1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
Ngày nay việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề được quan tâm
hàng đầu. Để chất lượng học của học sinh (HS) ngày càng được nâng lên, yêu
cầu người giáo viên(GV) phải có phương pháp dạy phù hợp và hệ thống bài tập
đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng HS .Toán học là một trong những bộ
môn khó ở chương trình phổ thông. Song nó sẽ không khó nếu như chúng ta
nắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được phương pháp giải bài tập.
Chẳng hạn, khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình học
phương pháp giải cần vẽ thêm đường phụ là những bài toán khó đối với HS
THCS. Nhưng khi thông qua một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ
thêm đường phụ chắc chắn các em HS sẽ hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú hơn
về phương pháp giải loại toán này. Từ đó là nền tảng cho các em trong quá trình
giải các bài tập hình ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn.
Trong khi tìm các phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc kẻ thêm
yếu tố phụ làm cho giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn.Thậm chí, có những
bài toán cần phải vẽ thêm đường phụ thì mới tìm ra được lời giải.Tuy nhiên việc
kẻ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải hay và ngắn gọn mới
là vấn đề khiến cho người thầy cần phải đầu tư suy nghĩ.
Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đường
phụ khi giải các bài toán hình học.Vì thế khi giải bài toán đòi hỏi HS phải có
suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức cũ và mới một cách có hệ
thống và tổng hợp, để từ đó có cách vẽ thêm những đường phụ hợp lý để có thể
đưa đến cách giải hay và độc đáo, và vì vậy khi giải một bài toán hình việc xác
định phương pháp là một trong những yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều đó
đòi hỏi HS phải có năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của hình học, cụ thể là
tìm hướng giải và phương pháp giải, để làm được điều đó GV cần phải cung cấp
cho HS một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ.
Với đề tài “Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải
một số bài toán hình 7;8”, tôi muốn góp phần tạo nên cơ sở để học tốt loại toán
hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng và các loại toán hình học nói chung.


1.5 Nh÷ng ®iÓm míi cña SKKN:
- Thông qua SKKN, HS được nâng cao tư duy sáng tạo, độc lập, phát huy tính tự giác,
tích cực trong học tập, thúc đẩy cho các em sự say mê và hứng thú học tập tốt hơn.

2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là những bài
toán khó đối với HS THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu
cầu HS nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi HS cần có một kỹ năng giải toán và
có sự sáng tạo nhất định. Để chứng minh các định lý phải sử dụng việc kẻ thêm
đường phụ thì trong SGK đề cập đến không đáng kể. Việc làm các ví dụ về dạng
toán này ở trên lớp cũng không nhiều. Tuy nhiên, các bài tập trong SGK lại đưa
ra khá nhiều dạng toán này và đặc biệt là ở một số bài tập nâng cao khi giải phải
kẻ thêm đường phụ, nếu không thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Trên thực tế,đối với HS khi giải các bài toán dạng này cần phải mất rất nhiều
thời gian nghiên cứu. Mà việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài
toán có kẻ thêm đường phụ đối với HS còn rất ít. Mặt khác, đối với đa số HS
việc nắm vững về mục đích,yêu cầu khi kẻ các đường phụ cũng như kiến thức
về một số loại đường phụ còn rất hạn chế. Các tài liệu viết rêng về loại toán này
cũng rất ít nên việc tham khảo đối với HS còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với nội dung trình bày của đề tài này bản thân tôi mong muốn đó sẽ là
một nội dung tham khảo cho GV để góp phần tạo nên cơ sở cho GV có thể dạy tốt
hơn, HS hiểu và làm tốt hơn các bài tập loại toán hình có kẻ thêm đường phụ.

