TR
NG H PH M V N
NG
KHOA K THU T CÔNG NGH
*******

ThS. NGUY N QU C B O

BÀI GI NG

C

LÝ THUY T 2
PH N

NG L C H C

Qu ng Ngưi ậ 12/2015
1


M CL C
PH Nă
L IăNịI
M
Ch

NGăL CăH C

Uă.....…………………………………………...……….........……….. 3


ng …………………….....…..….……………. 18

2.2.

nh lý chuy n đ ng kh i tâm …………...………….........………………. 25

2.3.

nh lý bi n thiên momen đ ng l

2.4.

nh lý bi n thiên đ ng n ng …………......……….....……....…………… 35

ng …….…..…….......….……………. 29

ngă3.ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăNGUYểNăLụăD’ALEMBERT
3.1. L c quán tính ……...……………………….……….........……………….. 49
3.2. Nguyên lý d’Alembert …………..…………………….........………….….. 53
3.3. Bài toán áp d ng nguyên lý d’Alembert ….……......………...….....……... 55

Ch

ngă4.

NGUYÊN LÝ DIăCHUY NăKH ăD

4.1. Các khái ni m …….…..…………..................................................……….. 63
4.2. Nguyên lý di chuy n kh d ………..……………….....……...………….. 66
4.3. Bài toán áp d ng nguyên lý di chuy n kh d ………......…...………...….. 67

U

lý thuy t là m t môn h c thu c kh i ki n th c k thu t c

c gi ng d y trong các ngành k thu t

các tr

s

ng ơ i h c, cao ơ ng.

C lý thuy t nghiên c u các qui lu t t ng quát v chuy n ơ ng và s cân
b ng chuy n ơ ng c a các v t th .
C lý thuy t trong ch
V n

ng trình ơào t o c a Tr

i h c Ph m

ng dành cho sinh viên b c ơ i h c ngành C khí ơào t o theo h c

ch tín ch ơ

c chia làm 2 ph n:

Ph n I. T nh h c và
Ph n II.


c s

ơóng góp c a

c hoàn thi n h n. Chúng tôi xin chân

thành c m n.
Qu ng Ngãi, tháng 12/2015
Ng

i biên so n

Email:

3


PH N

NG L C H C

M
Trong các ph n tr

U

c chúng ta nghiên c u v l c (xác đ nh l c, thu

g n l c, h p l c) c ng nh v chuy n đ ng (các d ng chuy n đ ng, y u t
đ c tr ng chuy n đ ng).

CÁC
PH

ng 1.

NH LU T C A NEWTON VÀ

NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N

NG

A. M C TIÊU
-N mđ

c các đ nh lu t Newton c a đ ng l c h c và các d ng c a ph

ng

trình vi phân chuy n đ ng.
- Gi i đ

c hai bài toán c b n c a đ ng l c h c.
B. N I DUNG

1.1. CÁCăKHÁIăNI M
1.1.1.ăCh tăđi m
Ch t đi m là đi m hình h c mang kh i l
V t chuy n đ ng t nh ti n đ
ti n, nh ng kích th



ng h gi a các v t th . Trong LH, l c là đ i l

bi n đ i theo v trí r , v n t c v và th i gian t.


 

F  F (r , v , t ) .

5

ng


Khi tác d ng lên c h , l c đ

 

c phân theo 2 cách:

 

- Ngo i l c Fke và n i l c Fki .

 

 

- L c ho t đ ng Fka và ph n l c liên k t N k .

- Th i gian:
Các đ i l

s.
ng d n xu t t các đ i l

ng c b n: nh l c (F = mw) thì đ n v là

kgms 2  N .

1.2.ăCÁCă
1.2.1.ă

NHăLU Tă

NGăL CăH CăC AăNEWTON

nhălu tăquánătínhă(

nhălu tă1)

Ch t đi m không ch u tác d ng c a l c nào s đ ng yên ho c chuy n đ ng th ng
đ u.
F 0



v  0 ho c v = const.

Tr ng thái đ ng yên ho c chuy n đ ng th ng đ u c a ch t đi m đ

Trong đó:
+ m: h s t l có giá tr không đ i, là s đo quán tính c a ch t đi m đ
là kh i l

cg i

ng c a ch t đi m.
+ w : gia t c c a ch t đi m.

