I. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
Từ đầu lớp 11 trở về trước học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn chỉ là
hình phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung
thành hình dạng và có thể cả về kích thước trên mặt giấy. Mọi quan hệ giữa các
đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Từ chương II hình học lớp 11
trở đi, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ
như quan hệ vuông góc, quan hệ cắt nhau,... của các đối tượng. Đó là một khó
khăn rất lớn của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình
học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách
quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo
viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương
pháp giải các dạng bài tập hình hoc không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn
học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến
thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh
ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh
còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó,nên tôi nghiên cứu nội dung này
nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng
nhằm tháo gỡ những vướng mắc khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với
mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học sinh nói chung và môn hình học
không gian nói riêng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,
không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do dó mà học sinh dễ dàng áp dụng được
vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Từ lí do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp thành
một chuyên đề: ‘Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song
song trong không gian’.
Qua nội dung này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm
một số kĩ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên
quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày

2


2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để
giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định
hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau. Trong dạy học, giáo
viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập
những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động
cơ , hướng có đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm
thành công .Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viên.
Trong chương II ‘ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song’ sách giáo khoa có giới thiệu một số khái niệm, trong đó có khái niệm về
giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện
cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện. Do đó nếu có được hệ thống phương
pháp giải các bài toán:
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng( α ).
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Bài toán 3: Tìm thiết diện cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện.
Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt phẳng
Thì học sinh có thể nắm vững được kiến thức để vận dụng làm các bài tập, gây
hứng thú trong học tập cho học sinh. Mặt khác đây lại là chương kiến thức nền
tảng cho cả phần hình học không gian nên rất cần thiết.
Vì vậy tôi thấy việc đưa ra : ‘Phân loại và phương pháp giải một số toán
về quan hệ song song trong không gian’ là một việc rất bổ ích cho việc dạy của
giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường rất
lơ mơ và ngại học môn hình học không gian. Khi gặp các bài toán thì không phân

chính là giao điểm J. Một số học sinh khá hơn
sẽ nhận ra điều đó là sai song chưa xác định được
đường thẳng EF sẽ cắt đường nào của mặt (ACD).

Hình 1

Bài toán 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O’ là tâm của hình bình hành
A’B’C’D’; K là trung điểm của CD, E là trung điểm của BO’.
a) Chứng minh rằng E nằm trên mặt phẳng (ACB’)
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua K và song
song với mặt phẳng (ACE).
*Học sinh thường lúng túng không biết cách chứng minh cho E thuộc một đường
thẳng khác nằm trên mặt phẳng (ACB’). Do đó đến câu b) học sinh sẽ không
nhận ra được mặt phẳng (ACE) chính là mặt phẳng (ACB’) nên rất khó khăn
trong việc xác định thiết diện.
Lúc này vai trò của giáo
viên là phải định hướng
cho học sinh chứng minh
được E là giao điểm của
BO’ với OB’ nằm trong mặt
phẳng (ACB’).

Bài toán 3: Cho
đáy là một tứ
đường
a) Xác
b)

Hình 2
hình

vậy để học sinh có hình ảnh trực quan tôi sẽ cho các em chuẩn bị một số mô hình
về các hình không gian như hình tứ diện, hình hộp,…các hình này được làm
khung bằng các que, các mặt thì gắn bằng bìa. Ngoài ra còn chuẩn bị một số que
làm mô hình đường thẳng và giấy bìa làm mô hình mặt phẳng. Khi dạy đến từng
phần tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy bằng mô hình trực quan đó, sau đó yêu cầu học
sinh vẽ lại hình biểu diễn của hình
Ví dụ dạy về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tôi sẽ lấy ví dụ
Bài toán Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam
giác ABC và BCD. Gỉa sử đường thẳng EF
cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J. Hãy xác định
điểm J đó.
Lúc này mô hình mà tôi sử dụng là hình tứ
diện với khung được làm bằng các que các mặt
ngoài không gắn bìa, tôi sẽ chỉ cho các em thấy
đường thẳng EF là đường nào. Sau đó cho các em
nhận xét quan hệ giữa đường thẳng EF với các cạnh
của tứ diện. Tiếp đó tôi sẽ gọi một học sinh lên
5


