KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
2
PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận
- Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho nguời học năng lực
tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’.
- Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối
dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp
học sinh :
 Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả
năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn;
 Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho ‘‘việc học’’ là quá trình
kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh tự
hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất.
 Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí. Chú
trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp và
kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học.
- Làm thế nào để đạt được các mục đích trên ?
Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên giáo viên trước vấn đề đó người giáo viên cần
phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối
hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối
tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết
được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương
pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức
các môn học.
II. Cơ sở thực tế
- Trong các môn học trong trường THCS thì môn Toán là một trong những môn
quan trọng nhất nhưng có thể nói là khó nhất. Ở trường THCS, học sinh được học ba phân

chưa đầy đủ và không chỉ rõ khi nào thì kẻ thêm đường phụ ấy. Vì vậy, tôi viết sáng kiến
“Vẽ đường phụ để giải một số bài toán Hình học 7” nhằm giải quyết các vấn đề đặt ra.
www.VNMATH.com
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
4
PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. THỰC TRẠNG
- Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán Hình học lớp 7, tôi thấy học sinh
thường gặp một số khó khăn sau đây :
 Khó khăn trong việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ.
 Chưa biết suy luận để thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đường phụ.
 Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải
bài toán.
 Sau khi đã vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải của bài
toán mà không tìm hiểu xem tại sao người ta lại kẻ thêm đường phụ như vậy.
- Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng
nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác
bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta
thường làm theo một cách gồm các bước sau:
 Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc)
thuộc hai tam giác nào?
 Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
 Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng
bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được
cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác
cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể
nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học
7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và

90
0
. Như vậy cần phải vẽ thêm giao
điểm của hai đường thẳng này. Kéo dài
DA cắt BC và EC theo thứ tự tại H và K
(H. 1b). Ta phải chứng minh

0
HKC 90=
.
- Ta dễ dàng chứng minh được ∆ABD = ∆EBC (c.g.c), suy ra


1
1
D C=
nên để chứng
minh

0
HKC 90=
ta chứng minh
 
HKC HBD=
(vì

0
HBD 90 )=
.
- Để chứng minh

1
1
D C=
(cmt),
 
1 2
H H=
(đối đỉnh) nên
 
HBD HKC=
.
Suy ra

0
HKC 90=
(vì

0
HBD 90=
) hay HK ⊥ EC.
Vậy DA ⊥ EC (đpcm).
Nhận xét :
x
x
y
y
b)
a)
2
1

so sánh. Từ đây ta thấy có ít nhất hai hướng giải quyết :
Một là, trên CD lấy một điểm I sao cho CI = CA (H. 2b). Như vậy ta cần phải chứng
minh DI = DB. Nhưng để chứng minh được điều này lại không hề đơn giản.
x
y
x
y
x
y
c)
a)
b)
2
1
2
1
Hình 2
I
D
O
D
O
E
D
O
B
A
A
B
B

Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
7
Vậy CD = AC + BD.
Nhận xét :
Nhờ vẽ thêm giao điểm ta đã làm xuất hiện các tam giác bằng nhau, từ đó suy ra các
đoạn thẳng bằng nhau. Hơn nữa, sự xuất hiện một đoạn thẳng trung gian là DE làm cho việc
chứng minh trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
2. Kẻ thêm đoạn thẳng
a) Mục đích
Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hiện hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam
giác đều.
b) Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng
 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng cách nối hai điểm đã có trong hình vẽ
Ví dụ 3. Cho hình vẽ 1, trong đó AB // CD, AD // BC. Chứng minh rằng : AB = CD,
AD = BC.
Phân tích :
- Để chứng minh AB = CD,
AC = BD ta cần tìm ra hai tam giác
chứa các cạnh này bằng nhau. Nhưng
trên hình vẽ lại không có hai tam giác
(H. 3a). Như vậy, ta cần tạo ra hai tam
giác chứa các cặp cạnh trên.
- Đường phụ cần vẽ là đoạn thẳng nối A với C hoặc nối B với D (H. 3b).
Giải : (H. 3b)
Nối A với C.
Xét ∆ADC và ∆CBA có :