Bi u th c (1.1) đ

ng trình c b n c a đ ng l c h c.

c g i là ph

* Chú ý:










1. N u F  0 thì w  0 (bao g m c tr




Do v y, v t có kh i l
1.2.3.

ng m= 1kg thì có tr ng l

ng đ và ng

ng ch t đi m.

ng là 9,81 N.

nhălu tăl cătácăd ngăvƠăl căph nătácăd ngă(

Hai l c tác d ng t
cùng c

ng và tr ng l

nhălu tă3)

ng h gi a 2 ch t đi m s có cùng đ

ng tác d ng (giá),

c chi u nhau.

nh lu t này là c s đ nghiên c u bài toán c h trong đ ng l c h c.
* Chú ý: L c tác d ng và l c ph n tác d ng không ph i là c p l c cân b ng vì chúng
đ t lên 2 ch t đi m khác nhau.
1.2.4.

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m ch u tác d ng c a h l c là

d ng c a bi u th c (1.3) và các ph
th

(1.3)

ng trình hình chi u c a nó lên các tr c to đ . Ta

ng dùng 3 d ng sau:

1.3.1.ăD ngăvector
Xét ch t đi m kh i l





ng m ch u tác d ng c a h l c F1 , F2 ,..., Fn . G i r là bán

kính vector (vector đ nh v ) c a ch t đi m. T (1.3), ta có: m.w   Fk .
Mà:

w

Ta đ

c:

d2r


đ Descartes.
* Chú ý: Khi ch t đi m chuy n đ ng trong m t ph ng ho c trên đ
ph

ng trình gi m xu ng còn t

ng th ng thì s

ng ng 2 ho c 1.

1.3.3.ăD ngăto ăđ ăt ănhiên
Ch n h to đ t nhiên Mtnb (H. 1.1). Chi u bi u th c (1.4) lên 3 tr c: ti p
tuy n, pháp tuy n chính và trùng pháp tuy n, ta có:
8


m.wt   Ftk

m.wn   Fnk

m.wb   Fbk

Theo ph n đ ng h c, ta có: w t  v  s; w n 

v2






n
M
t
b
Hình 1.1

* Chú ý: Ph

ng trình này th

ng đ

c áp d ng khi ta bi t qu đ o chuy n đ ng c a

ch t đi m.
1.4.ăHAIăBĨIăTOÁNăC ăB NăC Aă

NGăL CăH C

Ta có s đ bi u di n m i quan h c a 2 bài toán c b n nh sau:

BƠi toán thu n
CHUY N
NG

m.w = ∑Fek
Bài toán ng
9


3. Ch n h tr c to đ thích h p và vi t ph

ng trình vi phân chuy n đ ng.

4. Tìm gia t c: b ng cách tính đ o hàm ho c hình chi u c a vect gia t c lên tr c
to đ .
5. Tìm l c: b ng cách thay gia t c vào các ph
1.4.2.ăBƠiătoánăng

ng trình đã có.

c

a) Bài toán
Bi t: các l c tác d ng lên ch t đi m và các đi u ki n ban đ u c a chuy n đ ng.
 Xác đ nh: Chuy n đ ng c a ch t đi m (ph

ng trình chuy n đ ng, ho c v n t c,

ho c gia t c, ho c th i gian chuy n đ ng).
b) Ph

ng pháp gi i

Khi bi t các l c, ta l p các ph
là các ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m, đây

ng trình vi phân c p 2 và gi i ph


m.x   X k  t , x, x 


m. y   Yk  t , y, y 


m.z   Z k  t , z, z 



4. Gi i h ph

(b)

ng trình vi phân:

- Tích phân đ tìm nghi m t ng quát: ta đ

c hàm theo th i gian có ch a các

h ng s tích phân.



r  r t , C1 , C2






(f)

Thay gía tr c a (e) vào (c) và (f), ta có:




r0  r t0 , C1 , C2


v0  v t0 , C1 , C2

T (g) ta xác đ nh đ




(g)

c các h ng s tích phân:







C1  C1 t0 , r0 , v0


(i)

(j)


Xác đ nh s c c ng T c a dây cáp (H. 1.2).
Gi i: (Bài toán thu n)
Thang máy chuy n đ ng t nh ti n nên có th coi nh 1 ch t đi m chuy n đ ng
th ng đ ng d
Ph

i tác d ng c a tr ng l c P và s c c ng T .

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m theo tr c z:


m.w = - P + T


T = m.w + P =

P
w
.w  P  P(1  ) .
g
g

w

K t qu : T = P 1  .

