MỤC LỤC
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

TÊN MỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận
II.Thực trạng vấn đề
III. Một số biện pháp
1. Biện pháp

Cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, Đảng và Nhà nước đã xác định
được tầm quan trọng của nguồn nhân lực,vì đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho sự


phát triển bền vững của mỗi quốc gia; nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước.
Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục đang hoàn thiện dần với nội
dung kiến thức ngày càng cao đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm được kiến thức cơ
bản và thực hành một cách nhuần nhuyễn. Để được như vậy, mỗi giáo viên với
vai trò dẫn dắt học sinh, phải đào tạo học sinh thành những người có năng lực
thực sự, có đầu óc tư duy sáng tạo và là những người lao động tự chủ. Môn
Toán, với đầy đủ tính khoa học, tính lôgic, tính thực tế phần nào giúp học sinh
có đựơc khả năng phân tích tổng hợp, sáng tạo, trang bị cho học sinh kỹ năng
phát hiện và nắm bắt vấn đề. Từ đó tìm ra phương pháp giải toán và ứng dụng
toán học vào thực tế một cách tốt nhất.
Là giáo viên dạy toán, với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài và
ngày càng yêu thích môn Toán, tôi đã cố gắng giúp các em tìm ra phương pháp
giải toán phù hợp với từng dạng bài, làm sao các em tiếp thu bài tốt nhất, dễ hiểu
nhất, từ đó các em có lòng đam mê với Toán học.
II - MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 8 vẽ thêm đường phụ để giải bài tập
hình chương tam giác đồng dạng" nhằm mục đích: Giúp học sinh dễ dàng tiếp
thu kiến thức, từ học sinh khá, giỏi đến học sinh trung bình hay yếu kém đều
thấy dễ hiểu và vận dụng theo sự hướng dẫn đó để suy nghĩ và tìm lời giải cho
các dạng bài tập khác nhau. Đồng thời tạo ra động lực để học sinh yêu thích
môn học, say mê trong học tập.
III - ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
a. Đối tượng nghiên cứu: Dùng phương pháp vẽ thêm đường phụ để hướng dẫn
học sinh lớp 8 trường THCS Thăng Long giải một số dạng toán chứng minh
hình học phần tam giác đồng dạng.

Qua một số giờ dạy định hướng cho học sinh, tôi đã giúp học sinh
nhanh chóng tìm ra con đường cho việc giải một số bài toán như: chứng minh
một tích không đổi, chứng minh một tỉ lệ thức hay chứng minh đẳng thức "a.b
= c.d" trong hình học cũng như chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay chứng
minh 2 đoạn thẳng bằng nhau… Đối diện với đề bài toán, các em đã thấy tự
tin hơn và mạnh dạn vạch ra hướng đi cho bài toán đó. Các em đã thấy hứng
thú hơn với môn hình học.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:
Thực tiễn học sinh có những đặc điểm cả về chủ quan lẫn khách quan mà
người dạy cần nắm là:
- Các em còn ở lứa tuổi thiếu niên, khả năng tư duy, đặc biệt là khả năng
khái quát hoá còn yếu.
- Môn Toán là môn khoa học tự nhiên đòi hỏi tư duy logic, tư duy sáng
tạo, do vậy về tâm lý người học còn sợ, nhất là học sinh nhỏ tuổi chưa xác định
được ý chí quyết tâm, học bài nào biết bài đó, làm bài tập nào biết bài tập đó
nên khả năng tái tạo, tương tự… để nâng cao còn nhiều hạn chế.
- Phương pháp học tập, nghiên cứu của các em học sinh còn nhiều bất cập
mà chương trình học tập lại được nâng cao hơn.

4


- Kiến thức thực tế, kiến thức xã hội của các em học sinh còn nghèo nàn,
vì vậy khả năng tiếp thu, khả năng tư duy, phân tích tổng hợp, khả năng vận
dụng vào thực tế cuộc sống đôi khi còn nhiều lúng túng.
Từ những nguyên nhân trên, việc dạy học theo phương pháp lấy học sinh
làm trung tâm, dạy học theo hướng phát huy tính tự lực của học sinh là cần thiết
trong việc nâng cao chất lượng dạy và học Toán.
Đối với trường THCS Thăng Long, ba mục tiêu trọng tâm dạy và học của
nhà trường là chú trọng chất lượng mũi nhọn, nâng cao chất lượng đại trà, giảm

