ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN ĐĂNG KHẢI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY
HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Hà Nội – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN ĐĂNG KHẢI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY
HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TSKH.Vũ Đình Hòa

Hà Nội – 2016




PTLG

Phƣơng trình lƣợng giác

PT

Phƣơng trình

THPT

Trung học phổ thông

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

CT

Công thức

LG

Lƣợng giác

tm

1.1.2. Kỹ năng giải toán .................................................................................... 6
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán .................................................................. 7
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán ......................................................... 8
1.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề
“phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” ..................................................................... 9
1.2.1. Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy học
chủ đề “phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” ........................................................ 9
1.2.2. Một số biện pháp cần thiết để rèn luyện kỹ năng cho học sinh trong dạy
học chủ đề “phƣơng trình lƣợng giác lớp 11”................................................. 10
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 13

iii


Chƣơng 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRONG
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11 ................ 14
2.1. Nội dung chủ đề “phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” ................................ 14
2.1.1. Phân phối chƣơng trình chủ đề “phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” ...... 14
2.1.2. Mục tiêu của chủ đề“phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” ........................ 14
2.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán trong dạy học chủ đề phƣơng trình lƣợng giác
lớp 11 ............................................................................................................... 15
2.2.1. Rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức LG về dạng đơn giản hơn ........ 15
2.2.2. Kỹ năng giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản ................................ 18
2.2.4. Một số kỹ năng giải phƣơng trình lƣợng giác lớp 11 ........................... 29
2.2.5. Kỹ năng giải phƣơng trình dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ........ 55
2.2.6. Kỹ năng giải PT dạng bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác ............. 66
2.2.7. Kỹ năng giải PTLG bằng cách đƣa PT về dạng bậc 2 đối với một hàm
số lƣợng giác ................................................................................................... 71
2.2.8. Kỹ năng giải các phƣơng trình dạng đối xứng với sinx và cosx ........... 73
2.2.9. Kỹ năng giải một số phƣơng trình lƣợng giác dạng khác ..................... 74

tạo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở
trƣờng phổ thông.Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác dụng phát
huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tƣ duy, gây hứng thú học tập cho học
sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống
mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ,
sáng tạo trong tƣ duy và biết lựa chọn phƣơng pháp tự học tối ƣu.
Các kiến thức về lƣợng giác có ý nghĩa rất quan trọng trong chƣơng trình
Toán phổ thông, là nội dung có ở cả ba khối lớp 10, 11,12 nhƣ: Biến đổi lƣợng
giác, hệ thức lƣợng trong tam giác và giải tam giác (Hình học 10), Phƣơng
trình lƣợng giác, nguyên hàm, tích phân, ....và nội dung này còn xuất hiện
nhiều trong môn vật lý. Đặc biệt trong các đề thi THPT Quốc gia luôn có nội
dung này. Phƣơng trình lƣợng giác luôn chiếm một vị trí quan trọng trong nội
dung đó. Chính vì thế, nếu học sinh có kỹ năng giải các phƣơng trình lƣợng
giác sẽ giải quyết tốt nhiều nhiệm vụ học tập.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp của mình là:
“Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề phương trình
lượng giác lớp 11”.
1


2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nƣớc ta, có nhiều tác giả nghiên cứu về lƣợng giác nhƣ: Nguyễn Văn
Mậu, Vũ Đình Hòa, Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lƣơng, …Tuy nhiên, những
nghiên cứu đó mới mang tính định hƣớng trong nghiên cứu về phƣơng pháp
dạy và học Toán.
Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đƣa ra, căn cứ vào thực trạng
dạy học chủ đề “phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” ở một số trƣờng trung học
phổ thông trong giai đoạn hiện nay thì với luận văn này, xin đƣợc trình bày
một ý tƣởng rất hẹp và cụ thể là: Vận dụng lý luận về phƣơng pháp giảng dạy
vào rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề “Phƣơng

với 9 năm kinh nghiệm giảng dạy tại trƣờng THPT Nam Phù Cừ, tỉnh Hƣng
Yên.
Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kỹ năng giải toán cần rèn luyện cho
học sinh khi dạy học chủ đề “phƣơng trình lƣợng giác lớp 11”.

6. Mẫu khảo sát
Giáo viên tổ Toán - Tin và học sinh trƣờng THPT Nam Phù Cừ- Hƣng Yên.

7. Vấn đề nghiên cứu
Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây đƣợc đƣa ra xem xét:
- Hiểu thế nào là kỹ năng giải toán?
- Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán là gì?
- Dùng những phƣơng pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
khi dạy học chủ đề“ phƣơng trình lƣợng giác lớp 11”.
- Trong dạy học chủ đề“ phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” cần rèn luyện những
kỹ năng giải toán nào?
- Phát hiện một số sai lầm trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải PTLG.

8. Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện đƣợc các kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ
đề“ phƣơng trình lƣợng giác lớp 11” thì sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã
học, phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng
cao hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học môn Toán.

3


9. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về lý
luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan

Chƣơng 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề
phƣơng trình lƣợng giác lớp 11.
Chƣơng 3:Thực nghiệm sƣ phạm.

5


Chƣơng 1CƠ SỞ LÝ LUẬNVÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận đƣợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [34, tr426].
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [8, tr149].
Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sƣ phạm thì: “Kỹ năng là
khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phƣơng pháp, …) để giải
quyết một nhiệm vụ mới” [11, tr131].
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhƣng đều nói rằng
kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phƣơng pháp,
…) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán
cần giải về dạng tƣơng đƣơng đơn giản.
Trong các môn học ở trƣờng phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai
trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho
học sinh.Khi học môn Toán, kỹ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt cần
thiết, bởi vì nếu không có kỹ năng học sinh sẽ không phát huy đƣợc tƣ duy và
cũng không đáp ứng đƣợc nhu cầu giải quyết vấn đề.

