Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM
Phần I. QUỸ TÍCH VÀ ĐƯỜNG THẲNG:
I. Các dạng toán:
1. Điểm M cách đường thẳng d cố định một khoảng h không đổi
⇒
Quỹ tích M là hai
đường thẳng song song và cách d một khoảng h.
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính CD. Từ một điểm A di động trên tia
đối của tia DC, kẻ một tia AI là tiếp tuyến của (O). Trên tia AI lấy điểm M sao
cho AM = AO. Tìm quỹ tích các điểm M.
Lưu ý: Nếu bài toán có thêm ràng buộc, thì quỹ tích M có thể chỉ là một trong hai
đường thẳng kể trên.
Ví dụ 2. Hai điểm D, E di động trên hai cạnh AB, AC của ∆ABC sao cho AD = CE.
Tìm quỹ tích trung điểm M của DE.
2. Điểm M có hình chiếu M' cố định trên đường thẳng cố định d
⇒
Quỹ tích M là
đường thẳng vuông góc d tại M'.
Ví dụ 3. Cho một điểm P cố định trong một đường tròn (O) cố định. Gọi Q là một
điểm di động trên (O). Một đường thẳng qua O vuông góc với PQ cắt tiếp
tuyến tại Q của (O) ở điểm M. Tìm quỹ tích các điểm M.
3. Điểm M cách đều hai điểm cố định A, B
⇒
Quỹ tích các điểm M là đường trung
trực của đoạn AB.
Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Một góc vuông xAy quay quanh A có hai cạnh
cắt CB, CD lần lượt tại E, F. Dựng hình chữ nhật AENF. Tìm quỹ tích tâm M
của hình chữ nhật này.
II. Bài tập:
Bài 1. Cho đường thẳng d cố định và hai điểm cố định A, B trên đường thẳng này.
Hai đường tròn (O

2
; C, C' ∈ d
3
và ba đoạn AA', BB', CC' song
song cùng chiều. Tìm quỹ tích trọng tâm M của ∆A'B'C'.
Thầy giáo : Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 1
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN
Bài 3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng hai đường tròn bán kính
bằng nhau: một đường qua A, B và đường tròn kia qua B, C. Tìm quỹ tích giao
điểm thứ hai M của hai đường tròn ấy.
Phần II. QUỸ TÍCH VÀ ĐƯỜNG TRÒN
I. Các dạng toán:
1. Điểm M cách điểm cố định O một khoảng không đổi R
⇒
Quỹ tích là (O; R).
Ví dụ 5. Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài (O), B là điểm di động
trên (O) và M là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho
MA 1
MB 2
=
. Tìm quỹ tích các điểm
M.
2. Điểm M nhìn đoạn cố định AB dưới góc không đổi
α

⇒
Quỹ tích là hai cung chứa
góc
α
dựng trên đoạn AB.

Bài 4. Cho điểm M chạy trên đường tròn cố định (O; R). A là điểm cố định sao cho
OA = 2R. Kẻ phân giác OD của ∆OAM. Tìm quỹ tích các điểm D.
Bài 5. Cho ∆ABC cân tại A (
µ
A 2= α
) nội tiếp đường tròn (O; R) cố định. Một điểm
M di động trên cung AB không chứa điểm C. Trên tia CM lấy điểm N sao cho CN =
AM. Tìm quỹ tích các điểm N.
Bài 6. Cho điểm A cố định trên đường tròn cố định (O; R), B là điểm di động trên
(O). Dựng hình bình hành OACB. Tìm tập hợp các trọng tâm G của ∆ABC.
Bài 7. Cho ∆ABC cân tại A cố định; đường thẳng d quay quanh A không cắt cạnh
BC. Trên d lấy điểm M sao cho tổng khảng cách từ M đến B và C nhỏ nhất. Tìm quỹ
tích các điểm M.
Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 2
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN
Bài 8. Cho đoạn thẳng cố định AB = 6 cm. M là điểm chuyển động sao cho
MA 1
MB 2
=
.
Tìm quỹ tích các điểm M.
Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 3