Mục lục
Mở đầu

3

1 Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân
đại số

6

1.1.Vectơ đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Vectơ đặc trưng của hàm số . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. Vectơ đặc trưng của ma trận hàm . . . . . . . . . . . 19
1.2. Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1. Chỉ số của cặp ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2. Phương trình vi phân đại số tuyến tính . . . . . . . . 24
2 Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ phương trình vi phân
đại số chỉ số 1

29



MỞ ĐẦU
Năm 1892, Lyapunov đã đưa ra và sử dụng khái niệm số mũ đặc trưng
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến
tính. Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov đã được Hoàng Hữu Đường
mở rộng thành khái niệm số mũ vectơ đặc trưng (chỉ số vectơ đặc trưng)
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong trường
hợp tới hạn vào những năm 1965 - 1982.
Bắt đầu từ những năm 1980, do nhu cầu thực tiễn và phát triển lý
thuyết, phương trình vi phân đại số đã được chú ý và nghiên cứu sâu rộng.
Nhiều tác giả Việt Nam: GS. Phạm Kỳ Anh, GS. Nguyễn Đình Công, GS.
Nguyễn Hữu Dư, PGS. Vũ Hoàng Linh, TS. Lê Công Lợi, GS. Vũ Ngọc
Phát, GS. Vũ Tuấn... đã tham gia nghiên cứu và giải quyết các vấn đề
khác nhau của phương trình vi phân đại số.
Một câu hỏi được đặt ra một cách khá tự nhiên là: Có thể sử dụng lý
thuyết số mũ đặc trưng của Lyapunov để nghiên cứu các tính chất định
tính của phương trình vi phân đại số? Vấn đề này đã được Nguyễn Đình
Công và Hoàng Nam nghiên cứu, giải quyết trong [3] và [5], [6].
Trong luận văn, chúng tôi đặt vấn đề sử dụng khái niệm vectơ đặc trưng
của Hoàng Hữu Đường để nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số. Các
vấn đề luận văn quan tâm là:

3


1) Đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng của nghiệm của phương trình vi
phân đại số tuyến tính chính qui chỉ số 1; trình bày mối quan hệ giữa vectơ
đặc trưng của nghiệm của phương trình vi phân đại số và vectơ đặc trưng
của nghiệm của phương trình vi phân thường tương ứng.
2) Hệ cơ bản chuẩn tắc của phương trình vi phân đại số tuyến tính

phương trình vi phân tuyến tính tương ứng. Và phần cuối cùng chúng tôi
đưa ra các khái niệm: vectơ đặc trưng của phương trình vi phân đại số
tuyến tính thuần nhất chính qui chỉ số 1 ổn định (cấp m) đối với các nhiễu
động tuyến tính và nhiễu động phi tuyến.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban lãnh đạo Viện Toán
học, Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi
trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành tốt luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người bạn và những
người thân trong gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 8 năm 2011
Người thực hiện
Nguyễn Thị Khuyên

5


Chương 1
Vectơ đặc trưng của nghiệm của hệ
phương trình vi phân đại số
Trong chương này ta nhắc lại một số khái niệm, tính chất của số mũ
Lyapunov; vectơ đặc trưng của một vectơ hàm hoặc của một ma trận hàm;
các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân đại số tuyến tính.

1.1. Vectơ đặc trưng
Năm 1982 trong luận án Tiến sĩ khoa học của mình, Hoàng Hữu Đường
đã đưa ra khái niệm vectơ đặc trưng là mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng

t→∞ t
được gọi là số mũ Lyapunov (số mũ đặc trưng) của hàm số f (.).
Nói chung số mũ Lyapunov có thể hữu hạn hoặc vô hạn, nhưng sau này
chúng ta chủ yếu xét trường hợp số mũ Lyapunov là hữu hạn. Chúng ta
qui ước ln 0 = −∞, do đó nếu f (t) ≡ 0 thì χ(f ) = −∞.
Định lý 1.1.1. [4] Nếu χ(f ) = α = ±∞ thì
1) Với mỗi

