TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐO LƯỜNG CẤU TRÚC PHỤ THUỘC
GIỮA CÁC TÀI SẢN TÀI CHÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành
Mã số
Học viên
Giảng viên hướng dẫn

:
:
:
:

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
60.46.01.06
Nguyễn Thị Thanh Loan
PGS. TS. Trần Trọng Nguyên

HÀ NỘI - 2017


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Trọng Nguyên,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có


II


Mục lục

Lời cảm ơn

I

Lời cam đoan

II

Mở đầu

1

1

3

Kiến thức cơ bản
1.1

Một số kiến thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2


1.5

1.4.1

Khái niệm copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2

Copula t đa biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3

Chuẩn đoán mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Lý thuyết đồ thị cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
III


2

Mô hình sự phụ thuộc với copula
2.1

2.2

3

21


3.3

So sánh với copula Student bốn chiều

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . 54

57


Danh sách bảng

3.1

Ước lượng số bậc tự do của copula Student hai biến cho các
cặp biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2

Ước lượng tham số cho khai triển copula cặp bốn chiều . . . 52

3.3

Ước lượng số bậc tự do của copula Student hai biến cho các
cặp biến ngẫu nhiên được mô phỏng . . . . . . . . . . . . . 53

3.4

Ước lượng tham số cho copula Student bốn chiều . . . . . . 54

từ ma trận trong ví dụ 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6

Cấu trúc cây điển hình của C-Vine trong trường hợp năm
chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7

Cấu trúc cây điển hình của D-Vine trong trường hợp năm
chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1

Log-lợi suất của các cặp tài sản trong khoảng thời gian từ
ngày 04.01.1999 đến ngày 08.07.2003. . . . . . . . . . . . . 47

3.2

Cấu trúc D-Vine cho dữ liệu đang xét . . . . . . . . . . . . 50


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong thời đại kinh tế phát triển, vấn đề nghiên cứu sự phụ thuộc giữa
các tài sản tài chính có ý nghĩa rất lớn trong việc phân tích rủi ro và phòng
hộ rủi ro khi đầu tư vào các tài sản đó. Hiện nay, hầu hết các hệ thống
quản lí rủi ro vẫn còn nhiều hạn chế, làm tăng nguy cơ thua lỗ cho các
nhà đầu tư. Điều này cho thấy sự cần thiết ra đời các công cụ quản lí rủi
ro mới để đo lường rủi ro chính xác hơn.
Trong nghiên cứu các vấn đề liên quan đến rủi ro danh mục đầu tư tài

• Ứng dụng các mô hình trên vào danh mục đầu tư gồm các cổ phiếu,
trái phiếu trên thị trường chứng khoán Na Uy và thế giới.
4. Phương pháp nghiên cứu

• Tổng hợp tài liệu.
• Phân tích và xử lý số liệu dựa trên sự trợ giúp của phần mềm Matlab.
5. Nội dung
Luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản: Tổng hợp các lý thuyết cơ bản về
xác suất, tài chính, chuỗi thời gian đồng thời giới thiệu về copula và lý
thuyết đồ thị cơ bản.
Chương 2: Mô hình sự phụ thuộc với copula: Đi sâu nghiên
cứu các cấu trúc phụ thuộc giữa hai hay nhiều chuỗi thời gian dựa trên
mô hình copula.
Chương 3: Cấu trúc phụ thuộc của một số chỉ số tài chính:
Ứng dụng mô hình sự phụ thuộc với copula vào thị trường chứng khoán
Na Uy và thế giới.
6. Đóng góp mới
Đi sâu nghiên cứu mô hình sự phụ thuộc với copula để đo lường cấu
trúc phụ thuộc giữa các tài sản tài chính, đặc biệt là mô hình copula vine.

2


Chương 1
Kiến thức cơ bản

1.1

Một số kiến thức xác suất

n

F (x) = P (X1 < x1 , ..., Xn < xn ) = P

(Xi < xi ) ,
i=1

với mọi x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.1.5. Hàm Fi được gọi là hàm phân phối biên của biến ngẫu
nhiên X = (X1 , ..., Xn ) nếu Fi được xác định bởi

Fi (xi ) = P [(X1 < +∞) (X2 < +∞) ... (Xi < xi ) ... (Xn < +∞)]
= xlim
F (x1 , ..., xn ) = P (Xi < xi ) .
→∞
j
j=i

với mọi x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.1.6. Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj với

i, j = 1, ..., n là độ đo sự biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên
này, được tính bởi công thức
Cov[Xi , Xj ] = E [(Xi − E[Xi ])(Xj − E[Xj ])] .
Từ đó, vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) có ma trận hiệp phương
hay Cov[X] được xác định bởi


Cov(X1 , X1 ) ... Cov(X1 , Xn )




..
..
...
ρ[X] = ρ[Xi , Xj ] = 
.
.