- Xác lập đƣợc mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tƣơng ứng.
Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh

7


hƣởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:
- Nhìn bài toán dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải
với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán.
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kỹ
năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dƣỡng tƣ duy toán học cho học
sinh.
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
1.1.4.1. Kỹ năng nhận thức
Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: Khả
năng nắm một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc
trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc.
1.1.4.2. Kỹ năng thực hành
Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào
hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán
học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn.
1.1.4.3. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi ngƣời học phải có kế
hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân
nhằm phấn đấu đạt đƣợc mục đích.
1.1.4.4. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Ở trƣờng phổ thông chúng ta thƣờng mới quan tâm tới kết quả kiểm tra từ

đƣợc những bài giải phƣơng trình lƣợng giác hay thƣờng có cách giải rất tinh
tế, việc phân tích đúng hƣớng giúp lời giải ngắn gọn và sinh động hơn.
+ Kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm, không thừa nghiệm,
tránh các sai lầm phổ biến thƣờng gặp. Các bài toán có điều kiện cần hƣớng
dẫn các em cách loại các giá trị không thỏa mãn.

9


+ Phân tích các sai lầm của học sinh để thu hoạch về tri thức toán học và tri
thức phƣơng pháp toán học.
Cuối cùng, xét mối liên hệ với các bài toán liên quan,mở rộng bài toán bằng
tƣơng tự,khái quát hóa.
Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau,thƣờng xuất
hiện đan kếthoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phƣơng
trình thành các hoạt động trên giúp giáo viên nắm đƣợc cách thức tiến hành
toàn bộ dạy học phƣơng trình.
Đối với học sinh
+ Công thức lƣợng giác khá nhiều nên học sinh hay quên và dễ bị nhầm lẫn.
+ Nội dung công thức lƣợng giác ở cuối chƣơng trình lớp 10 nhƣng giải
phƣơng trình lƣợng giác lại nằm ở đầu chƣơng trình lớp 11. Do quá trình học
bị ngắt quãng nên học sinh dễ bị quên kiến thức và phải ôn lại nhiều.
+ Mặc dù nắm vững các công thức lƣợng giác nhƣng việc áp dụng công thức
nào là phù hợp với bài toán thì học sinh phải làm rất nhiều bài tập để vận dụng
linh hoạt các công thức đãhọc.
1.2.2. Một số biện pháp cần thiết để rèn luyện kỹ năng cho học sinh khi dạy
học chủ đề “phương trình lượng giác lớp 11”
Để rèn luyện đƣợc kỹ năng giải toán cho học sinh cần có các biện pháp đồng
bộ bao gồm các hoạt độngsau:
Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của

Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh giải toán theo qui trình bốn bƣớc của
Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải toán theo quy trình này.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Phát biểu đề bài dƣới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.
-Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, cái chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu,hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

11


Bước 2: Tìm cách giải
-Tìm tòi,phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tiên đoán. Biến
đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho, cái phải
tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tƣơng
tự, một trƣờng hợp riêng, một trƣờng hợp tổng quát,…
-Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bƣớc thực hiện.
-Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm đƣợc cách hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lờigiải
Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng
trình gồmcác bƣớctheo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớcđó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lờigiải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
-Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
Quy trình hình thành kỹ năng giải phương trình lượng giác cho họcsinh
Theo tôi quy trình hình thành kỹ năng giải phƣơng trình lƣợng giác cho học
sinh gồm ba bƣớcsau:
Bước 1: Hƣớng dẫn học sinh giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có phân tích
phƣơng pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lƣu ý cho học sinh những điểm cầnthiết.
Bước 2: Học sinh tự rèn luyện kỹ năng giải toán theo hệ thống bài toán có chủ
định của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó khăn, thiếu sót


3

4

5

Tiết

Mục

1

Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản (Mục 1)

2

Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản (Mục 2)

3

Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản (Mục 3)

4

Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản (Mục 4)

5

Bài tập


Ôn tập chƣơng 1

14

Kiểm tra 45 phút

2.1.2. Mục tiêu của chủ đề“phương trình lượng giác lớp 11”
* Kiến thức
-Biết đƣợc các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản và công thức nghiệm.

14


-Biết đƣợc dạng và cách giải một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp: Bậc
nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác, bậc nhất đối với sin x và
cos x , thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x .

*Kỹ năng
- Giải đƣợc phƣơng trình lƣợng giác cơ bản và một số phƣơng trình lƣợng giác
thƣờnggặp.
- Nhận dạng và biến đổi đƣợc môt số phƣơng trình lƣợng giác về phƣơng
trình lƣợng giác thƣờng gặp.
- Vận dụng thành thạo,linh hoạt các phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng
giác.
* Thái độ
- Rèn khả năng tƣ duy logic, tƣ duy thuật toán, tính nhạy bén, sáng tạo.
- Giáo dục cho học sinh tính tự giác,tích cực,độc lập và chủ động phát
hiệncũng nhƣ lĩnh hội kiến thức.


1
)(1  tan x 
)  2 tan x.
cos x
cos x

Phân tích: Những ví dụ này đòi hỏi HS phải vận dụng các CTLG để biến đổi
về dạng đơn giản hơn.
Lời giải.
sin x
1  cos x sin 2 x  (1  cos x)2 (sin 2 x  cos 2 x)  2cos x
a. VT 



1  cos x
sin x
(1  cos x).sin x
(1  cos x).sin x
2(1  cos x)
2


 VP.
(1  cos x).sin x sin x
1
1
b. VT  (1  tan x 
)(1  tan x 
)

16