SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 (4 điểm). Cho phương trình

x 2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0

(1)

(x là ẩn số, m là tham số).
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm m để

Câu 2 (4 điểm). Cho biểu thức: P =

x1 − x 2 = 17

.

x2 - x
2x + x
2(x - 1)
+


EF
= 3
AB

.

2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
1

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN
(C ≠ A, C ≠ N).

Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí
của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.
Câu 5 (3 điểm).

1. Cho các số thực m, n, p thoả mãn: n 2 + np + p2 = 1 và nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p.

3m 2
2

. Tìm giá trị lớn nhất

2. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
a
b


Đáp án
2

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

Điểm


1. (2.0 điểm)
0.5

∆ = (4m + 1) 2 − 8(m − 4)
= 16m 2 + 8m + 1 − 8m + 32 = 16m 2 + 33

0.5
∆ = 16m 2 + 33 > 0 ∀m ∈ ¡

Vì
biệt với mọi m.

nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân

1.0

2. (2.0 điểm)

1

(4.0 điểm) Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với

−
x + x +1

P=

2
(4.0 điểm)

=
=

x (2 x + 1) 2( x − 1)( x + 1)
+
x
x −1

x ( x − 1)( x + x + 1)
− 2 x − 1 + 2( x + 1)
x + x +1

x − x +1

0.75

0.75

0.5

2. (2.0 điểm)
P=3

⇔

t = −1 ( L)
t2 − t − 2 = 0 ⇔ 
t = 2 (TM )

0.25

x = 4 (thỏa mãn ĐK).

Vậy x = 4 thì P = 3.
3

1.0

0.25

1. (2.0 điểm)

(4,0 điểm)
HPT

⇔

 xy + y + x + 1 = 8

3
3
( x + 1) + ( y + 1) = 72


3

( x + 1) = 64

3

( y + 1) = 8

0.25

Với (a;b) = (64;8) ⇒

⇔

( x + 1)3 = 8

3
( y + 1) = 64

x +1 = 4

 y +1 = 2

⇔

x = 1

y = 3

0.25


0.25
ta có:

uv = x 2 + 7 x + 10, u 2 − v 2 = 3

(u − v)(1 + uv) = u 2 − v 2

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.25
0.5


u = v
u = 1

⇒ (u − v)(1 + uv ) = (u − v)(u + v ) ⇔ (u − v)(1 − u )(1 − v) = 0 ⇔ v = 1
x+5 = x+2 ⇒

* Với u = v ta có

x + 5 = 1 ⇔ x = −4

* Với u = 1 ta có

PT vô nghiệm

* Với v = 1 ta có


(cùng phụ với góc

vuông NEF

∆

AB

·
NFE

⊥

EF

)

vuông NAB (g.g)

EF NE
·
=
= tg NAE
⇒ AB NA

5

⇒

0.5

tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF

0.5

0.5

tâm K
·
·
⇒ MKN
= 2MEN
= 2.300 = 600

0.5

·
·
⇒ MON
+ MKN
= 1800 ⇒

0.5

OMKN là tứ giác nội tiếp

3. (1.0 điểm)

Gọi I là giao điểm của AC và MD.
Ta có:


=

·
·
( MC sin MCI
)( MCcos MCI
)

=

=

⇒

SMCD lớn nhất

⇔

( MC sin 600 )( MCcos600 )

MC lớn nhất

⇔

=

MC 2 3
4

0.5

maxS =

2

2
3

0.5

(m + n + p) + (m - p ) + (n - m) = 2
2

;S=-

khi m = n = p =

2

2
≤2⇒ S ≤2⇔− 2 ≤S ≤ 2

2 ⇔
2
3

2

m=n=p=-

; minS =

c
 ( a ) + ( b ) + ( c )  


  ab + a + 1 ÷ +  bc + b + 1 ÷ +  ca + c + 1 ÷ 
 
 
 

2

2

2



a
b
c
≥
+
+

 ( ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1) 

2

a.bc
b


⇒

a
b
c
1
+
+
≥
2
2
2
(ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1)
a+b+c

0.25

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

0.25

Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với
thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với
thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn
sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết----------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


Bài 2. a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:

8

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


2

1 1 1
1 1 1
 + + ÷ = 2 + 2 + 2.
b c
a b c a

Chứng minh rằng

a 3 + b 3 + c3

b) Giải phương trình:
và

1+ 2

chia hết cho 3.

x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0

, biết rằng a, b là các số hữu tỉ



. Chứng minh :

.