ρ(Xn , X1 ) ... ρ(Xn , Xn )

(1.2)

Tính chất 1.1.1. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên có một số
tính chất sau
i) ρXi Xj ≤ 1.
ii) Hệ số tương quan có tính chất đối xứng. Nghĩa là

ρ(Xi , Xj ) = ρ(Xj , Xj ).
iii) Nếu ρ(Xi , Xj ) = ±1 thì biến ngẫu nhiên này biểu diễn tuyến tính
được qua biến ngẫu nhiên kia, cụ thể là tồn tại hai số thực a, b và a
cùng dấu với ρ(Xi , Xj ) sao cho Xj = aXi + b.
Ta nói rằng, Xi và Xj không tương quan nếu ρ(Xi , Xj ) = 0. Trái lại,
chúng tương quan với nhau.

5


1.2


6

, r, s ∈ T.


Định nghĩa 1.2.3. Cho (Xt )t∈T là một chuỗi thời gian. Chuỗi thời gian
này được gọi là cótính dừng nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn
i) E |Xt |2 < ∞ ∀t ∈ Z;
ii) E[Xt ] = m ∀ t ∈ Z;
iii) γX (r, s) = γX (r + t, s + t) ∀ r, s, t ∈ Z.
Cố định γX (r, s) = γX (r − s, 0) ∀ r, s ∈ Z theo định nghĩa. Chúng
ta sẽ định nghĩa lại giá trị của hàm tự hiệp phương sai như sau

γX (h) := γX (h, 0) = Cov (Xt+h , Xt ) ∀ t, h ∈ Z.
Tương tự, giá trị của hàm tự tương quan được cho bởi

ρX (h) :=

γX (h)
= Corr (Xt+h , Xt ) ∀ t, h ∈ Z.
γX (0)

Đối với hàm tự hiệp phương sai, một số tính chất quan trọng sau cho
phép dễ dàng tính toán hơn
i) γ(0) ≥ 0;
ii) |γ(h)| ≤ γ(0);
iii) γ(h) = γ(−h).
Để nhận thông tin liên quan đến cấu trúc phụ thuộc của chuỗi thời gian

(Xt )t∈Z trong thực tế, ta cần đánh giá hàm tự hiệp phương sai và hàm tự

.
γ(0)

Tiếp theo, ta đi tìm hiểu về quá trình nhiễu trắng. Đây là một quá
trình rất quan trọng, nó cung cấp cơ sở cho việc xây dựng mô hình chuỗi
thời gian.
Định nghĩa 1.2.5. Cho (Zt )t∈Z là một quá trình ngẫu nhiên. Khi đó,

(Zt )t∈Z được gọi là quá trình nhiễu trắng với trung bình không và phương
sai σ 2 > 0 nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây
i) E [Zt ] = 0;
ii) γ(h) = σ 2 .
Nếu (Zt )t∈Z ∼ N (0, σ 2 ) thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là quá trình
nhiễu trắng Gauss.

1.2.2

Mô hình ARMA

Mô hình chuỗi thời gian cụ thể đầu tiên mà luận văn muốn giới thiệu
là mô hình trung bình tự hồi quy (mô hình ARMA). Mô hình này giả sử
rằng có một sự phụ thuộc tuyến tính của các giá trị hiện tại của một chuỗi
8


thời gian trên các giá trị quá khứ bao gồm các sai số nhiễu trắng. Trong
các mô hình chuỗi thời gian, mô hình ARMA rất phổ biến. Định nghĩa của
một quá trình ARMA được cho dưới đây:
Định nghĩa 1.2.6. Cho (Xt )t∈Z là một chuỗi thời gian. Nếu


+ η2

t−2

+ ... + ηq

t−q .