> 0 ta có f (t) = o e(α+ )t , nghĩa là
|f (t)|
= 0;
t→∞ e(α+ )t
lim

(1.1)

|f (t)|
= ∞, nghĩa là tồn tại dãy tk → ∞ sao cho
t→∞ e(α− )t

2) lim

|f (tk )|
= ∞.
tk →∞ e(α− )tk
lim

7

(1.2)

m

iii) Với c1 , . . . , cm là các hằng số thực bất kỳ thì χ

ci fi
i=1

và nếu tồn tại ck = 0 sao cho χ(fk ) > χ(fj ) với mọi
m

j = k, (j = 1, . . . , m; 1 ≤ k ≤ m) thì χ

ci fi
i=1

m

iv) χ

m

fi
i=1

≤

χ(fi ).
i=1

8


i=1
m

χ

m

Fi

≤

i=1

χ(Fi ).
i=1

Dưới đây là trình bày chi tiết khái niệm vectơ đặc trưng của hàm số,
của ma trận hàm và một số tính chất của chúng (xem [2]). Khái niệm vectơ
đặc trưng là sự mở rộng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov.
1.1.2. Vectơ đặc trưng của hàm số
Định nghĩa 1.1.4. ([2], trang 5) Xét một không gian tuyến tính A (trên
R) và một ánh xạ tùy ý χ : A → ∆ trong đó ∆ là một tập có thứ tự ( ).
Đặt

χ−1 (α),

Aδ :=
α δ


c
δ β . Vậy ta có (i).

δ . Vì
β hay

Giả sử χ(x1 ) = α1 , χ(x2 ) = α2 và α1 ≺ α2 với mọi x1 , x2 ∈ Aα . Vì

α1 ≺ α2 nên Aα1 ⊆ Aα2 . Suy ra x1 ∈ Aα2 . Do đó x1 + x2 ∈ Aα2 . Suy ra
χ(x1 + x2 )

α1 . Vậy ta có (ii).

Ngược lại, giả sử χ thỏa mãn (i) và (ii), ta chứng minh χ là ánh xạ
mũ, tức là chứng minh Aα là không gian con tuyến tính với mọi α ∈ ∆.
Thật vậy, lấy x ∈ Aα , c ∈ R, c = 0. Khi đó χ(cx) = χ(x)

α. Suy

ra cx ∈ Aα . Do đó, nếu x ∈ Aα thì −x ∈ Aα . Ta có 0 = x − x và

χ(0)
χ(x1 )

max(χ(x), χ(−x))
α, χ(x2 )

α. Do đó 0 ∈ Aα . Với mọi x1 , x2 ∈ Aα ta có

α. Theo (ii), χ(x1 + x2 )

Do đó |x(t)| < a0 e(α0 + )t với

> 0 tồn tại số T ( ) sao cho
với mọi t > T ( ).

> 0 và a0 ≥ 1 là hằng số bất kỳ.

Giả sử tồn tại giới hạn trên

ln{|x(t)|e−α0 t }
lim
= α1 ,
t→∞
ln t
với α1 hữu hạn. Khi đó, |x(t)| < a1 eα0 t tα1 + với

> 0 và a1 ≥ 1 là hằng

số bất kỳ.
Một cách tổng quát giả sử tồn tại số hữu hạn αm sao cho

ln{|x(t)|e−α0 t t−α1 (ln t)−α2 · · · (lnm−2 t)−αm−1 }
= αm ,
t→∞
lnm t
lim

trong đó lnj t = ln(lnj−1 t) với j = 3, 4, 5, . . . , m. Khi đó,

|x(t)| < am eα0 t tα1 · · · (lnm−2 t)αm−1 (lnm−1 t)αm +


(m)

≺ α2

(m)

= (α01 , α11 , . . . , αm1 ), α2

= (α02 , α12 , . . . , αm2 ),

nếu và chỉ nếu tồn tại j ≤ m sao cho αi1 − αi2 = 0, với

i = 0, 1, . . . , j − 1 và αj2 − αj1 > 0.
(m)

Ký hiệu α1

(m)

α2

(m)

có nghĩa là α1

(m)