1
1

KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
8
nhau (


1
1
A C=
,


2
2
A C=
) và một cạnh chung AC. Từ đó ta có hai tam giác bằng nhau và suy
ra các cạnh tương ứng bằng nhau.
- Đây là một bài toán không khó nhưng nếu học sinh suy luận không tốt thì cũng khó
tìm ra đường phụ để giải bài toán.
 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác
Chúng ta thường dùng một trong các cách như sau :
- Lấy trung điểm của một đoạn thẳng ;
- Dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã có trên hình vẽ.
Ví dụ 4. Cho ∆ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. CMR :
a) DE // BC ; b)
1
DE BC
2
=
Phân tích :

A
B
- Từ
1
DE BC
2
=
⇔ BC = 2DE. Ta có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng nửa BC hoặc
bằng 2DE.
- Để tạo ra một đoạn thẳng bằng nửa BC, ta có thể lấy trung điểm I của BC (H. 4b).
Nhưng khi đó các tam giác trong hình vẽ ít có mối liên hệ về cạnh và góc.
- Kết hợp với việc chứng minh


1
D B=
và
1
DE BC
2
=
, ta nghĩ tới việc chứng minh
hai tam giác bằng nhau. Nhưng không thể tìm ra hai tam giác bằng nhau trong hình 9. Do đó
ta có thể nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng DE.
- Để tạo ra một đoạn thẳng bằng DE, ta có thể lấy điểm F trên tia đối của tia ED sao
cho DE = EF (H. 4c). Kết hợp giả thiết EA = EC, ta thấy ngay hai tam giác EAF và ECD
bằng nhau (c.g.c). Từ đó ta có thể tìm ra lời giải của bài toán.
www.VNMATH.com
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011

DAF BDC=
(đồng vị, AF // CD)
AF = CD (chứng minh trên)
nên ∆ADF = ∆DBC (c.g.c) DF = BC,


1
D B=
.
a) Hai góc

1
D
và

B
ở vị trí đồng vị bằng nhau nên DE // BC.
b) Ta có DF = 2DE (cách dựng), BC = DF (chứng minh trên) nên
1
DE BC
2
=
.
Nhận xét :
- Ta có thể lấy điểm F trên tia đối của tia DE sao cho DE = DF. Khi đó việc chứng
minh hoàn toàn tương tư như trên.
- Ta vẽ thêm đoạn thẳng EF bằng DE trên tia đối của tia ED (hoặc DE). Câu hỏi đặt
ra là tại sao lại phải vẽ như vậy mà không vẽ theo kiểu khác. Vì vẽ như vậy thì chúng ta mới
sử dụng được giả thiết là DA = DB và EA = EC. Rõ ràng việc làm này rất có lợi hơn khi vẽ
theo kiểu khác.

DOE COE COD 180 90 90= − = − =
x
y
1
2
Hình 5
E
D
O
A
B
C
www.VNMATH.com
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
10
Xét ∆OCD và ∆OED có :
OC = OE (chứng minh trên),


0
DOE DOC 90= =
, OD là cạnh chung
Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy ra CD = DE. Mà DE = BD + BE và BE = AC.
Vậy CD = AC + BD.
3. Kẻ thêm đường phân giác
a) Mục đích
Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng
nhau, tam giác cân, tam giác đều, …
b) Sử dụng khi nào?

 
1 2
A A=
(cách dựng)
AM chung


AMB AMC=
(chứng minh trên)
nên ∆AMB = ∆AMC (g.c.g) ⇒ AB = AC.
Nhận xét :
- Vẽ tia phân giác AM là ta đã tạo ra một cặp góc bằng nhau (
 
1 2
A A=
) và một cạnh
chung (AM) của hai tam giác (∆AMB và ∆AMC). Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm ra lời
giải của bài toán.
- Có hai cách vẽ khác : dựng AM ⊥ BC hoặc dựng M là trung điểm của BC.
a)
b)
Hình 6
2
1
M
B
C
C
B
A

với cạnh BC thì
 
0
BIM CIM 60= =
, suy ra


BIE BIM,=


CIM CID.=
Từ đó ta dễ dàng
tìm ra lời giải.
Ở đây, tôi chỉ trình bày cách thứ hai.
a)
b)
c)
1
2
1
2
2
1
4
3
Hình 7
3
4
1
2

 
0 0
2
2
B C 120 :2 60+ = =
⇒

 
0 0
2
2
BIC 180 (B C ) 60= − + =
và
0
1 4
I I 60= =
 
(tính chất của góc ngoài tam giác).
Kẻ tia phân giác của góc BIC, cắt BC ở D. Suy ra
0
2 3
I I 60= =
 