Mô hình GARCH

Mô hình chuỗi thời gian cụ thể thứ hai là mô hình tự hồi quy tổng quát
có điều kiện (mô hình GARCH). Mô hình này được công bố bởi Bollerslev
[5] để mô hình hóa các chuỗi thời gian tài chính. Định nghĩa được đưa ra
dưới đây
Định nghĩa 1.2.7. Cho ( t )t∈Z là một quá trình ngẫu nhiên và (Zt )t∈Z là
một dãy đồng nhất các biến ngẫu nhiên với trung bình không và phương
9


sai đơn vị. Khi đó, ( t )t∈Z được gọi là một quá trình GARCH(p, q) nếu
t

= σ t Zt ,
q

Var ( t \ Ft−1 ) =: σt2 = ω +

p

αi


2
+ βσt−1
.

với α, β ≥ 0, ω > 0 và (Zt )t∈Z là dãy độc lập, tương tự phân phối của
biến ngẫu nhiên với trung bình không và phương sai đơn vị.
Quá trình

t

chỉ dừng khi và chỉ khi α + β < 1.

Trong trường hợp này, phương sai không điều kiện của quá trình này
được cho bởi
Var( t ) =: σ 2 =

10

ω
.
1−α−β


Định nghĩa 1.2.9. Quá trình ( t )t∈Z được gọi là mô hình ARMA (p, q)GARCH (1, 1) nếu ( t )t∈Z thỏa mãn

Xt = µ + Φ1 Xt−1 + ... + Φp Xt−p + η1
t

t−1

ˆt = Xt − µ
ˆ − ΦX
ˆt−1 Zˆt−1 − ... − ηˆq σ
Mũ trên đầu của mỗi tham số biểu thị rằng đây là ước lượng của tham
số tương ứng.

1.3

Một số kiến thức về tài chính

Định nghĩa 1.3.1. Chứng khoán là các loại công cụ tài chính dài hạn,
bao gồm các loại cổ phiếu và trái phiếu.

• Cổ phiếu là bằng chứng xác nhận quyền và lợi ích hợp pháp của nhà
đầu tư đối với một phần vốn chủ sở hữu của công ty cổ phần.
11


• Trái phiếu là một loại chứng khoán quy định nghĩa vụ của người phát
hành (người đi vay) phải trả cho người đứng tên sở hữu chứng khoán
(người cho vay) một khoản tiền nhất định bao gồm cả gốc lẫn lãi
trong những khoảng thời gian nhất định.
Định nghĩa 1.3.2. Chỉ số chứng khoán nói chung và chỉ số trái phiếu nói
riêng được dùng để thể hiện sự phát triển của thị trường và các thành
phần của nó. Các chỉ số này thường được thông báo trên các phương tiện
thông tin đại chúng và các tờ nhật báo lớn ở các nước. Chỉ số chứng khoán
phản ánh tình hình hoạt động của các công ty trên thị trường. Nếu các
công ty làm ăn có lãi, giá chứng khoán của các công ty đó sẽ tăng và làm
tăng theo chỉ số chứng khoán. Ngược lại, chỉ số chứng khoán sẽ giảm. Dựa
vào chỉ số chứng khoán, các nhà đầu tư có thể xác định được hiệu quả của

σt2 = E (rt − µt )2 |Ft−1 .
Với Ft là các thông tin thiết lập có sẵn tại thời điểm t.

1.4

Giới thiệu về copula

1.4.1

Khái niệm copula

Các copula d-chiều là các hàm phân phối tích lũy trên Id với biên độ
đồng đều. Do đó một copula miêu tả cấu trúc phụ thuộc giữa các phần tử
của một vectơ ngẫu nhiên d-chiều. Ở đây, Id biểu thị hình siêu lập phương
đơn vị d- chiều, nghĩa là Id = [0, 1]d .
Định nghĩa 1.4.1. Hàm số C : Id → I được gọi là một copula d-chiều
nếu C thỏa mãn các điều kiện sau
13


i) ∀ u ∈ I : C (1, ..., 1, u, 1, ..., 1) = u;
ii) ∀ u ∈ I : C (0, ...0, 0, u, 0, ..., 0) = 0;
iii) ∀ u, v ∈ Id , với u ≤ v , ta có

dC(u1 , ..., ud ) ≥ 0.
[u,v]

Hàm mật độ xác suất (pdf) của một copula có thể có được nhờ phép
lấy đạo hàm riêng và được kí hiệu là c, nghĩa là


(1.3)


trong đó, x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd ).
Copula C là duy nhất nếu FX1 , ..., FXd là liên tục.
Ngược lại, hàm F là hàm phân phối đồng thời với các biên duyên

FX1 , ..., FXd nếu FX1 , ..., FXd là các hàm phân phối và C là một copula.
Chứng minh chi tiết xem thêm trong [13].
Phương trình đảo của (1.3) là