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Trong quá trình dạy môn toán nói chung, đặc biệt là phân môn hình học nói
riêng, tôi nhận thấy hầu hết các em HS không thích và rất ngại khi làm các bài
toán hình. Bởi vì các em thấy nó rất khó, các em không biết phương pháp giải và
giải như thế nào. Chính vì thế đã làm tôi trăn trở rất nhiều, là một GV trực tiếp

70
3
4,3
11
15,7
56
80
Qua kết quả trên tôi nhận thấy rằng : Số HS không biết làm, còn lúng túng,
lơ mơ chưa giải quyết được các bài toán hình học là rất lớn, trong khi đó chỉ một
số ít các em biết giải thành thạo đối với dạng toán này.
Từ thực tế trên, bản thân tôi là một GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán tại
trường THCS, tôi luôn trăn trở làm thế nào để cuốn hút các em HS vào môn học
này và làm thế nào để tạo cho các em có một tâm lý vững vàng, không còn sợ
sệt khi gặp các bài toán hình nữa.Và SKKN“Hướng dẫn học sinh phương
pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7; 8” là một phương
pháp mà bản thân tôi muốn đưa ra để chúng ta cùng áp dụng nhằm nâng cao chất
lượng Dạy - Học đối với phân môn Hình học nói riêng và bộ môn Toán nói
chung.

2.3 Các giải pháp thực hiện:
A, Giải pháp:
1. Các yêu cầu khi kẻ (dựng) các đường phụ.
1.1 Kẻ đường phụ phải có mục đích.
Đối với một số bài toán hình để giải được chúng ta cần phải kẻ thêm yếu tố
đường phụ.Vì thế kẻ đường phụ phải giúp được cho việc giải quyết bài toán.
Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, dự đoán
logic theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã
có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm.
Nếu kẻ đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho
hình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi

Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Dạng 5: Tính độ dài đoạn thẳng.
Dạng 6: Tính số đo góc.
B, Các biện pháp đã tổ chức thực hiện.

B1. Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là ta có thể tạo
ra các hình rồi sử dụng định nghĩa hay tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Bài 1: Cho ∆ ABC, có B = C. Chứng minh: AB =AC.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường
phụ như thế nào? Để chứng minh được AB = AC gợi cho ta nghĩ ngay đến việc
kẻ thêm đường phụ sao cho AB và AC là 2 cạnh của 2 tam giác nào đó, rồi
chứng minh 2 tam giác có chứa 2 cạnh đó bằng nhau.
* Kẻ thêm đường phụ:
+ Cách1: - Qua A kẻ tia phân giác AI của BAC ( I ∈ BC).
+HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC
bằng cách chứng minh : ∆ ABI = ∆ ACI
- Để chứng minh ∆ ABI = ∆ ACI ta chỉ cần chứng minh :
AIB = AIC. Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
+ Cách2: - Qua A kẻ AH ⊥ BC( H ∈ BC).
+ HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC
A
bằng cách chứng minh : ∆ ABH = ∆ ACH .
- Để ∆ ABH = ∆ ACH ta chỉ cần chứng minh : BAH = CAH

4



+ Kẻ thêm đường phụ:-Từ D hạ DK ⊥ AH (K∈ AH).
-Từ E hạ EN ⊥ AH (N∈ AH).
+ HD Chứng minh:
- Để chứng minh DM = ME ta chứng minh ∆ KDM = ∆ NEM.
- Để ∆ KDM = ∆ NEM. Ta cần chứng minh DK = EN, KDM =NEM (so le trong).
- Để DK = EN ta chứng minh ∆ HAB = ∆ KDA (cạnh huyền - góc nhọn).
Và ∆ HAC = ∆ NEA (cạnh huyền - góc nhọn).
Vậy, bằng cách kẻ thêm đường phụ DK và EN ta có thể giải bài toán dễ dàng.
Kết luận: Bằng cách kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tam giác bằng nhau,
tõ ®ã suy ra các cạnh tương ứng (các đoạn thẳng cần chứng minh) bằng
nhau
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC, có A = 60o. Các tia phân giác của B và C cắt
nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E. Chứng minh: ID= IE
Gợi ý kẻ thêm đường phụ: Kẻ tia phân giác của BIC cắt BC tại K (K ∈ BC).
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần)
đoạn thẳng cho trước.
* Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng nửa độ dài đoạn thẳng khác
hoặc đoạn này gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta có thể:

5


Cách1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh trong mét hai đoạn thẳng này
bằng đoạn thẳng ngắn.
Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn
thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có A = 120o. Tia phân giác của góc D đi qua
trung điểm I của cạnh AB. Kẻ AH ⊥ CD. Chứng minh AH =