.
Xét ∆BIE và ∆BID có :
 
1 2
B B=
(gt), BI là cạnh chung,
0

. Chứng minh rằng Ax // By.
Phân tích :
- Để chứng minh Ax // By, ta phải tìm ra một cặp góc so le trong, một cặp góc đồng
vị hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau. Nhưng trên hình vẽ ta thấy không có các cặp góc
như vậy (H. 8a). Ta có thể nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ.
- Từ giả thiết



ACB A B= +
, ta có thể kẻ Cz // Ax (H. 8b). Từ đó tìm ra lời giải của
bài toán.
x
y
x
y
x
y
z
z
x
z
y
c)
d)
a)
b)
Hình 8
2
1

ACB C C= +
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
 
2
B C=
.
Hai góc

B
và

2
C
ở vị trí so le trong bằng nhau nên By // Cz (4)
Từ (1) và (4) suy ra Ax // By (đpcm)
Nhận xét :
- Việc kẻ tia Cz // Ax, ta đã làm xuất hiện các cặp góc so le trong bằng nhau.
- Ta có thể kẻ tia Cz cùng hướng với tia Ax (và By) (H. 8c), nhưng lời giải phức tạp
hơn.
- Ta cũng có thể kéo dài AC cắt tia By tại D (H. 8d) rồi áp dụng định lí tổng ba góc
và góc ngoài của tam giác.
Ví dụ 9. Cho ∆ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Kẻ DE // BC (E ∈ AC). Chứng
minh rằng EA = EC.
www.VNMATH.com
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
13
Phân tích :
- Để chứng minh EA = EC, ta phải tìm ra hai tam giác có chứa hai cạnh đó bằng

A
C
B
A
- Căn cứ vào giả thiết, DE // BC, DA = DB, ta kẻ thêm DF // AC (F ∈ BC) (H. 9b).
Dễ chứng minh ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒ AE = DF.
- Ta cần chứng minh DE = CE. Theo giả thiết và theo cách dựng ta có DE // FC,
DF // EC. Do đó DF = FC (xem Ví dụ 1). Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Giải : (H. 9b)
Kẻ DF // AC (F ∈ BC). Nối E với F.
Xét ∆ADE và ∆DBF có :


1
A D=
(đồng vị, DF // AC)
AD = BD (gt)


1
D B=
(đồng vị, DE // BC)
nên ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒ EA = DF (1)
Xét ∆DEF và ∆CFE có :


1 2
E F=
(so le trong, DE // BC)
EF chung,

Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra nửa tam giác đều
Ta thường dùng cách này khi bài toán cho một góc có số đo là 30
0
, 60
0
, 120
0
, 150
0
.
- Nếu cho góc 30
0
(hoặc 60
0
), ta kẻ đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông có
một góc bằng 30
0
hoặc 60
0
.
- Nếu cho góc 120
0
(hoặc góc 150
0
), ta thường tính góc kề bù với góc đó rồi kẻ
đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông có chứa góc kề bù.
Ví dụ 10. Cho ∆ABC có

0
A 120 ,=

AB 10
AH 5
2 2
= = =
(cm).
Vì A nằm giữa H và C nên HC = AH + AC = 5 + 15 = 20 (cm).
Các tam giác BHA và BHC cùng vuông tại H nên áp dụng định lí Pitago, ta có :
BH
2
= AB
2
– AH
2
= 10
2
– 5
2
= 75
BC
2
= BH
2
+ HC
2
= 75 + 20
2
= 475 ⇒ BC =
475
(cm)
b) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông cân

cm, BC = 20 cm,

0
B 45 .=
Tính AC.
Phân tích:
- Theo giả thiết AB =
16 2
cm,

0
B 45=
nên ta có thể
nghĩ đến việc tạo ra tam giác vuông cân có AB là cạnh huyền.
- Kẻ AH ⊥ BC, ta thấy ∆AHB vuông cân tại H. Từ đó ta
dễ dàng tìm ra lời giải.
Giải : (H. 11)
Kẻ AH ⊥ BC. ∆AHB vuông tại H có

0
B 45=
nên là tam
giác vuông cân tại H ⇒ HA = HB.
Áp dụng định lí Pitago cho các tam giác vuông AHB và AHC, ta có :
HA
2
+ HB
2
= AB
2

cm, AD = 8 cm, CD = 11 cm. Tính BC.
Phân tích:
- Rõ ràng theo hình 12a không thể tính
được BC nếu ta không vẽ đường phụ. Nhưng
vẽ như thế nào và xuất phất từ đâu?
- Căn cứ vào giả thiết, thì