C(u) = C(u1 , ..., ud ) = F (F −1 (u1 ), ..., F −d (ud )).
Do đó, mật độ của copula có thể có được nhờ phép đạo hàm riêng

∂ d C(F1 (x1 ), ..., Fd (xd ))
f (x) =
∂x1 ...∂xd
d
∂ C(F1 (x1 ), ..., (Fd (xd ))
=
.f1 (x1 )...fd (xd )
∂F1 (x1 )...∂Fd (xd )
f (x)
.
⇔ c(F1 (x1 ), ..., Fd (xd )) =
f1 (x1 )...fd (xd )
1.4.2

Copula t đa biến


ν+d
2

ν

) . Giá trị kỳ vọng, ma
trận hiệp phương sai được cho bởi các phương trình sau
ν
.
E[X] = µ; Cov (X) =
ν−2
15


Chúng ta chỉ xem xét phân phối student t, nghĩa là µ = 0 . Khi đó, ta
viết X ∼ td (ν, ). Ma trận tham số
= (ρi,j )i,j=1,...,d xác định dương
và đối xứng, với pi,i = 1 ∀ i = 1, ..., d và ρi,j = Corr(Xi , Xj ) ∀ i, j =
1, ..., d, i = j .
Để đại diện cho cấu trúc phụ thuộc trong một phân phối student t đa
biến, chúng ta sử dụng một copula t đa biến. Do đó, cho P là một ma trận
tương quan được suy ra bởi ma trận phương sai - hiệp phương sai
đó, copula t hai biến được cho bởi
t−1
υ (u1 )
t
Cν,P
=

t−1


Với t−1
ν biểu thị hàm điểm vi phân của phân phối student t đơn biến. Sử
dụng phương trình trên, ta có thể tính được mật độ của t-copula đa biến

ctν,P (u)

=

−1
ft t−1
ν (u1 ), ..., tν (ud ); ν, P
d
i=1

1.4.3

; u ∈ Id .

ft (t−1
ν (ui ); ν)

Chuẩn đoán mô hình

Trong thực tế, khi ước lượng các tham số copula cho một mẫu dữ liệu
nhất định u(j) , j = 1, ..., N , ta thực hiện thông qua ước lượng hợp lý cực
đại (ML).
Các tham số được ước lượng là các tham số của bậc tự do νi , i = 1, ..., n
n(n + 1)
tham số phải được ước lượng,


(j)

x1
xn
, ...,
ω1 (j)
ωn (j)

n

i=1

1
ds
ωi (s)


N

+
j=1 i=1
n

+N
i=1

(j) 2
xi


= AAT . Các phần tử của A phải thỏa mãn
i

a2i,j > 0, i = 1, ..., n.
j=1

Điều này dễ dàng kiểm tra hơn tính xác định dương. Để giảm số lượng
các tham số và do đó đẩy nhanh quá trình tìm ra tập tham số tối ưu, lưu
i−1

ý rằng a1,1 = 1. Ta cho

a2i,i

a2i,j , i = 2, ..., n. Do đó, chúng ta chỉ

= 1−
j=1

phải xem xét điều kiện
i−1

a2i,j < 1, i = 2, ..., n.
j=1

Khi xác định được hai hay nhiều mô hình copula cho một bộ dữ liệu
nhất định của quan sát u, ta đi so sánh các mô hình này với nhau. Trong
phần này, luận văn đưa ra hai tiêu chí thông tin được sử dụng phổ biến
để so sánh mô hình.
Trước tiên, ta kí hiệu log-likelihood bởi công thức

i=1

1.5

Lý thuyết đồ thị cơ bản

Định nghĩa 1.5.1. Cho N và E biểu diễn tập hợp các nút và các cạnh
biên tương ứng. Trong đó, E là tập con của của N , ví dụ:

E ⊆ {{ni , nj } , ni , nj ∈ N }
Khi đó, cặp G = (N, E) được gọi là đồ thị.
Các nút hiển thị đồ họa được biểu diễn bởi các điểm có đánh dấu và
cạnh nối hai nút được biểu diễn bởi một đường nối các điểm tương ứng.
Nếu một đồ thị có chứa tất cả các cạnh có thể, nghĩa là mỗi nút được
kết nối với bất kỳ nút nào khác thì đồ thị được gọi là đồ thị đóng.
Một dãy các nút {n1 , ..., nk } ∈ N được gọi là

18