1


toán.
Bài 2: Cho ∆ ABC vuông tại A, có B = 60o. Chứng minh AB =
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán AB =

1
BC.
2

1
BC hay 2AB = BC
2

gợi cho ta phải nghĩ đến việc tìm cách tạo ra đoạn thẳng nào đó bằng 2AB, rồi
chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC và lại có B = 60 o nên gợi cho ta nghĩ đến
việc tìm tạo ra tam giác đều.
C
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB
+ HD Chứng minh: Để chứng minh AB =

1
BC ta chỉ cần
2

chứng minh : BC = BD. Để chứng minh BC= BD ta chỉ cần D
chứng minh : ∆ ABC = ∆ ADC (c-g-c) và ∆ BCD là ∆ đều.
Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.
Bài 3: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung
tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.


1
2

+ HD Chứng minh:- Để c/m AM = BC ta chứng minh AM = MC = BC.
- Để AM = MC ta chứng minh ∆ AMC cân tại M (hoặc ME là đường trung trực
của AC).
Như vậy với việc kẻ thêm đường phụ ME. ta có thể chứng minh bài toán
một cách dễ dàng.
* Ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng Mx // AB cắt AC tại E.
+ Kẻ đường phụ: Dựng đường trung trực ME của AC.
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng ME ⊥ AC (E ∈ AC).
+ Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
GV lưu ý : §ối với một bài toán ta cũng có thể có nhiều cách kẻ đường phụ
khác nhau. Mỗi cách kẻ đường phụ, cho ta một cách chứng minh. vì thế ta
nên lựa chọn phương pháp kẻ đường phụ nào mà dẫn đến cách chứng minh
dễ hiểu, đơn giản và hay nhất.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC,M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng
không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax ⊥ AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD =
AB .Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia Ay ⊥ AC,trên tia đó lấy
1
2

điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh : AM = DE
Gợi ý kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hay hiệu) hai đoạn
thẳng xác định.
Bài 1: Chứng minh rằng “ Đường trung bình của hình thang song song với hai
đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”.

sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác (kiến thức đã có) để giải bài
toán. Đoạn thẳng CE tạo được bằng tổng hai đáy của hình thang (phù hợp với
mục đích tính chất). Như vậy đối với bài toán này nếu không dùng phương
pháp kẻ thêm đường phụ thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Bài 2: Cho ∆ ABC vuông cân tại A. Lấy một điểm M tuỳ ý trên
cạnh BC (M khác B và C).Chứng minh : MB2 + MC2 = 2 MA2
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta liên tưởng đến
định lý Py-ta-go. Và Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường
phụ sao cho MB và MC là hai cạnh của tam giác vuông nào đó.
Từ phân tích, ta đi đến việc kẻ đường phụ như thế nào ?
+ Kẻ thêm đường phụ :
- Từ M, dựng MN ⊥ AB ( N ∈ AB).
- Từ M, dựng MP ⊥ AC ( P ∈ AC).
+ HD Chứng minh: Từ việc kẻ thêm đường phụ ta có:
- Để chứng minh MB 2 + MC 2 = 2 MA2 ta cần chứng minh
MB 2 + MC 2 =2(MN 2 +NA 2 ).
Hay ta cần phải chứng minh: MB 2 = 2 MN 2 và MC 2 = 2 NA 2
Đến đây ta chỉ cần áp dụng định lý Pitago đối với ∆ NMB vuông cân tại N.
MB 2 = NB 2 +MN 2 = 2 MN 2
áp dụng định lý Py-ta-go đối với ∆ PMC vuông cân tại P.
MC 2 = PM 2 + PC 2 = 2 MP 2
Đến đây HS chỉ cần chỉ ra MP = NA (tứ giác ANMP là hình chữ nhật).
Và dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
Kết luận: §ể có thể giải được bài toán hình ta cần chú ý đến phương pháp
kẻ thêm đường phụ. V× vËy đối với việc kẻ đường phụ là rất cần thiết khi
giải một bài toán hình.
* Bài tập tự luyện: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB .Trên cùng
nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax, By ⊥ AB. Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax,
đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Chứng minh : CD = AC + BD
Gợi ý kẻ đường phụ: Kéo dài CA về phía A, OD về phía O cắt nhau tại K

-Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho CAx = BAD
- Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD
* HD Chứng minh :
- Để chứng minh DC > DB ta cần chứng minh
DC > EC ( EC = BD vì ∆ DAB = ∆ EAC ( c.g.c))
- Để DC > EC ta chứng minh DEC > EDC.
- Để chứng minh DEC > EDC ta chỉ cần chứng
minh AEC - AED > ADC - ADE.
Đến đây HS dễ dàng chứng minh vì AEC > ADC và ADE = AED.
Bài 3. Cho ∆ ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C.
Chứng minh rằng: MA + MB > AC + BC.
*Phân tích: Từ kết luận,ta suy nghĩ là tạo ra các đoạn
thẳng bằng nhau, và dựa vào quan hệ các cạnh trong
tam giác. Vậy đường phụ cần vẽ là đường nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ :
- Qua A, dựng đường thẳng ⊥ MC cắt BC tại D.
* HD Chứng minh :- Từ cách dựng ta chứng
minh được AC = CD; MA = MD.
Xét ∆ MBD có MD + MB > BD (Bất đẳng thức
tam giác). Mà BD = CD + BC nên từ đó ta chứng
minh được MA + MB > AC + BC.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC có AC > AB. Tia phân giác của A cắt BC ở D.
Điểm E∈ AD, Chứng minh rằng: AC - AB > EC - EB.
Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Trên cạnh AC lấy điểm P sao cho AP = AB
Dạng 5 : Tính số đo đoạn thẳng.

9


Bài 1: Cho ∆ ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của A (D ∈ BC). Biết AB

Suy ra: AH = AB/2 = 4/2 = 2 (cm). ⇒ BH = 2 3 (cm) (áp dụng định lý Pytago),
⇒ KM =

1
BH =
2

3 (cm). Từ cách dựng ta có CH = HA + AC = 8 (cm).
⇒ HK =

1
HC= 4 (cm).
2

Kết luận: Đến đây ta tính được AK = 2cm. Từ đó ®Ó tính được AM một
cách dễ dàng dựa vào định lý Pytago trong tam giác vuông AKM.
* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC cân tại A, có A = 30 o , BC =2cm .Trên AC lấy
điểm D sao cho CBD = 60o. Tính độ dài AD
Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Trên nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm E cùng phía
với A sao cho ∆ BEC vuông cân tại E.
Dạng 6: Tính số đo góc.
Nhận thấy dễ dàng tính được số đo các góc của tam giác đều, tam giác
vuông cân, tính được các góc của tam giác cân khi biết được một góc của nó,
tính được các góc của tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền. Song chúng ta vẫn cũng gặp không ít các bài toán tính số đo góc phức

10


tạp hơn nhiều. Chính điều này đòi hỏi sự tư duy sáng tạo, tìm tòi phát hiện, ... đi

là tam giác vuông tại A.
Ta có: AB = 6cm; AD = 2AM = 8cm.
BD = AC ( ∆ AMC = ∆ DMB (c.g.c)) ⇒ BD = 10cm ⇒ BD2 = 100.
Mà AB 2 + AD2 = 100 ⇒ AB 2 + AD2 = BD2.
Đến đây HS có thể chứng minh được ∆ ADB vuông tại A dựa vào định lý đảo
của định lý Pytago. Và từ đó có thể suy ra được số đo MAB một cách dễ dàng.

11


* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC đều, một đường thẳng song song với BC cắt
AB, AC ë D và E. Gọi G là trọng tâm ∆ ADE, I là trung điểm của CD. Tính các
góc của ∆ GIB.
Gợi ý kẻ đường phụ: - Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại K

B2. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các
mối liên hệ để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là tạo ra
đoạn thẳng thứ ba bằng cả hai đoạn thẳng đó.
Bài 1: Cho ∆ ABC ( AB < AC), từ trung điểm M của
BC kẻ đường vuông với tia phân giác của A cắt tia
này tại H, cắt AB tại D và AC tai E.
Chứng minh: BD = CE.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán muốn chứng
minh BD = CE ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba
rồi chứng minh BD và CE bằng đoạn thẳng thứ ba
đó. Vậy ta cần nghĩ đến vẽ đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua B kẻ đường
thẳng song song với AC cắt DE tại F.

Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Kẻ tia CE ⊥ CD. Trên BC lấy điểm M,N sao
choBAN = 40o ; CAM = 40o
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa hay gấp hai lần
đoạn thẳng cho trước.
Bài 1: Cho ∆ ABC có BC = 2AB, M là trung điểm của cạnh BC. D là trung diểm
của BM. Chứng minh rằng AC = 2AD.
*Phân tích: Từ kết kuận của bài toán để chứng minh AC = 2AD, ta tìm cách
tạo ra đoạn thẳng bằng 2AD.Từ đó tìm cách chứng
minh đoạn thẳng đó bằng đoạn thẳng AC. Từ việc
phân tích trên, việc vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên tia đối của tia DA
dựng điểm E sao cho AD = DE.
+ HD Chứng minh:- Để AC = 2AD ta cần chứng
minh AC = AE (AE = 2AD).
- Vậy để AC =AE ta chứng minh ∆ AME = ∆ AMC
- HS dễ dàng chứng minh: ∆ AME = ∆ AMC (c.g.c).
Bài 2: Cho xAy = 60o. Az là tia phân giác của xAy. Từ điểm B trên Ax vẽ đường
thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông
góc với Ay (D∈ Ay). Chứng minh: BD =

1
AC.
2

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, để chứng minh
2BD =AC ta cần phải tạo ra một đoạn thẳng bằng hai
lần đoạn BD sao cho đoạn thẳng đó bằng AC.
Từ sự phân tích đó,ta có thể kẻ đường phụ nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên tia đối của tia DB lấy
điểm F sao cho DF = DB.

1)Vẽ một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn thẳng thứ ba và một trong hai đoạn
thẳng kia rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng
đoạn thẳng còn lại.
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho BI =EG.
+ HD Chứng minh:- Để DF + EG = AB ta chỉ cần
chứng minh AI+BI = AB
Đến đây ta chỉ cần chứng minh AI = DF là được .
Và tương tự ta cũng có thể vẽ thêm điểm K trên cạnh AB sao cho BK = DF.
2)Vẽ thêm một đoạn thẳng ‘bù thêm’ một trong hai đoạn thẳng một cách thích
hợp rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng thứ ba và đoạn thẳng
bù thêm bằng đoạn thẳng kia.
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua A kẻ Ax // BC cắt DE tại P.
+ HD Chứng minh : Để DF + EG = AB ta chứng
minh AB =DP. Mà DP = DF + FP. Nên ta chỉ cần
chứng minh FP = EG.
Đến đây ta chỉ cần chứng minh ∆ APF = ∆ CEG (g.c.g)
- Tương tự ta có thể vẽ thêm AQ // BC(Q ∈ EG) và cũng
chứng minh được : AB = DF + EG.
Bài 2 : Cho xOy = 90o ; Oz là tia phân giác. Trên tia Oz lấy
điểm A, từ A kẻ AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy (B ∈ Ox ; C ∈ Oy). D là
điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB. Nối A với D. Tia phân giác
của CAD cắt Oy tại E.
Chứng minh: AD = CE + BD.
*Phân tích: Ta có thể chọn cách giải là tạo ra đoạn thẳng
có độ dài bằng CE + BD và cần chứng minh đoạn thẳng đó
bằng AD là xong. Xuất phát từ suy nghĩ này, yếu tố
phụ cần kẻ ở đây là gì ?.
+ Kẻ thêm đường phụ:


- Dựng đoạn thẳng DE; EC.
+ HD Chứng minh:
- Từ cách dựng ta có ∆ BCD = ∆ BED (c.g.c) ⇒ CD = ED
- Từ việc chứng minh AD 〈 CD ta đi đến chứng minh
AD 〈 ED. Và vì ED và DA là các cạnh của ∆ ADE do đó
điều cần chứng minh đến đây đã rõ ràng và đơn giản hơn.
Từ việc chứng minh AD 〈 DE. Ta suy ra chứng minh DEA 〈 DAE.
Điều này khá dễ dàng vì DAE là góc ngoài của ∆ ABC .
Bài 2: Cho ∆ ABC có AB > AC ; AD là tia phân giác của BAC ( D ∈ BC). M là
điểm nằm trên đoạn thẳng AD .
Chứng minh rằng MB - MC < AB - AC.
*Phân tích: Từ điều cần chứng minh : MB - MC

