1 t + ϕ)
px = mx˙ = px0 cos(ω1 t + ϕ) ⇒

p2x
x2
+
=1
x20 p2x0

Phương trình của quỹ đạo pha sẽ là
p2y
p2x
y2
z2

Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Số trạng thái vi mô của một hạt trong yếu tố thể tích pha dX =
dxdydzdpx dpy dpz là:
dxdydzdpx dpy dpz
dX
=
3
h
h3

dn (x, y, z, px , py , pz ) =

Số trạng thái vi mô nằm trong thể tích V có:
px → px + dpx , py → py + dpy , pz → pz + dpz
V
dpx dpy dpz
h3
V
dn (px , py , pz ) = 3 4πp2 dp
h

dn (px , py , pz ) =


3/ 2
4
⇔ Γ = V 4π 2m 2 E 2 = πV
3
3
√

(2mE)3

Vậy đối với một hạt ta có:
4
Γ = πV
3

(2mE)3

Đối với N hạt mà ta xét:
N

dΓ = dΓ1 dΓ2 ...dΓN =

dΓi
i=1

N

Γ=

Γi
i=1

dΓ0 , dΓ .
- Chứng minh dΓ = dΓ0 có thể dùng phương trình động học hay
dùng phép biến đổi Jacôbiên.

1.2.2.2. Bài tập
Bài 1
Kiểm nghiệm lại định lí Liuvin đối với chất điểm chuyển động
trong trường trọng lực có gia tốc g = const.
Giải
- Vì chất điểm chuyển động trong trường trọng lực theo phương
thẳng đứng có 1 bậc tự do ⇒ không gian pha có 2.1.1 = 2 chiều.
- Chọn không gian pha là p, q với q là khoảng cách từ vị trí ban
13


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

đầu của chất điểm đến vị trí ta xét chiều dương hướng xuống dưới.
- Xét nguyên tố thể tích pha chiếm bởi các điểm pha ở thời điểm
t0 .
dΓ0 = dp0 dq0
Giả sử nguyên tố thể tích pha là hình chữ nhật ABCD
Sau thời gian t:
′

= qB + t + g = q0 + dq0 + t + g
m
2
m
2

Suy ra
qB ′ − qA′ = dq0 → dq = dq0

Ta còn có:

(1)

pD′ = pD + mgt = p0 + dp0 + mgt
pA′ = pA + mgt = p0 + mgt
nên suy ra
pD′ − pA′ = dp0 → dp = dp0

Từ (1) và (2) có

dΓ = dΓ0
Hơn nữa:

′

′

D C = DC,
′
′

đó, trong không gian pha pz thì thể tích pha ban đầu của 3 hạt có
dạng tam giác suy ra thể tích pha chính là S∆ABC .
1
1
dΓ0 = S∆ABC = AB.AC = ab
2
2
1
⇒ dΓ0 = ab
2
Xét tại thời điểm t:
′

A → A (z1 , p1 )
′
B → B (z2 , p2 )
′
A → A (z3 , p3 )
Chọn chiều dương hướng xuống dưới
p1 = p0 + mgt
p2 = p1
p3 = p0 + b + mgt = p1 + b
1
p0
z1 = z0 + t + gt2
m
2
z2 = z 1 + a
1
b

p1 (z1 + a) + z1 (p1 + b) + p1 z1 + t − (z1 + a) (p1 + b)
=
2
m
b
−p1 z1 + t − z1 p1
m
Hay là
1
1
S = ab ⇒ dΓ = ab
2
2

(4)

1
Từ (3) và (4) suy ra dΓ = dΓ0 = ab
2
Do ban đầu A, B cùng vận tốc v0 mà chuyển động trong trường
trọng lực sau thời gian t A, B cùng vận tốc tức là A’B’ // AB, còn
ban đầu C có v0 + ∆v0 > v0 nên sau thời gian t, C chuyển động được
′
′
quãng đường CC’ > AA’. Do đó ∆A B C không phải là tam giác
vuông.
Vậy hình dạng thể tích pha đã thay đổi nhưng độ lớn không đổi.

1.2.3. Công thức phong vũ biểu
1.2.3.1. Phương pháp chung

i=1

i=1

p2ix + p2iy + p2iz
+ u(xi , yi , zi )
2m

+ Xác suất tìm thấy năng lượng E của hệ trong yếu tố thể tích pha
dX là:
E
dX
kT
EN
E1
dX1 ... exp −
= const. exp −
kT
kT
N
ε
= A exp −
dV dpx dpy dpz
kT N
= [dW(px ,py ,pz )] [dW(x, y, z)]N

dW = const. exp −

dXN



dV

tương ứng là phân bố theo tọa độ (phân bố Boltzman) của hạt trong
trường thế U (x, y, z).
+ Xét một khối khí có nhiệt độ đồng đều T , khối lượng phân tử khí
là m, mật độ khí ở độ cao z = 0 là n0 nằm trong trường trọng lực
U (x, y, z) = mgz (g là gia tốc trọng trường).
dW(z) = B exp −

mgz
dW(z)
mgz
dz ⇒ ω(z) =
= B exp −
kT
dz
kT

Số hạt nằm từ độ cao z đến z + dz bằng
dn(z) = n(z)dz = N dW(z) = N ω(z)dz
. Ở đây N là số hạt toàn phần của khối khí.
Suy ra
n(z) = n0 exp −

mgz
kT

là phân bố số hạt theo độ cao z.
Vì ở một nhiệt độ xác định áp suất chất khí tỉ lệ với mật độ , ta

23 ≈ 4, 816.10
NA
6, 022.10

Suy ra
ρ = exp −

ρ = 100% exp −

10−3 Agz
k B NA T

4, 816.10−26 .9, 8.100
1, 38.10−23 .273

≈ 98, 76%

Bài 2
Ở độ cao nào ở 00 C áp suất của không khí giảm đi 3 lần?
Giải
Một cách gần đúng ta coi không khí tại mặt đất và tại độ cao z
cần tính là khí lí tưởng.
Gọi p0 , pz là áp suất của không khí ở 00 C tại mặt đất và độ cao
z bất kì.
Áp dụng công thức phong vũ biểu:
mgz
pz = p0 exp −
kT
pz
mgz