≺ α2


t→∞
t→∞
ln t
ln t
Tương tự ta có αi (|x(t)|) = αi (x(t)), với i = 2, 3, . . . , m và suy ra điều
α0 (|x(t)|) = lim

phải chứng minh.
Tính chất 1.1.2. α(m) (cx) = α(m) (x) với mọi c ∈ R, c = 0.
Chứng minh. Giả sử α(m) (x) = (α0 , α1 , . . . , αm ). Khi đó ta có

|x(t)| < a0 e(α0 + )t
và tồn tại dãy tn → ∞ sao cho

ln |x(tn )|
= α0 .
tn →∞
tn
lim

Vậy|cx(t)| ≤ |c||x(t)| < |c|a0 e(α0 + )t = be(α0 + )t , b = |c|a0 . Suy ra

ln |cx(t)| ln b
≤
+ α0 + ≤ α0 + 2
t
t
với t đủ lớn. Vì

bất kỳ nên


xi

i

i=1

(1.3)

trong đó max của các vectơ α(m) (xi ) được hiểu theo thứ tự của nón K .

13


Chứng minh. Giả sử max α(m) (xi ) = (α0 , α1 , . . . , αm ) = α(m) .
i

Nếu α0 (xi ) ≤ α0 với i ∈ {1, . . . , p} nào đó thì với mọi

> 0 ta có

0

|xi (t)| < ae(α0 + 0 )t .
Suy ra

p

p


i=1

p

≤ α0 .

t

t→∞

α(m) .

xi
i=1

p

Nếu α0

i=1

≤ lim

t

t→∞

|xi (t)|

ln


ln t

t→∞

|xi |e−α0 t

ln

i=1

xi (t) = lim

α1

p

xi e−α0 t

ln

t→∞

i=1

ln t

≤ α1 .

p

i=1
p

tương tự ta có αl

p

xi

≺ αl hoặc αl

i=1

xi
i=1

phải chứng minh.

14

= αl . Do đó ta có điều


Nếu α0 (xi ) = α0 với mọi i = 1, . . . , p thì ta xét α1 (xi ). Nếu α1 (xi ) ≤ α1
ta làm như trên. Nếu α1 (xi ) = α1 với mọi i = 1, . . . , p thì ta xét α2 (xi ).
Một cách tổng quát, nếu αj (xi ) = αj , j = 1, . . . , l − 1 thì ta xét αl (xi )
với l ≤ m và làm tương tự như trên ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 1.1.1. Nếu chỉ có một số hạng xl có α(m) (xl ) = α(m) thì (1.3) xảy
ra dấu bằng. Thật vậy, theo (1.3) ta có
p


ln |xl (tk )|
= α0 .
tk →∞
tk
lim

Suy ra với mọi

> 0, tồn tại T ( ) sao cho với mọi t > T ( ) ta có
1
ln |xl (tk )| > α0 − .
tk

Do đó |xl (tk )| > e(α0 − )tk hay |xl (tk )|e(−α0 + )tk → ∞ khi tk → ∞. Ta có
p

p

xi (tk )

e

(−α0 + )tk

(−α0 + )tk

≥ |xl (tk )|e

i=1

Suy ra
p

p

ln

xi (t)
i=1

α0 ≤ lim

xi (t)
i=1

≤ lim

t

t→∞

ln
t

t→∞

p

= α0


Một cách tổng quát, nếu αj = αj
i=1
p

thì αl ≤ αl

xi . Kết hợp với (1.4) ta có điều phải chứng minh.
i=1

Tính chất 1.1.4. Nếu |x(t)| ≤ |y(t)| với mọi t thì α(m) (x(t))

α(m) (y(t)).

Chứng minh. Ta có

ln |x(t)|
ln |y(t)|
≤ lim
= α0 (y(t)).
t→∞
t→∞
t
t

α0 (x(t)) = lim

Nếu α0 (x(t)) < α0 (y(t)) thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu α0 (x(t)) = α0 (y(t)) thì

ln{|x(t)|e−α0 (x)t }


ln

k

α0

fi (t)
i=1

fi (t) = lim
i=1

≤

t

t→∞

k

i=1

ln |fi |
=
lim
t→∞
t

k

k

α1

fi (t) e−α0 t

ln

k

fi (t)

i=1

= lim

≤

ln t

t→∞

i=1

k

ln{|fi |e−α0 t }
t→∞
ln t
lim


αj (fi (t)),

i=1

αl (fi (t)) và ta có điều phải chứng minh.
i=1

Hệ quả 1. [2] Nếu f (t) = 0 với t > T thì α(m) (f (t)) + α(m)