ABC = ACB = 45o. Ta có 135o = 90o + 45o.
Từ phân tích trên giúp ta nghĩ việc vân dụng kiến thức về
định lý Pytago và tam giác vuông cân để tạo ra một tam
giác vuông sao cho có một cạnh là MC và hai cạnh kia đã tìm được độ dài.
Từ phân tích trên ta có thể kẻ đường phụ như thế nào ?
+ Kẻ thêm đường phụ :
- Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B.
Dựng ∆ ADM vuông cân tại A.
+ HD Chứng minh : Trong ∆ MCD vuông tại M để
tính được độ dài MC ta chỉ cần tính được MD và DC.

16


- Tính MD dựa vào tam giác vuông cân AMD tại A có các cạnh góc vuông AD =
AM = 2cm
- Tính DC ta chứng minh DC = MB dựa vào ∆ ADC = ∆ AMB (c.g.c).
Dạng 6: Tính số đo góc.
Bài 1. Cho tam giác cân ABC(AB = AC) có A= 80o. Gọi D là điểm nằm trong
tam giác sao cho DBC =10o ; DCB = 30o. Tính số đo BAD.
*Phân tích: Tam giác ABC (AB = AC), A= 80o
suy ra ABC =ACB =50o.
Mà DBC=10o; DCB =30o cần tìm số đo BAD.
Từ phân tích để tính được số đo BAC ta cần phải
nghĩ đến việc vẽ tam giác đều.
+ Kẻ thêm đường phụ:- Trên nửa mặt phẳng bờ BC
có chứa điểm A vẽ tam giác đều BEC.
+ HD Chứng minh:- Để tính được số đo BAD ta
cần tính đượcABD và ADB.
-Ta đượcABD = ADB nếu có ∆ ABD cân tại B (BA=



* Bài tập tự luyện: Cho ∆ ABC có B = 75 0 ; C = 60 0 . Kéo dài BC một đoạn
thẳng CD sao cho CD =

1
BC. Tính ADB
2

Gợi ý kẻ thêm đường phụ: - Từ B hạ BH ⊥ AC (H∈ AC).
B3. Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh

phản chứng.
* Phương pháp phản chứng là phương pháp chứng minh gián tiếp, trong
đó để chứng tỏ kết luận của bài toán là đúng, ta chứng tỏ phủ định của kết
luận là sai.
Bài 1. Chứng minh : “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì
hai góc đồng vị bằng nhau ”.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng phương pháp chứng minh phản
chứng ta giả sử hai góc đồng vị đó không bằng nhau. Giả sử A 1 và B1 là hai góc
đồng vị và A1 không bằng B1. Vậy ta cần vẽ thêm đường phụ như thế nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua B kẻ đường thẳng xy tạo
với đường thẳng c góc ABy =A1.
+ HD Chứng minh:
- Theo cách dựng ta có xy // a vì xy và a tạo thành hai
góc đồng vị bằng nhau.
Nhưng qua B, theo tiên đề Ơclít chỉ có một đường thẳng song song với a.
Vậy đường thẳng xy ≡ b ⇒ ABy = B1 ⇒ A1 = B1
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có một góc bằng
300 và cạnh đối diện với góc ấy bằng nửa một cạnh khác thì

1
1
BC. Mà AC = BC (gt) ⇒ CH = CA. ⇒ ∆ AHC cân tai C
2
2

18


⇒ H = A. Vậy trong một tam giác không thể có hai góc cùng bằng 90o

điều giả sử trên là sai. Vậy A phải bằng 90o.
Bài 3. Tam giác ABC có B = 60o ; BC =