Giáo viên hướng dẫn, làm mẫu một số bài tập với các dạng toán khác
nhau, từ đó định hình rõ nét “đường phụ” cho học sinh.
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC và BD cắt nhau tại O,
AD và BC cắt nhau tại K. CMR: OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.
Hướng dẫn học sinh:
Kẻ EF // CD và EF đi qua O. Dễ dàng chứng minh được OE = OF (bài toán
quen thuộc). Từ đó, sử dụng cặp đoạn thẳng bằng nhau này để chứng minh cho
AN = BN; DM = CM.
Giải:
Vẽ đường thẳng EF đi qua O và song song với CD (E ∈ AD và F ∈ BC).
Áp dụng hệ quả của định lí Talet, ta có:
K

EO AO
=
(1)
DC AC
OF BO
=
DC BD

(2)
A

Từ giả thiết AB // CD, ta lại có:

E

OA OB
OA

C

EO OF
=
=> EO = OF
DC DC

AN KN BN KN
=
;
=
EO KO FO KO

AN BN
=
=> AN = BN.
EO FO

6


Chứng minh tương tự, ta được DM = CM
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến.
Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt BC tại E. CMR: EB = 2 EC
Hướng dẫn học sinh:
Từ kết luận EB = 2 EC, kết hợp với giả thiết là ΔABC vuông cân, BD là đường
trung tuyến, ta nghĩ đến trọng tâm G của ΔABC.
Vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC), G là trọng tâm của ΔABC, ta có: GB = 2 GD.
Mặt khác, ta cũng có G là trực tâm của ΔABE nên EG ⊥ AB. Từ đó có EG //
CD suy ra EB = 2 EC

Mà

EB GB
=
(Theo định lí Talet)
EC GD

GB
EB
= 2 =>
= 2 => EB = 2 EC
GD
EC

Ví dụ 3: Cho ΔABC có AB < AC, D và E là các điểm lần lượt trên các cạnh AB
và AC sao cho BD = CE; DE cắt BC tại K.
CMR:

AB KE
=
AC KD

Hướng dẫn học sinh:

7


Việc chứng minh trực tiếp

AB KE


F

C

K

AB EF
=
AC CE

Mà BD = CE (gt), do đó:
Từ (1) và (2) =>

AB EF
=
(2)
AC BD

AB KE
=
AC KD

Lưu ý: HS có thể vẽ đường thẳng song song khác để tạo ra cặp tam giác đồng
dạng.
Ví dụ 4: Cho ΔABC với G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kì qua G cắt các
cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
CMR:

AB AC

G

BI = CI

D

M
1

·
·
(so le trong)
DBI
= ECI

I

B

2

C

E

=> ΔIBD = ΔICE (g.c.g)
=> BD = CE, ID = IE
Xét ΔAMG có MG // BD nên
Xét ΔANG có GN // EC nên



Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,
BC. Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N. Chứng
minh rằng: MA. NC = MB. ND
Hướng dẫn học sinh:
Từ kết luận: MA. NC = MB. ND ta có:

MA ND
=
nên ta nghĩ đến việc vẽ thêm
MB NC

đường phụ: AG // BC, DH // BC (G, H ∈ EF). Từ đó, áp dụng định lí Talet ta sẽ
được các tỉ lệ thức.
M

Giải:
Vẽ AG // BC, DH // BC (G, H ∈ EF)

N

=> AG // DH.
B

Xét ΔMAG có BF // AG nên
MA AG
=
(hệ quả của định lí Talet)
MB BF


(Do AG // DH)
EAG
= EDH

=> ΔEAG = ΔEDH (g.c.g)
=> AG = HD
Mà BF = FC (gt) =>

MA ND
=
MB NC

Vậy MA. NC = MB. ND
Ví dụ 6: Cho ΔABC cân đỉnh A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình
chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI.
CMR: ΔBIC ∽ ΔAOH
Hướng dẫn học sinh:
·
·
·
ΔBIC và ΔAOH có BIC
= ·AHO ta tìm cách chứng minh IBC
= OAH

Ta đã có: BC ⊥ AH, chỉ cần chứng minh OA ⊥ BI
Do đó ta sẽ lấy thêm điểm phụ là K - trung điểm của IC
Giải:
Gọi K là trung điểm của IC, AO cắt