_________ Hết ________
9

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I (2,0 điểm).
A=
Cho biểu thức:

x+2
x +1
1
+


2) Tìm m để hàm số bậc nhất

x2 + x − p = 0

với p là số nguyên tố.

m 2 − 2013m + 2012
y=
x − 2011
m 2 − 2 2m + 3

là hàm số nghịch

biến.
Câu IV (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao
BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I
là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết
2) Cho

·
BAC
= 600

, tính độ dài dây BC theo R.

µ = 900 )


là


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu

Phần

A=

A=
1
(1,0 đ)

A=

A=

Câu I
(2,0 điểm)

x+2

(

)(

+


)(

0.25

)

x −1 x + x +1

x

(

(

)(

)

x −1

)

x −1 x + x +1

0.25

=

x


Do

⇒

(

)

2

1 3

x − 1 > 0 và x + x + 1 =  x + ÷ + > 0
2 4

2

0.25

1
1
⇒ −A>0⇔ A

(TMĐK)

ĐKXĐ:

5x − 2 x ( 2 + y ) + y 2 + 1 = 0 ⇔

0.25
0.25
0.25

12

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


4x − 4 x + 1 + x − 2y x + y 2 = 0

(

) (

)

2

⇔ 2 x −1 +

(2
Vì



2

x −y ≥0
.

1

x
=
 2 x − 1 = 0 
4 (TM)
⇔

y = 1
 x − y = 0

2
Để (1) xẩy ra thì

p = x 2 + x = x ( x + 1)

Theo bài ra:
1
(1,0 đ)

mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp

x ( x + 1)



Câu III
(2,0 điểm)

(

m 2 − 2 2m + 3 = m − 2
2
(1,0 đ)

0.25

)

(1).
2

+ 1 > 0 ∀m

⇔ m 2 − 2013m + 2012 < 0 ⇔ ( m − 1) ( m − 2012 ) < 0
(1)

 m − 1 > 0
m > 1


m − 2012 < 0
 m < 2012

⇔


1b
(1,0 đ)

·
·
⇒ OAC
= OCA

OA = OC ⇒ ∆OAC
·
·
·
KOC
= OAC
+ OCA

cân tại O
0.25
(T/c góc ngoài của tam giác)

·
·
⇒ KOC
= 2.OAC

0.25
0.25

·

tại

O

⇒ OI ⊥ BC
Vì I là trung điểm của BC (gt)

(

∆OIC $I = 900
Trong

IC = OC.cos300 = R.

14

)
:

3
⇒ BC = R 3
2

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.25


0.25
0.25


∆ABC

a≥0 ⇒
với

x = 1 + a – 3y, thay

0.25

⇒ C = 10y 2 − 6ay − 6y + a 2 + 2a + 1
0.50

vào biểu thức C:
2

3
1
1
1


C = 10  y − ( a + 1)  + ( a 2 + 2a ) + ≥
10 10
 10
 10
Câu V
(1,0 điểm)

(1,0 đ)

=
(
)




10
⇔
10 ⇔ 
10 ⇔ 
 10
a = 0
a = 0
 x + 3y = 1  x = 1

10

* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
15

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2013


a)

Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình sau:

+

3x
x − 7x + 6
2

=6

 x + y + 4 xy = 16

 x + y = 10

Câu 3 (2,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu
a4 − b4

4a 2 + 3ab − 11b 2

chia hết cho 5 thì

chia hết cho 5.

ax 2 +bx+1= 0



với n

∈¥ *

.

A1 + A 2 + A 3 + ... + A n < 1

Chứng minh rằng:

.

------------- HẾT ------------

Họ và tên thí sinh: ……………………………… ….. Số báo danh …………….
Chữ kí giám thị 1 …………………..
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

Chữ kí giám thị 2 …………………..