Ch n h tr c to đ t nhiên M tnb nh hình v (H. 1.3)
Ta có ph

ng trình:

12


P
.w  P  T
g

Chi u ph

ng trình trên lên h tr c to đ t nhiên, ta đ
P
 g .w  0

P
 .wn  T .sin 
g
0  T cos   P



c:

P
 g .v  0


t

v

P
Hình 1.3
Ví d 1.3: M t qu c u kh i l

ng m r i th ng đ ng t đi m O, không v n t c

đ u, du i tác d ng c a tr ng l c và s c c n không khí Fc  km (k là h ng s ) (H. 1.4).
Tìm qui lu t chuy n đ ng c a qu c u.
Gi i:(Bài toán ng

c)

Xem qu c u nh

1 ch t đi m chuy n đ ng theo ph

ng th ng đ ng h

xu ng.
L p ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a qu c u theo tr c z là:
m.z  P  Fc  mg  km  mg  k 




(a)

dz
  g  k  t  C1  dz   g  k  t  C1  dt
dt

z

V y:

1
 g  k  t 2  C1 t  C2
2

(b)

Thay đi u ki n ban đ u: t = 0, z = 0, z = 0 vào (a) và (b), ta đ
K t qu : z 
* Chú ý: Trong tr

1
 g  k  t2 .
2

ng h p có l c c n là 1 hàm theo z: Fc   z , thì ph

phân chuy n đ ng c a qu c u là: m.z  m.g   .z
Ví d 1.4: M t viên đ n có kh i l
nghiêng 1 góc  so v i ph
Vi t ph

m.x  0

m.y   P   mg

x  0

 y   g



(a)

y

M
vo

r

P

O

x
Hình 1.5

i u ki n ban đ u:
 x(0)  0

 y 0  0


gt 2
 vo .t.sin   C4
y  
2


Theo đi u ki n (b), ta đ

 x  vo .t. cos 


gt 2
y


 vo .t.sin 

2



Kh t ta đ

c: C3  C4  0 .

c:

15



c)

Kh o sát v t n ng

th i đi m b t k .

L c tác d ng:
+ Tr ng l

ng: P = m.g.

+ Ph n l c: N.
+ L c đàn h i c a lò xo t l v i đ dãn dài x:

F = C.x.

N
F

P

x

x



Hình 1.6
Ch n tr c x nh hình v , tâm O t i v trí cân b ng t nh c a lò xo (ch a dãn).

(a)

x   C1.sin .t  C2 ..cos .t

(b)

16


C1 ,C 2 đ

xác đ nh đ

c xác đ nh t đi u ki n ban đ u: t = 0, x 0   , x0  0 . T (a) và (b) ta

c: C1   , C2  0

K t qu : x   cos .t .

C. CÂU H I ÔN T P
1. Phát bi u các đ nh lu t c b n c a LH ?
2. Vi t ph

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m d

d ng to đ t nhiên.
3. Cách gi i hai bài toán c b n cu

LH ch t đi m.



c đi m nh : Không ph i m i ph

ng trình vi phân đ u tích phân đ

v i c h có nhi u ch t đi m thì kh i l
Do v y, đ có th l p ph

ng trình vi phân đó có nhi u

ng tính toán khá l n.

ng trình chuy n đ ng mà không nh t thi t ph i bi t

chuy n đ ng c a t ng ch t đi m c th ta dùng các đ nh lý t ng quát c a
đ nh lý t ng quát c a LH là h qu c a ph

LH. Các

ng trình c b n LH, cho bi t m i quan

h gi a các đ c tr ng đ ng l c c b n (đ ng l
và các đ i l

c, h n n a

ng, momen đ ng l

ng c b n do tác d ng c a l c (xung l


n

M   mk
k 1

Trong đó:
- M là kh i l
- m k là kh i l

ng c a toàn c h .
ng c a ch t đi m th k.

2.1.1.2. Kh i tâm c a c h
18

(2.1)


Xét 1 c h g m n ch t đi m (k = 1, 2,…, n), ch t đi m th k có kh i l
và v trí c a chúng đ

ng m k ,

c xác đ nh b i các vect đ nh v rk (H. 2.1).

i m hình h c C đ

c g i là kh i tâm c a c h n u v trí c a nó đ

c xác đ nh


rC
O

rk
y

x

Hình 2.1

* Chú ý:
1. Chi u bi u th c (2.2) lên các tr c to đ Descartes, ta có:

 mk .xk
x C 
M


 mk . yk
yC 
M


 mk .zk
z C 
M


2.