bảng vẽ hình biểu diễn.
Để tìm giao điểm J tôi sẽ định hướng cho học sinh đường thẳng EF nằm trên
mặt phẳng (BEF) và bằng tấm bìa cho các em quan sát mặt phẳng (BEF) không
phải chỉ là phần chứa tam giác BEF.
Khi dạy bài toán thiết diện trước hết cần cho học sinh nhìn thấy trực quan thiết
diện của một hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng. Tôi sẽ sử dụng mô hình là một
khung chóp và một tấm bìa, tùy vào vị trí của tấm bìa tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy
thiết diện


trước.
Tiên đề 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
6


Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tiên đề 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
* Ví dụ:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao
AJ=

2
AD
3
. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).

cho
Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần
tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh
điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên
một mặt phẳng và không song song.
A

A
I
J

I
J

Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 8) học sinh khó mà
tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt
được đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm
là đường thẳng SC. Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD)
chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO. Từ
đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần
tìm. (hình 10)

7


S

S

I

I

J

M

J
P

M

A


I

J

J
P

M
A

P

M
A

B
F

B

O

D

C

O

D


F

H
B

F
O

D

P

M
A

C

O

D

C

E

E

Hình 13

Hình 14

 A ∈ (α ) ∩ ( β )

Tóm tắt: Nếu B ∈ (α ) ∩ (β ) thì AB=(α ) ∩ ( β ) ( Hình 15)

Hình 15
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:
Dựa vào các định lý sau:

* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu

(α ) ∩ (γ ) = a

( β ) ∩ (γ )=b
(α ) ∩ (β )= c


thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
9


* Hệ quả: Nếu

 a // b

 a ⊂ (α ), b ⊂ (β )
(α ) ∩ (β )= d


Hình 16


(α ) // (β )

* Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu (γ ) ∩ (α ) = a thì

Hình 21

(γ ) ∩ (β ) = b

 a // b
( hình 21)

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai
điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu
trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định
lý và hệ quả nêu trên)
* Ví dụ:
Bài 3: Trong mp( α ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD
cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp( α ). Tìm giao tuyến của các mp
sau:
a) Mp (SAB) và mp(SCD)
b) Mp(SAC) và mp(SBD)
c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC).
* Nhận xét:
Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm
chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 22). Tương tự đối với hai mp(SAC)
10


và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình
23)

S

B
A

E

M
F
C

N
D

Hình 24
* Lời giải:
a) Ta có S ∈ ( SAB) ∩ ( SCD) (1)

E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ ( SAB) ∩ ( SCD) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SE = ( SAB) ∩ ( SCD)

b) Ta có S ∈ (SAC ) ∩ (SBD ) (*)

F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD) (**)
Từ (*) và (**) ⇒ SF = ( SAC ) ∩ ( SBD)

c) Gọi M = BC ∩ EF , N = AD ∩ EF
Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
S ∈ ( SAD) ∩ ( SEF)
N ∈ ( SAD ) ∩ ( SEF)

B

D

Q
N

D'

A

P

N

B'

C'

A'

D'

P
B'

C'

Hình 25
Hình 26

Lời giải.
Ta có
⇒ mp ( MNP ) ∩ mp( ABC ) = MN
mp( MNP) ∩ mp ( BCD) = NI
NI ∩ BD = P
mp( MNP) ∩ mp ( ACD ) = MI

Hình 27

12


Ta có các đoạn giao tuyến là NP, PE, EM, MN. Do đó thiết diện là tứ giác MNPE.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,
N, E là 3 điểm lần lượt lấy trên 3 cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp
cắt bởi mặt phẳng (MNE).
Nhận xét : Đối với bài tập này xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNE) với mặt
đáy thì dễ dàng nhưng với các mặt khác thì học sinh rất lúng túng. Lúc này vai trò
của giáo viên rất quan trọng . Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh tìm được
giao điểm Q của SB với mặt phẳng (MNE). Sau khi tìm được Q học sinh sẽ dễ
dàng tìm được giao tuyến với các mặt của hình chóp, từ đó tìm được thiết diện.
Lời giải.
Gọi K là giao của MN và BD.
Trong mặt phẳng (SBD) ta có KE cắt SB tại Q.
KE ∩ SB = Q