0
A D 90= =
, từ đó ta kẻ đường vuông góc từ
B (hoặc C) là hợp lí nhất.
Giải : (H. 12b)
Kẻ BH ⊥ CD (H ∈ CD). Ta có : AB // DH (cùng ⊥ AD).
Xét ∆ABD và ∆HAD có :


0
A BHD 90= =
, BD chung,


ABD BDH=
(so le trong, AB // DH)
nên ∆ABD = ∆HAD (cạnh huyền – góc nhọn)
45
0
Hình 11
H
B

2
+ CH
2
= 8
2
+ 6
2
= 10
2
⇒ BC = 10 cm
d) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo ra hai tam giác vuông bằng nhau
Ví dụ 13. Cho tam giác ABC. Dựng về điểm D nằm khác phía với điểm C đối với AB
sao cho AD ⊥ AB, AD = AB; dựng điểm E nằm khác phía với điểm B đối với AC sao cho
AE ⊥ AC, AE = AC. Kẻ đường thẳng d đi qua A, vuông góc với DE tại H và cắt BC tại I.
Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
Phân tích: (H. 13a)
- Ta nhận thấy trên
hình vẽ có các cặp góc bằng
nhau :


HDA BAI=
(cùng phụ
với

DAH)


HEA CAI=
(cùng phụ



0
AHD AFB 90= =
AD = AB (giả thiết)


D GAB=
(chứng minh trên)
nên ∆HAD = ∆GBA (cạnh huyền – góc nhọn)
a)
b)
Hình 13
G
F
I
H
D
E
I
H
D
E
B
A
C
C
A
B
www.VNMATH.com

nên ∆IFB = ∆IGC (g.c.g) ⇒ IB = IC.
Vậy I là trung điểm của BC.
6. Phương pháp tam giác đều
a) Mục đích
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, đó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh
bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Để tạo thêm được vào
trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau ta có thể vẽ tam giác cân, và đặc biệt là
tam giác đều.
b) Sử dụng khi nào?
Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác đều khi hình vẽ đã có một tam giác
cân với một góc có số đo cho trước
Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần chú ý đến những tam giác chứa
góc có số đo xác định như :
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền
Sau đó ta nghĩ đến việc tính số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc
của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối
liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
Ví dụ 14. Cho ∆ABC cân tại A,

0
A 20 .=
Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD =
BC. Tính

ACD.
www.VNMATH.com

0 0 0 0
B C 80 60 20 60 A= = = + = +
Ta có thể nghĩ đến việc dựng tam giác đều. Chẳng hạn dựng tam giác đều BCE. Khi đó

0 0 0
ACE 80 60 20= − =
.
Dễ chứng minh
+) ∆ADC = ∆CEA (c.g.c) ⇒


ACD EAC=
.
+) ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒


EAB EAC=
.
Từ đó :




0
BAC
ACD EAC EAB 10
2
= = = =
Giải :
Cách 1. (h. 14a) ∆ABC cân tại A nên

nên ∆ADC và ∆CEA (c.g.c) ⇒


ACD EAC=
(1)
Xét ∆AEB và ∆AEC có :
AB = AC (vì ∆ABC cân tại A), BE = CE (vì ∆BEC đều), AE chung
nên ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒


EAB EAC=
⇒



0
BAC
EAB EAC 10
2
= = =
(2)
www.VNMATH.com
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
19
Từ (1) và (2) suy ra

0
ACD 10=
Cách 2.


0 0 0
2 1
K AKC K 60 20 40= − = − =
Ta lại có KC = KD (= AC) ⇒∆KCD cân tại K
⇒



0 0 0
2
0
180 K 180 40
KCD KDC 70
2 2
− −
= = = =
Vậy



0 0 0
ACD KCD KCA 70 60 10= − = − =
Nhận xét :
- So với cách 1, cách 2 dài hơn và phức tạp hơn.
- Có thể dựng

AED đều (E và C nằm khác phía đối với AB) (Hình 15a); hoặc dựng

ABE đều (E và C nằm cùng phía đối với AB) (Hình 15b)