A

·
BCI
= ·AHO (cùng phụ với góc OHC)
·
·
( cùng phụ với góc BJO)
IBC
= OAH

=> ΔBIC ∽ ΔAOH (g.g)
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có Â = 90 0, D là điểm thuộc cạnh AC. Từ C vẽ
đường thẳng d song song với BD. Vẽ BE vuông góc với d tại E.
CMR: ΔBAE ∽ ΔDBC
Hướng dẫn học sinh:
BA BE
·
=
Ta thấy ·ABE = BDC
. Ta cần chứng minh:
BD

DC

Từ đó, vẽ đường phụ BF // AC (F ∈ EC)
Tứ giác BDCF là hình bình hành, chứng minh ΔABD ∽ ΔEBF. Từ đó ta có lời
giải cho bài toán.
Giải:
Vẽ BF // AC (F ∈ EC)
Tứ giác BDCF là hình bình hành vì BF // AC; FC // BD (gt)
·

=>
=
=>
BE BF
BD BF
BA BE
=
Mà BF = DC =>
BD DC

F
E

Ta lại có: BD // EC, BE ⊥ EC => BE ⊥ BD
Xét ΔBAE và ΔDBC có:
·ABE = BDC
·
(cùng bù với góc DCF)
BA BE
=
BD DC

=> ΔBAE ∽ ΔDBC (c.g.c)
11


Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
CMR: BH.BD + CH.CE = BC2.
Hướng dẫn học sinh:
Ta cần làm xuất hiện 1 tổng của 2 tích bên vế phải.

F

C

BH.BD + CH.CE = BC.BC
⇑

BH.BD + CH.CE = BC. (BF + FC)
⇑

BH.BD + CH.CE = BC.BF + BC.FC
⇑
BH BF
=
;
BC BD

CH FC
=
BC CE
⇑

∆BHF ∽ ∆BCD; ∆CHF ∽ ∆CBE
Giải:
Vẽ HF ⊥ BC (F ∈ BC)
Xét ∆BHF và ∆BCD. Ta có:
BFH = BDC = 900
B chung
⇒ ∆BHF ∽ ∆BCD (g.g)


Giáo viên HD:
Tương tự như VD8, ta tách AC2 = AC. AC = AC (a+b) = AC.a + AC.b
Từ đó làm xuất hiện 1 điểm trên cạnh AC. Dựa vào đề bài, vẽ đường phụ BH ⊥
AC (H ∈ AC) hoặc DH ⊥ AC (H ∈ AC).

E

Học sinh phân tích sơ đồ ngược :
AB.AE + AD.AF = AC2 = AC (AH+HC)
⇑

C

B

AB.AE + AD. AF = AC.AH + AC.HC
⇑

AB.AE = AC.AH ; AD.AF = AC.HC

H
A

D

F

⇑
AB AH AD HC
BC HC

BCH = CAF (so le trong, do BC//AF)
⇒ ∆HBC ∽ ∆FCA (g. g)
⇒

BC HC
⇒ BC.AF = AC.HC
=
AC
AF

Mà AD = BC (vì ABCD là hình bình hành)
⇒ AD.AF = AC.HC

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ AB.AE + AD.AF = AC.AH + AC.HC
= AC (AH + HC) = AC2 (đpcm)
Bài 2. Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác trong của góc BAC, D thuộc
BC. CMR: AD2 = AB. AC - DB. DC.
Giáo viên HD:
Tương tự như bài tập trên, ta tách :
AD2 = AD. AD = AD (a - b) = AD.a - AD.b
Từ đó làm xuất hiện 1 điểm trên tia AD, sao cho các tích bên trái tương ứng
bằng các tích bên phải.
Giả sử điểm M thuộc tia AD sao cho:
AD. DM = DB. DC
=>

AD DB
=

Gọi M là giao điểm của Cx và AD
Xét ΔADB và ΔCDM, có:
·
·
BAD
= DCM
·
·
(đối đỉnh)
BDA
= CDM

=> ΔADB ∽ ΔCDM (g.g)
AD DB
¶ và
=
=> Bµ = M
=> AD. DM = DB. DC (1)
DC DM
·
·
¶ (chứng minh trên)
Xét ΔADB và ΔACM, có: BAD
(gt); Bµ = M
= MAC

=> ΔADB ∽ ΔACM (g.g)
=>

AD AB

DA
AC
AB AC
=
+1 =
+ 1 <=>
=
+1
<=>
DB BC
DB
BC
DB BC

Do đó, ta cần chứng minh:

PC AB
=
PD DB

Để chứng minh hai tỉ số này bằng nhau ta nghĩ đến vận dụng định lí Talet, muốn
vậy phải làm xuất hiện đường thẳng song song. Với suy nghĩ trên, ta có các
cách giải quyết sau:
Cách 1: Vẽ DK // BM (K ∈ AC)

B

D

I

PD DB

Cách 2: Kẻ DI // AC (I ∈ BM) rồi áp dụng hệ quả của định lí Talet
Dựa theo hướng dẫn đó, HS có thể có nhiều cách vẽ thêm đường phụ để giải.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng d cắt cạnh AB và cạnh AD
lần lượt tại các điểm E và F. Gọi G là giao điểm của d và đường chéo AC.
CMR:

AB AD AC
+
=
AE AF AG

Giáo viên HD:
Tạo ra các đường thẳng song song để có được các tỉ lệ thức liên quan đến các tỉ
số:

AB AD
;
và chuyển các tỉ số đó về các tỉ số có mẫu là AG
AE AF

Từ đó, ta vẽ đường phụ là BM // EF; DN // EF
Giải:
Vẽ BM // EF; DN // EF => BM // DN

D

Xét ΔABM có: EG // BM
=>


G
A

E

B

Mặt khác, ΔADN = ΔCBM (g.c.g) => AN = CM
Do đó,

AB AD AM + CM AC
+
=
=
(đpcm)
AE AF
AG
AG

1.3. Bài tập về nhà:
16


Bài 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo
BD, AC (M không trùng N). Đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt ở E và F.
CMR: AE . BF = DE . CF
HD: Vẽ AG // BD, CH // BD (G, H thuộc EF).
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.
Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N.



Đầu năm học 2015-2016
Lớp

Giỏi

Khá

TB

Cuối năm học 2015-2016
Yếu kém

Giỏi

Khá

TB

Yếu kém

SL

%

SL

%


39

13

30

2

5

11

26

22

51

10

23

0

8B

0

0


quá trình học tập.
- Giáo viên cần chuẩn bị tốt nội dung bài dạy - những vấn đề có tình
huống và phương pháp giải quyết tốt nhất. Trên cơ sở đó hướng cho học sinh mở
rộng bài toán và có nhiều cách giải.
- Giáo viên luôn luôn có niềm tin ở khả năng của học sinh, tôn trọng,
khích lệ sự tiến bộ của học sinh cho dù từ những ý kiến, việc làm nhỏ thành
công của các em. Luôn khơi gợi cho học sinh niềm đam mê hứng thú với Toán
học nói riêng và các môn học khác nói chung.
- Giáo viên luôn gần gũi, nắm bắt tâm lý học sinh để từ đó có những
phương pháp dạy phù hợp, phát huy tính tích cực của học sinh.
- Giáo viên phải tích cực học tập, trao đổi, không ngừng nâng cao kiến
thức và phương pháp dạy học nói chung và dạy toán nói riêng.

C. PHẦN KẾT LUẬN
18

%
0
5


Trên đây là một vài ý kiến cùng trao đổi với các đồng nghiệp nhằm giúp học
sinh khắc sâu kiến thức, giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, dễ hiểu. Trong
thực tế giảng dạy với những suy nghĩ giúp học sinh học Hình học tốt hơn, yêu thích
môn học này hơn, tôi thấy học sinh tiến bộ rất nhiều. Trong những năm qua với sự
nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, chất lượng học sinh
ngày càng được nâng cao, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi ngày càng tăng. Bản
thân tôi khi thực hiện đề tài ở các tiết dạy tôi thấy có kết quả rõ rệt, học sinh tích
cực làm việc, hình thành thói quen xem xét nghiên cứu vấn đề.
Tuy nhiên do thời gian cũng như khả năng bản thân còn nhiều hạn chế nên


Nhà xuất bản

Nhà xuất bản
Giáo dục
Nhà xuất bản
Sách bài tập lớp 8
Tôn Thân (Chủ biên)
Giáo dục
Toán nâng cao và các Vũ Dương Thuỵ - Nhà xuất bản
chuyên đề Hình học 8
Nguyễn Ngọc Đạm.
Giáo dục
Vẽ thêm yếu tố phụ để giải
Nhà xuất bản
Nguyễn Đức Tấn
một số bài toán hình học 8
Giáo dục
Nâng cao và phát triển
Nhà xuất bản
Vũ Hữu Bình
toán 8
Giáo dục
Sách giáo khoa lớp 8

Phan Đức Chính
(Tổng chủ biên)

20