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013

Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến
0,25 điểm
CÂU
Câu 1
2,0

)(

x 2 - 50 x + x 2 - 50

(

A 2 = 2 x 2 - x 2 + 50

)

)

ĐIỂM
0,25

)

0,25
0,25

A 2 = 100

0,25đ

A=

(

x - 50 - x + 50


B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013
B = 2013
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình

4

Với

x≠0

, phương trình đã cho tương đương với:

6
x −5+
x

3

+

6
x−7+
x

6
x

t = x −7+

2

Với

( thỏa mãn )

x−7+

6 −3
=
⇔ 2 x 2 − 11x + 12 = 0
x 2

ta có

0,25

3
x1 = ; x 2 = 4
2
Giải phương trình ta được

t2 =
Với

2
3

( thỏa mãn )



;

23 + 313
23 − 313
; x4 =
6
6

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


 x + y + 4 xy = 16

 x + y = 10

x; y ≥ 0
(I) (

x+ y
Đặt S=

)

S ≥ 0;P ≥ 0

xy
;P=

(


x = 9 x = 1
;

y = 1 y = 9

4a 2 + 3ab − 11b 2 M5 ⇒ ( 5a 2 + 5ab − 10b 2 ) − ( 4a 2 + 3ab − 11b 2 ) M5

Câu 3
2,0
điểm

⇒ a 2 + 2ab + b 2 M5
⇒ ( a + b ) M5
2

a)
1.0 điểm

⇒ a + bM5

(

⇒a −b = a +b
4

b)
1,0 ®iÓm

x=

)

2

5− 3

)

= 4 − 15

0,25

=

x=

5− 3
5+ 3
là nghiệm của phương trình nên ta có

(
) (
)
a ( 31 − 8 15 ) + b ( 4 − 15 ) +1= 0
2

a 4 − 15 + b 4 − 15 +1= 0

⇔ − 15(8a + b) + 31a + 4b + 1 = 0
a, b ∈ Q

a = 1
⇔

31a + 4b + 1 = 0
b = − 8
Suy ra
Câu 4
3,0
điểm

M

Q

P
A

B

O D

H
K
I

d

C

N


OA ⊥ MN

0,25

1
·
·
ANB=ACN=
2
∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( vì

0,25
0,25
0,25
0.25

·
CAN

»
NB
sđ

và

chung ) suy ra

0,25


CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0,25


⇒ AK=

AB.AC
AI

Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và
dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định
0
·
PMQ=90

Ta có

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

·
·
MEH=DMQ

Xét ∆MHE và ∆QDM có

c)
1,0 ®iÓm

( cùng phụ với

MQ HQ 2 DQ
MP 1 ME
⇒
=
MQ 2 MQ

0,25

 ME = 2 MP  P là trung điểm ME.

1
2n − 1
A =
=
n (2n + 1) 2n − 1 (2n + 1) ( 2n − 1)

A =
n

Vì

0,25

2n − 1  1
1 
2n − 1  1
1  1
1 
−
+

2n + 1
2n − 1
và

A

Câu 1 (6,0 điểm):
2

a)

b)

Rút gọn biểu thức:

Giải phương trình:

2 ab
1 a
b
M=
1+ 
−
÷
a+b
4 b
a
x2 1 5  x 1 
+ =  − ÷
9 x2 3  3 x 

Giải hệ phương trình:
Câu 2 (3,0 điểm):
c)




CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn

Chứng minh rằng:

0 ≤ a; b; c ≤ 2

1
1
1
9
+
+
≥
2
2
2
( a − b ) ( b − c ) (c − a )
4

Câu 4 (6,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O có đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại
điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK
cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên
các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng
AC.HF = AD.CF
F là trung điểm EH

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


Bài 1. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính
phương.
Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a,
3

b,

2− x

+

x −1

=1

 xy + z 2 = 2

2
 yz + x = 2
 xz + y 2 = 2


Bài 3. Cho

∆


Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
hớng dẫn chấm toán 9
Bài 1: 3,5 điểm
C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc
bỡnh phương của 5 số đó là 5(n2 + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên
không thể là số chính phương.
C2: Xét tính chẵn lẻ của 5 số nguyên liên tiếp đó.
Bài 2:

a. 3,5 điểm
Đặt a =

2−x

3

b=

Ta có :

x −1 ≥ 0

a 3 + b 2 = 1
