Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng
có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với các
xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá
trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp
tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít
nhất 1 khoảng trên trục số.
1


§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1:

    xi   pi , i  1, 2,3,...k

X

x1

x2

x3

...

xk

đến khi dừng lại.
b)Tính xác suất để X > n-1.
c)Tính xác suất để X= m nếu X> n-1, m > n .
X
1
2
3
...
k
...
a)
P
p q p q 2 p ... q k  1 p ...
2


P ( X  n  1)  P( X  n)  q n 1

b)
c)

P ( X  m) q m 1. p
P ( X  m / X  n) 
 n 1  q m  n . p
P ( X  n)
q

Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác
suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng
hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng. Hãy lập bảng phân phối xác

P ( X  m) q m 1. p
P ( X  m / X  n) 
 n 1  q m  n . p
P ( X  n)
q
3


2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên X là: FX ( x)  F  x     X  x 
Tính chất:
1.F(x) là hàm không giảm
các t/c đặc trưng
2. F     0, F     1
3. a  X  b   FX b   FX a 
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì
F X  x  liên tục trên toàn trục số
• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì  X  x0   0, x0
Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1
điểm không có ý nghĩa
4


• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên.Khi ấy

FX  x    pi
xi  x


khi a
• 1.Xác định a


1

 /2

 f (x)dx  



0

a
sin2x 
 x 

2
2 

a
a cos xdx 
2
2

 /2
0

 /2




3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

  / 4,  / 4 
   / 4  X   / 4  F  / 4  F   / 4
 /4

   / 4  X   / 4 



 /4

 /4

f  x dx 



(4 /  )cos2 xdx

0

8


Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào
rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi.
a)Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người

k

...

...

q1q2 ( p1  q1 p2 ) ... q1k 1q2k 1  p1  q1 p2  ...

1

2

k

...

...

 q1  p2  q2 p1     q1 1  q2 q1   q1q2 ... ... q1k 1q2k 1 ... ...

 


Z
2k  1
P q1k 1q2k 1 p1





Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X  ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:

    xi , Y  y j   pij , i  1, k ; j  1, h

11


Y

x1
x2

y1
p1 1
p 21

y2
p1 2
p 22

...
...
...

yh
p1h


 xi

p i j , i  1, k

j 1

q

j

  Y  y

k

 

j

p i j , j  1, h

i 1

3. Điều kiện độc lập của X và Y
X và Y độc lập   i , j : p ij  p i .q j
4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
 ( X
 (Y




p

ij

p

i

, i  1, k
, j  1, h
13


y
Y

y1

y2

x1

P11

x2

…

yh


q2

qh

1

X

x

…

14


5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

F  x, y     X  x, Y  y 
Định nghĩa 3.1:
Tính chất:
(1) F  x, y  là một hàm không giảm theo từng biến
(2) F(, )  0, F(, ) 1
(3) (a  X  b, c  Y  d )  F (a, c)  F (b, d )  F (a, d )  F (b, c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ
mặt phẳng và xác suất trên một đường cong bất kỳ đều
bằng 0.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như
trên, khi ấy ta có:
F (x, y) 

16


Ví dụ 3.1: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau:

Y

3

5

0

0,1

0,2

2

0,3

0,4

X

17


y
Y


x



X

18


X
P

0
0,3

2
0,7

0, 2
0, 6

2
0, 4
0, 6

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1  0,3.0, 4  X , Y là phụ thuộc
X

x, y 

Định lý 3.2:

 2F x, y 

xy

x

y

F  x, y    
f  u, v  dudv





Dxy
20


HÌNH 3.1
21


Tính chất:
(1 ) f  x , y


x, y dx
22


.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề (riêng) :

F

X

FY

x  
y 

F
F

x ,   
  , y 

4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập  f  x, y   f

 x  . fY  y 
 F  x, y   FX  x  .FY  y 
X

5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:





 a .e  x  y , n e áu 0    x    y < + 
f  x, y   
 0
, n e áu tr a ùi la ïi .

1.Xác định tham số a.

1

 f  x , y  d x d y
R

 a

2


0

e

2 x

 a


0


fY  y  







f  x, y  dx
25