20
- Từ đây ta có thể nghĩ đến việc tạo ra tam giác đều cạnh AE (H. 16b) hoặc cạnh AB
(H. 16c).
c)
a)
b)
Hình 16
D
E
D
E
E
A
C
B
B
C
A
B
C
A
Giải :
Ta có :



0 0 0
BAE BAC EAC 90 15 75= − = − =
∆ABC vuông cân tại A nên
 



0
ABD ACE 15= =
∆ABD cân tại D (vì
 
0
ABD BAD 15= =
) nên :


0 0 0 0
BDA 180 2ABD 180 2.15 150= − = − =
Suy ra :



0 0 0 0 0
BDE 360 (BDA BDE) 360 (150 60 ) 150= − + = − + =
Ta có ∆DBA = ∆DAE (c.g.c) vì :
DA = DE (vì ∆ADE đều),


0
BDA BDE 150= =
, BD chung
nên


0

Nên ∆AEC = ∆AED (c.g.c) ⇒ EC = ED và


0
AED AEC 150= =
.
Mà EC = EA (do ∆AEC cân tại E) ⇒ EA = ED.
Xét ∆BEA và ∆BED có BA = BD, EA = ED (chứng minh trên), BE chung
Nên ∆BEA = ∆BED (c.c.c) ⇒



0
0
AED 150
AEB DEB 75
2 2
= = = =
.
Nhận xét :
- Cách 1 dài và khó hiểu hơn cách 2.
- Việc tạo ra những tam giác đều như vậy nhằm tạo ra những góc bằng nhau và
những cạnh bằng nhau.
BÀI TẬP
Kẻ thêm đường vuông góc
1. Tính độ dài x trong các hình vẽ sau :
2. Tính độ dài x trong hình 18 :
A
B
C

7
x
x
Hình 19
6 2
135
0
6
B
A
x
b)
a)
x
45
0
B
C
10
A
6 2
Hình 18
www.VNMATH.com
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
22
3. Tính độ dài x trong hình 17.
4. Cho ∆ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm,

0

Ox, C ∈ Oy). Lấy điểm M trên AB, nối MO rồi từ M vẽ đường thẳng tạo với MO một
góc bằng góc BMO và cắt AC tại N. Tính

MON.
10. Cho ∆ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DH
vuông góc với BC. Trên tian AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông
góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng :
a) BA = BH ; b)

0
DBK 45=
Kẻ thêm đoạn thẳng
11. Cho ∆ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng BC = 2AM.
12. Trong miền trong của góc nhọn xOy, vẽ tia Oz sao cho


yOz 2xOz.=
Qua điểm A
thuộc tia Oy, vẽ AH vuông góc với Ox, cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy điểm D sao cho
OA. Chứng minh rằng ∆AOD là tam giác cân.
13. Cho ∆ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C nằm khác phía đối với
AB). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B nằm khác phía đối với AC).
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ DE.
Kẻ thêm đường song song
14. Trên cạnh BC của ∆ABC lấy các điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E và F, vẽ các
đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh
rằng EG + FH = AB.
15. Cho ∆ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường vuông góc với
tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng
minh rằng :

0 0
ABD 20 , ACE 10 .= =
Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của
∆KDE.
Dựng tam giác đều
18. Cho tam giác ABC có

0
C 75=
. Đường cao AH có độ dài bằng nửa BC. Tính

B.
19. Cho ∆ABC cân tại A,

0
A 100 .=
Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = BC.
Tính

ADC.
20. Cho ∆ABC vuông ở A, có

0
B 75 .=
Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho BH =
2AC. Tính

BHC.
21. Cho ∆ABC cân tại A,


A 80 .=
Gọi D là điểm ở trong tam giác sao cho

0
DBC 10 ,=

0
DCB 30 .=
Tính

BAD.
24. Cho ∆ABC có

0
A 120 .=
Trên tia phân giác của góc A, lấy diểm D sao cho AD =
AB + AC. Chứng minh rằng ∆BCD đều.
25. Cho ∆ABC cân tại A,

0
A 80 .=
Gọi K là điểm trong tam giác sao cho

0
KBC 10 ,=

0
KCB 120 .=
Chứng minh rằng ∆ABK là tam giác cân và tính


phục vụ tốt công tác giảng dạy sau này, kính mong được sự đóng góp ý kiến của thầycô, đồng
nghiệp.
Xác nhận của nhà trường
Thuỵ Thanh, ngày 20 tháng 02 năm 2011
Người viết
Trần Ngọc Đại
www.VNMATH.com