Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

CHƯƠNG III
III
CHƯƠNG
NGUYÊNN HÀ
HÀM
M,, TÍCH
TÍCH PHÂ
PHÂNN VÀ
VÀ ỨỨNNGG DỤ
DỤNNGG
NGUYÊ

I. NGUYÊ
NGUYÊN
N HÀ
HÀM
M
I.
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
, F '( x ) = f ( x )
∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C
, C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất

∫αdx+1 = x + C

x
+ C,
α +1

x
∫ a dx =

•

(α ≠ −1)

∫ cos xdx = sin x + C

•

1
∫ xedx
x = ln xx + C
∫ dx = e + C

∫ sin xdx = − cos x + C

•

∫
•

1

1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

•

∫

1
cos2 (ax + b)

dx =

1
tan(ax + b) + C
a

.
∫

1 (ax + b)α +1
(
ax
+
b
)
dx
=
+C
∫


1

1
dx = − cot(ax + b) + C
a
sin (ax + b)
2

.

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu và có đạo hàm liên ∫ f (u)udu==u(Fx()u) + C
tục thì:
∫ f [ u( x )] .u '( x )dx = F [ u( x )] + C
nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫ udv = uv − ∫ vdu

b) Phương pháp tính

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
Trang 79


Nguyên hàm – Tích phân

x
k) §

f (x) =
xx +1− 2x ) x 
x2 x3.cos
n) §
o) § p) §
f ( xf)(=xsin
–e 1
x)e= (ee
f ( x ) = e  2 +
÷
÷
Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của
cos2 x 

hàm số f(x) thoả điều kiện
cho trước:
ff((xx))== 3x−3 5cos
FF((1)
π ) == 32
− 4 x +x;5;

e)

F ((1)
−2)= =−20

l) §

2

f)
g)

h)

422
§ f ( x ) = x + (31xx2 +− 1)
f (x) =
− x

h) §

d)
3
1
) =xx −x1 ;+
;
f (xx)=
x
x2

c) §

3x 4 − 2 x 3 + 5  π 
f ( xf)(=x )sin
= 2 x.cos x; F;' F (1)÷ = 0
2
3

2
2
của f(x) = x(2 –lnx), biết G(1) = 2
Bài 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
 F ( x ) =
F (tan
x ) 4= x(4+x3−x 5)
− e5x


b)
) = 5(4xx+−41)tan
e x3 x + 3
 f ( x )=f (4xtan
c) và tìm một  F ( x ) = ( x + 3).e x

x
nguyên hàm G(x) của f(x) biết G(2) = 5
 f ( x ) = ( x + 4).e
∫ f ( x )dx VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
bằng phương pháp đổi biến số
t = u(gx [)u⇒
dt
=
u
'(
x
)
dx

− ≤t≤
2
2

a2 − x 2

x = a cos t,

0≤t ≤π

hoặc
a2 + x 2

x = a tan t,

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):

a) §

b) §
c) §

x = a cot t,

−2xdx
1)dx
∫∫(55x−dx
5
(3 − 2 x )


∫∫
m) §
n) §

o) §
p) §

g) §
i) §
k) §

h) §
l) §

4

cos
cos x x

2
+1
exxxdx

∫∫∫x.ee
xx

dx
dx
e −3


g) §

h) §
i) §

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

u
dv

x

dx

P(x)
x

e dx

∫ P( x ).cos xdx

∫ P( x ).sin xdx

∫ P( x ).ln xdx

P(x)
cos xdx

P(x)

dx

sin
tan
xxdxxdx
x cos
∫ sin
∫∫ 5 2 dx

s) §

∫ P( x).e

x2 + 5

2

dx

2

∫ x∫ ∫ 1 − x2 .dx
14+−xx 2


Nguyên hàm – Tích phân

Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất

c) §


m) §
n) §
p) §
q) §
s) §

f) §

3.exdx
xx2dx
xln

i) §
k) §

e) §

2

r) §

22

x 2

xx.2
lg+xdx
xdx)dx
∫ x ∫ln(1

ax + bx + c
1
( x − a)2 ( x − b)2

=

A
B
C
D
+
+
+
x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2

Bài 1.

Tính

các

nguyên hàm sau:
a)
c)
d)

x 2 dx
+1
dx
∫ ( x∫ +x1)(2

3xxx+−+221)
x∫ ∫−−3dx
2 3
x1
( x+ x+ 1)

a)

b)

cosdx
2x

f)
h)

l)

dx
dxdx

∫∫ 22 ∫

dx
∫ 1 +∫ 2sin
∫ cos
sin
x xcos
x+ 1x
433