Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
Phần hai
Ch ơng III : Dãy số - cấp số cộng - cấp số
nhân
Đ1: phơng pháp quy nạp toán học
Tiết theo PPCT :
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nẵm vững bản chất của phép chứng minh quy nạp toán học, các bớc cần tiến
hành khi chứng minh bằng phơng pháp quy nạp.
HS biết vận dụng phơng pháp chứng minh quy nạp toán học khi làm toán.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số .
B - Chuẩn bị kiến thức.
GV hớng dẫn HS đọc SGK.
C - Giảng bài mới:
1. Phép chứng minh quy nạp:
GV yêu cầu HS từ phần mở đầu, chuẩn hoá thành
các bớc cần tiến hành trong phép chứng minh quy
nạp.
GV chính xác hoá.
Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề phụ
thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n

0.
+Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 0.
+Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên
bất kỳ n = k

0 (giả thiết quy nạp).

)
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n

p (p

N
*
).
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
+Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = p.
+Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên
bất kỳ n = k

p (giả thiết quy nạp).
Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng
với n = k + 1.
2. Các ví dụ:
GV nêu các ví dụ.
VD1. Chứng minh rằng n N*, ta có:
(1)
GV có thể gợi ý bằng cách đặt các câu hỏi.
+ Bớc 1 phải kiểm tra với n = ?
+ Nội dung bớc 2 là gì ?
+ Đâu là giả thiết quy nạp ?
+ Sử dụng giả thiết quy nạp nh thế nào ?
GV chính xác hoá phần chứng minh của HS.
GV lu ý HS ghi nhớ kết quả của VD1.
VD2: Chứng minh rằng n


+ +
+ + + + + + =
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp có:
1 2 3 ... ( 1)k k
+ + + + + + =

( 1) ( 1)( 2)
( 1)
2 2
k k k k
k
+ + +
= + + =
Vậy (1) đúng với mọi n

1.
HS suy nghĩ và trình bày lời giải.
D - Chữa bài tập:
* Xem lại lý thuyết và các ví dụ.
* Ghi nhớ phơng pháp chứng minh quy nạp.
* Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 88).
68
( 1)
1 2 3 ...
2
n n
n
+
+ + + + =
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn


( 1)( 2)
1.2 2.3 3.4 ... ( 1)
3
n n n
n n
+ +
+ + + + + =
Bài 6. Chứng minh rằng n N*, a là hằng
số và a > -1, ta có: (1 + a)
n
1 + na.
Bài 7. Chứng minh rằng n N*, ta có:

3 2
3 5 3 3
n
u n n n
= + + +
M
Bài 8. Chứng minh rằng n N, n 5 , ta có:
2
2
n
n
>
.
69
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
Đ2: dãy số

niệm nào đã học ?
* Hàm số đó đi từ tập hợp nào vào tập hợp nào ?
GV chính xác hoá thành định nghĩa.
1. Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác 0
đầu tiên M = {1, 2, ..., m}. Hàm số u : M

R
i
#
u(i) = u
i
cho ta tập hợp {u
1
, u
2
, ..., u
m
} gọi là một dãy số hữu hạn
và viết dới dạng: u
1
, u
2
, ..., u
m
.
Định nghĩa 2: Hàm số u : N*

R
n

2n
. Viết dạng khai triển và tìm số
hạng tổng quát.
b) Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 3. Viết dạng khai triển.
GV khẳng định: Dãy số trên đợc gọi là dãy hằng.
2. Các cách cho dãy số:
GV nêu các cách cho và kèm theo ví dụ.
a) Cho số hạng tổng quát của dãy u
n
bằng công thức.
Ví dụ: Cho dãy số (u
n
) với
2 1
2 1
n
n
u
n

=
+
. Viết dạng khai

1, 1
( 3)
n n n
u u
u u u n

= =


= +

Tìm các số hạng của dãy.
GV: Dãy số cho trong ví dụ 2 gọi là dãy số Fibônaxi.
3. Cách biểu diễn hình học dãy số:
GV hớng dẫn HS biểu diễn dãy số trên trục số thông
qua ví dụ cụ thể.
Ví dụ. Biểu diễn hình học của dãy số
1
n
nh sau:
4. Dãy số tăng, dãy số giảm:
GV yêu cầu HS: Nhận xét về dãy số vừa biểu diễn. Từ
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
a) Dạng khai triển:

1 1 1 1
, , , ..., , ...

1
1
2
1
4
1
5
1
3
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
đó nêu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm và cho ví
dụ?
HS suy nghĩ và trả lời.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV chính xác hoá.
Định nghĩa 1: Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy số tăng
nếu

n

N* ta có : u
n
< u
n +1
.
Vậy trong dãy số tăng thì: u
1
< u

)
1
)
3
1
)
n
n
n
n
a u
n
n
b u
c u
n
=

=

=
GV hớng dẫn HS nêu chú ý.
Chú ý:
1
0
) Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
2
0
) Dãy số u
n

> 0,


n

N*.
Xét dãy số dơng u
n
, ta có:
+ Dãy số u
n
tăng


1
1
n
n
u
u
+
>
,

n

N*.
+ Dãy số u
n
giảm

a) Dãy số giảm.
b) Dãy số tăng.
c) Dãy số này không là dãy số tăng,
không là dãy số giảm.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
ĐS: Dãy số tăng.
HS suy nghĩ và trả lời. (viết dạng
khai triển)
72
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
5. Dãy số bị chặn:
GV yêu cầu HS nêu miền giá trị của các dãy số sau:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

1 1 1 1
) , , , ..., , ...
2 4 6 2
) 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
a
n
b
GV nêu định nghĩa.
Định nghĩa:
+ Dãy số u
n
đợc gọi là bị chặn trên, nếu :


M sao cho

n

N*, m
[
u
n

[
M.
GV đặt câu hỏi: Các số m, M nới trong định nghĩa
trên có phải là duy nhất không ?
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của dãy số
1
n
u
n
=
.
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của dãy số
2
1
n
n
u
n

= .
1
) 0 , *

=
+
n
n
n
a u
n
b u
n

) ( 1) 2 ;
n
n
c u n= nếu n chẵn

1 1 1 1 1
) , , , ,
2 4 8 16 32
2 5 8 11 14
) , , , ,
5 7 9 11 13
a
b
) 2, 4, 6, 8, 10 c
73
1
)