1
AB.
2

Chứng minh: C = 90o.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán, bằng phương
pháp chứng minh phản chứng ta giả sử ACB ≠ 90o.
Vậy kẻ đường phụ như thế nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ: - Từ A dựng AH ⊥ BC (H ≠ C).
+ HD Chứng minh:
Từ cách dựng ta có ∆ AHB vuông tại H có B = 60o (gt).
Suy ra BAH = 30o,suy ra BH =
Mà BC =

1
AB ( từ kết quả bài1)

2

Vì M là trung điểm của AC (gt) nên M nằm giữa A và F vì vậy B ∈ Ex.
Do đó ACB >ACE. Mà ACE ≥ 90o ⇒ ACB > 90o( trái với giả thiết).Vậy A > 450
Kết luận: Như vậy việc kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng
minh phản chứng giúp ta giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

2.4: Hiệu quả của SKKN:

19


a, Kết quả: Qua việc thực nghiệm dạy các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ
đối với các khối lớp ở trường THCS bản thân tôi đã nhận thấy: Hầu hết các em
HS đã không còn quan niệm việc kẻ đường phụ là một công việc mà GV mới
làm được, các em đã có thể tự làm, đặc biệt các em không phải mò mẫm để tìm
ra đường phụ mà bằng sự phân tích đề bài và tổng hợp kiến thức đã có của các
em, các em đã tự tìm ra cho mình cách kẻ thêm đường phụ hợp lý để dẫn đến
việc tìm ra lời giải bài toán dễ dàng và đơn giản. Thậm chí có những bài toán
bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ mà cho các em lời giải hay hơn, ngắn
gọn hơn. Và có thể nhờ việc kẻ thêm đường phụ mà bài toán cho các em nhiều
cách giải khác nhau ứng với mỗi cách kẻ thêm đường phụ khác nhau. Để từ đó
các em có thể lựa chọn một cách dễ hiểu nhất, ngắn gọn nhất và hay nhất để
trình bày. Đặc biệt, đối với các em HS khá giỏi đã sử dụng linh hoạt phương
pháp kẻ thêm đường phụ vào việc giải các bài toán hình khó, phức tạp, các em
đã vận dụng và đã sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập. Điều này đã giúp
các em trở nên say mê hơn và hứng thú học tập hơn. Chính vì vậy, Kết quả thu
được sau khi áp dụng sáng kiến, đã thay đổi rõ rệt so với trước như sau:
Số HS giải thành
Số HS giải chưa

Nhưng để nắm vững được các bước phân tích đòi hỏi HS phải có đầy đủ kiến
thức cơ bản, biết liên hệ các kiến thức tương tự. Và cũng từ đó giúp các em có
kỹ năng độc lập, sáng tạo, phát huy tính tự giác, tích cực trong học tập....và cũng
từ đó hình thành cho các em một số phương pháp kỹ năng làm toán.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
a. KÕt luËn:
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi thúc đẩy cho các em sự say mê và
hứng thú học tập, củng cố niềm tin cho các em khi học môn Toán nói chung và
"giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ" nói riêng. Để từ đó các em có ý
thức vươn lên và học tập tốt hơn.
b. KiÕn nghÞ: Mặc dù bản thân đã rất cố gắng khi xây dựng đề tài này,
với mức độ kinh nghiệm còn ít, năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế. Vì vậy
không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự quan tâm của các đồng chí,
mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp và

20


từ sự chỉ đạo của nhà trường và Phòng GD để bản thân và đề tài có kết quả tốt
hơn, chất lượng giáo dục hiÖn nay ngày càng cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 29 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

21



liên hệ để giải quyết bài toán
……………………………………..... 11
Dạng 1:Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau………………………….. 12
Dạng 2:Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần)
đoạn thẳng cho trước. .................................................................................. 12
Dạng 3:Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng
xác định.…………………………………………………………………… 13
Dạng 4:So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng…………. 15
Dạng 5:Tính ®é dµi đoạn thẳng.....................................................................
16
Dạng 6:Tính số đo góc..................................................................................16
B3. Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản
chứng …………………………………………………………………… 18

22


2.4:
Hiệu
quả
của
SKKN:
........................................................................
19
3. Kết luận, kiến nghị...............

20

Tài liệu tham khảo
1.