1
f (t)

trong đó θ là phần tử không của Rm .
Hệ quả 2. [2] Nếu α(m) (ck (t))

θ, thì

m

α

(m)

ck (t)fk (t)
k=1

max α(m) (fk (t)).
k


t→∞
t

α0 = lim

ln

1
− ln |f (t)|
ln |f (t)|
f (t)
= − lim
= lim
.
t→∞
t
t
t
t→∞

ln |f (t)|
= α0 . Tương tự ta có
t→∞
t

Suy ra tồn tại lim

1 −α0 t
e
ln{ f (t) e−α0 t }

t (ln t)−α2 · · · (lnj t)−αj+1 }
= lim
,
lnj+1 t
t→∞

với j = 0, 1, . . . , m − 1. Vậy ta có điều phải chứng minh. Điều kiện đủ ta
suy ra từ định nghĩa của vectơ đặc trưng đúng.
Hệ quả 3. [2] Nếu α(m) (f ) là vectơ đặc trưng đúng thì

α(m) (f g) = α(m) (f ) + α(m) (g)
với mọi g(t) ∈ C[t0 , ∞).
Dưới đây sẽ là trình bày chi tiết về vectơ đặc trưng của ma trận hàm.

18


1.1.3. Vectơ đặc trưng của ma trận hàm
Định nghĩa 1.1.8. [2] Giả sử A(t) = [ajk (t)] là ma trận cấp n × q xác
định trên [t0 , ∞). Đặt

α(m) (A(t)) = max α(m) (ajk (t)).
j,k

t t2 . Tính số mũ đặc trưng cho từng số hạng của
Ví dụ 3. Cho A = −1
t
ma trận A ta được
α(m) (t) = (0, 1, 0, . . . , 0), α(m) (−1) = θ, α(m) (t2 ) = (0, 2, 0, . . . , 0).
Vậy α(m) (A(t)) = (0, 2, 0, . . . , 0).


α(m)

max α(m) (ajk (t)) = α(m) (A(t)).

|ajk |(t)

j,k

j,k

Vậy ta có điều phải chứng minh.

19


Tính chất 1.1.6.
p

α(m)

max α(m) (Ai (t)).

Ai (t)

(1.6)

i

i=1


i

(||Ai (t)||) = max α

||Ai (t)||
i=1
(m)

i

(Ai (t)).

Chú ý 1.1.2. Nếu chỉ có một ma trận Ai (t) = [aijk (t)] với i ∈ {1, . . . , p}
có vectơ đặc trưng lớn nhất thì (1.6) xảy ra dấu bằng. Thật vậy, giả sử

α(m) A1 (t)

α(m) (Ai (t)) với mọi i = 1. Vì |aijk (t)| ≤ ||Ai (t)|| nên

α(m) (aijk (t)) = α(m) (|aijk (t)|)

α(m) (||Ai (t)||) = α(m) (Ai (t))

α(m) (A1 (t)) = max α(m) (a1jk (t))
j,k

với mọi i = 1. Suy ra chỉ có a1jk (t) có vectơ đặc trưng đạt max. Do đó

α(m)


aijk (t)
i=1

j,k

Vậy α(m) (A(t))

α

(m)

=α

(m)

(A1 (t)).

α(m) (A1 (t)). Kết hợp với (1.6) ta có điều phải chứng

minh.
Tính chất 1.1.7. α(m)

n

n

Ai (t)
i=1


j,k

n

aijk (t)

α(m) (aijk (t))

i=1

n

=

aijk (t) . Ta có

i=1
n

α

(m)