- P   Pk là tr ng l
- Pk  mk .g là tr ng l
2.1.2.ă
a)

ng c a v t r n
ng c a ch t đi m th k.

ngăl

ng

ng l

ng ch t đi m ( q )

ng l

ng ch t đi m là 1 đ i l

ng vector và b ng tích s gi a kh i l

ng ch t

đi m và v n t c c a nó.
q  m.v

ng l

b)


V y:

(2.8)

Q = M.vC

ng l

ng c a c h b ng tích kh i l

ng c a c h v i v n t c kh i tâm

c a nó.
2. N u h chuy n đ ng nh ng kh i tâm c a h đ ng yên ( vC  0) thì Q  0 .
3. Hình chi u c a Q lên các tr c to đ , ta có:
Qx  M .xC   mk .xk

Qy  M . yC   mk . y k

Qz  M .zC   mk .zk

4. N u h chuy n đ ng ph c h p thì đ ng l

ng Q ch đ c tr ng cho ph n

chuy n đ ng t nh ti n c a h cùng v i kh i tâm ch không đ c tr ng cho chuy n đ ng
quay quanh kh i tâm.
2.1.3.ăXungăl
Xung l

t 0  t1 đ

c xác đ nh

theo bi u th c:
t1

t1

S   d S   F .dt
t0

n v c a xung l

(2.10)

t0

ng trong h SI là N.s (Niut n.giây).

* Chú ý:
1. N u chi u bi u th c (2.10) lên h tr c to đ Descartes, ta có:
t1


S
 x  X.dt

to



CM: Theo đ nh lu t Newton 4: mk .wk  Fke  Fki
iv ic h :


m

k

e
i
dv k
 Fk  Fk
dt

e
d
( mk v k )   F k (Vì: Fki  0 )
dt

21

(2.12)
 mk .

d vk
 Fke  Fki
dt




t1

t1

e
e
  Fk .dt    Fk .dt

to



S

e
k

to

* Chú ý:
1. N i l c không nh h

ng đ n s bi n đ i c a đ ng l

ng c h .

2. Chi u bi u th c (2.12) lên h tr c to đ vuông góc, ta có:
 dQ x
e

- N u t ng các ngo i l c tác d ng b ng 0, thì đ ng l

F

e
k

0



ng c h đ

c b o toàn.

Q  const

- N u t ng hình chi u các ngo i l c trên 1 tr c nào đó b ng 0, thì hình chi u đ ng
l

ng c h trên tr c đó đ
Tr

c b o toàn.

ng h p tr c x thì:

X

e

k

 0  Qx  const : đ ng l

ng c h theo ph

ng x đ

c b o toàn.

2.1.6. BƠiătoánăápăd ng
a) Ph m vi áp d ng
Trong công th c c a các đ nh lý bi n thiên đ ng l
do dó nó th

ng đ

ng có 3 đ i l

ng: v, w và t,

c áp d ng trong các bài toán va ch m và chuy n đ ng c a ch t

l ng.
b) Trình t gi i:
1. Xác đ nh c h kh o sát.
2.

t các ngo i l c tác d ng lên h : g m l c ho t đ ng và ph n l c lên k t.



ng P, Q và ph n l c liên k t c a b lên

ng th ng đ ng.

N
vo

v
x
P

Q

Hình 2.2

Ch n tr c x nh hình v . Áp d ng đ nh lu t b o toàn đ ng l
ta có:
23

ng theo ph

ng x,


F

0



g
g
P
550
v   v0  
.900   4,3 (m / s)
Q
115000

Tr l i: v0 = - 4,3(m/s) (Giá tr âm vì nòng súng b gi t lùi).
* Nh n xét: Ví d 2.1 cho ta gi i thích chuy n đ ng do ph n l c
tên l a, … khi lu ng n
l a, … ti n lên phía tr

c ho c lu ng khí ph t ra phía sau thì tàu th y, máy bay, tên
c.

Ví d 2.2: M t dòng n
vuông góc v i t

tàu th y, máy bay,

c ch y t

ng có ti t di n F d i vào t

ng v i v n t c v

ng th ng đ ng.


Hình 2.3
Kh o sát kh i n

c gi i h n b i các m t c t 1, 2, 3. Sau th i gian dt nó di chuy n

đ n v trí 1’, 2’, 3’.
Áp d ng đ nh lý b o toàn đ ng l

ng c a kh i n

th i gian dt:
24

c theo ph

ng x trong kho ng


Qx  Qox   Skxe

V i: Q  Qx  Qox   m.v

S
Mà:

e
kx

  R.dt


ng c a c h .

- wC là gia t c c a kh i tâm.
-

F

e
k

là t ng ngo i l c tác d ng.

CM: T đ nh lý bi n thiên đ ng l



d
M .vC
dt



M .wC 

ng:

dQ
  Fke , v i: Q = M.vC , ta có:
dt


e
M.yC   Yk

e
M.z C   Z k

25

(2.17)