(|aijk (t)|)

i=1

n

α



Thật vậy, với mỗi x ∈ Rn , viết x = x − P (x) + P (x). Ta có

P (x − P (x)) = P (x) − P 2 (x) = P (x) − P (x) = 0.
Suy ra (x − P (x)) ∈ kerP . Do đó x ∈ imP + kerP . Suy ra
Rn = imP + kerP.
Hơn nữa, với mỗi x ∈ imP ∩ kerP , tồn tại y ∈ Rn sao cho x = P (y) và

x = P (y) = P 2 (y) = P (x) = 0 (do x ∈ kerP ). Suy ra imP ∩ kerP = {0}.
Suy ra imP ⊕ kerP = Rn .
Ngược lại, với mỗi phân tích Rn thành tổng trực tiếp của hai không
gian con U, V , luôn tồn tại duy nhất phép chiếu P sao cho imP = U và
kerP = V . Thật vậy, vì U ⊕ V = Rn nên với mỗi {u1 , u2 , . . . , uk } độc lập
tuyến tính trong U ta luôn có thể bổ sung {uk+1 , . . . , un } độc lập tuyến
tính trong V sao cho {u1 , u2 , . . . , uk , uk+1 , . . . , un } là một cơ sở của Rn . Xét
ánh xạ tuyến tính P : Rn → Rn sao cho P (ui ) = ui với mọi i = 1, 2, . . . , k
và P (uj ) = 0 với mọi j = k + 1, . . . , n. Ánh xạ P tồn tại duy nhất. Hơn
nữa, P 2 = P . Do đó P là một phép chiếu. Rõ ràng imP = U và kerP = V .
Khi đó phép chiếu P được gọi là phép chiếu lên U dọc V .
Đặt Q := I − P . Khi đó Q là phép chiếu lên V dọc U . Thật vậy, ta có

Q2 = (I − P )2 = I − 2P + P 2 = I − P = Q. Hơn nữa, Q(ui ) = 0 với mọi
i = 1, 2, . . . , k và Q(ui ) = ui với mọi i = k + 1, . . . , n. Do đó imQ = V và
kerQ = U .
Với mỗi ma trận A ∈ L(Rn ), ta có imA + kerA là không gian con của
Rn . Ngoài ra, nếu imA ∩ kerA = {0} thì
imA + kerA = imA ⊕ kerA = Rn .

22

23


Định nghĩa 1.2.13. [3] Nếu cặp ma trận (A, B) chính qui và
det(cA + B) = 0
thì ind((cA + B)−1 A) được gọi là chỉ số của cặp ma trận (A, B), ký hiệu
là ind(A, B) := ind((cA + B)−1 A).
Chú ý 1.2.3. [7] Chỉ số của cặp ma trận (A, B) không phụ thuộc vào c.
1.2.2. Phương trình vi phân đại số tuyến tính
Xét phương trình vi phân đại số

A(t)x (t) + B(t)x(t) = f (t),

(1.7)

với t ∈ [0, +∞), trong đó A(.), B(.) ∈ C(R+ , L(Rn )), f (.) ∈ C(R+ , Rn ),
rankA(t) = r < n, cặp ma trận (A(t), B(t)) chính qui với mọi t ∈ R+ .
Giả sử không gian N (t) := kerA(t) là trơn, nghĩa là tồn tại Q(.) thuộc

C 1 (R+ , L(Rn )) sao cho Q(t) là phép chiếu lên N (t).
Đặt P := I − Q. Khi đó P cũng là một phép chiếu.
Ký hiệu

CN1 := {x ∈ C(R+ , Rn ) : P x ∈ C 1 (R+ , Rn )},
S(t) := {z ∈ Rn : B(t)z ∈ imA(t)},
trong đó imA(t) = {y ∈ Rn , ∃x ∈ Rn : y = A(t)x}.
1
Không gian CN
không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P thuộc


A(t)(P x) (t) + (B − AP )(t)x(t) = f (t).

(1.8)

Phương trình (1.8) chứng tỏ rằng nghiệm x(t) của (1.7) không nhất thiết
1
khả vi mà chỉ cần thuộc CN
là đủ.

Khác với phương trình vi phân thường, không gian nghiệm của phương
trình vi phân đại số (1.7) có thể là vô hạn chiều. Vì vậy ta quan tâm tới
vấn đề khi nào bài toán (1.8) có không gian nghiệm hữu hạn chiều hoặc
bài toán giá trị đầu (1.8) với điều kiện đầu x(0) − x0 ∈ N (0) có nghiệm
duy nhất.

25