Trong mặt phẳng (ABCD) có
MN ∩ AB = J
MN ∩ CB = I
⇒ mp( MNE ) ∩ mp( ABCD) = IJ

viên cần hướng dẫn học sinh tạo ra một mặt phẳng ( β )
chứa đường thẳng này mà song song với đường thẳng
kia. Khi đó mp (α ) //mp ( β ) .
Lời giải . Gọi D là điểm mà A’C’B’D là hình bình
hành . Khi đó ta có CB’//AD.
Vì E∈ (α ) //CB’, Do đó qua E kẻ đường thẳng
song song với CB’ cắt C’B’ tại F.
⇒ (α ) ∩ (CC ' B ' B ) = EF . Vì (α ) //(AHD) , do đó qua F kẻ đường thẳng song song với
DC’ cắt A’B’ tại M,
Qua M kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại N , qua N kẻ đường thẳng
song song với MF cắt AC tại K . Vậy mặt phẳng (α ) cắt lăng trụ theo thiết diện là
ngũ giác MNKEF.
Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC và một điểm M nằm trong ∆ABC . Các đường
thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC cắt các mặt phẳng
( SBC ) , ( SCA) , ( SAB ) tại A' , B' , C ' .
a) Gọi N là giao điểm của SA’ với BC. Chứng minh các điểm A,M, N thẳng
hàng và từ đó suy ra cách dựng điểm A’.
S MBC MA'
=
S
b) Chứng minh rằng ABC SA .

c) Chứng minh rằng
Hướng dẫn.
- Để chứng minh 3 điểm A, M , N thẳng hàng thì học sinh cần chỉ ra
được nó là điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt ( ABC ) , ( SA, MA') .Từ
đó suy ra N = AM ∩ BC .
- Nếu xét trong mặt phẳng (SAN) thì được kết quả nào.


S MCA MB'
S MAB MC '
=
=
S ABC
SB và S ABC
SC
MA' MB' MC ' S MBC + S MCA + S MAB S ABC
+
+
=
=
=1
SA
SB
SC
S
S
ABC
ABC
Vậy
.

Ví dụ
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ( P ) lần lượt
cắt các cạnh SA, SB, SC tại A' , B' , C ' . Gọi O là giao điểm của AC và DB , I là giao
điểm của A'C ' và SO .
a) Tìm giao điểm D' của mp ( P ) với cạnh SD.
SA SC 2SO
+

=
=
SC ' SI
SI

(1)

(2)
Do O là trung điểm của AC và AE // CF ,
Nên OE=OF.
SA SC 2SO
+
=
Vậy từ (1) và (2), suy ra SA' SC ' SI . (3)

c) Chứng minh tương tự như câu b), ta có
SB SD 2 SO
+
=
SB ' SD'
SI
(4)
SA SC SB SD
+
=
+
Từ (3) và (4) suy ra SA' SC ' SB' SD' .

Bài tập tự luyện .
Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ . Trên đường thẳng BA lấy một điểm M

11M
11D
11K

Sĩ số

43
50
45
III.

Điểm 8 trở lên

Điểm từ 5 đến 7

Số Tỷ lệ
lượng

Số Tỷ lệ
lượng

10
12
14

28
30
27

23,3%

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, song chắc chắn còn nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cơ sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng
học tập.
17


DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sách giáo khoa hình học 11
Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách hướng dẫn giảng dạy
Nhà xuất bản giáo dục
3. Sách bài tập hình học 11
Nhà xuất bản giáo dục
4. Nguyễn Cam- Nguyễn Văn Phước- Nguyễn Hoàng Nguyên- Tuyển chọn
400 bài tập tự luận và trắc nghiệm- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm
2007.
5. Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải toán hình
không gian 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 1997
6. Chuyên đề luyện thi vào đại học Hình học không gian – Trần Văn Hạo
(Chủ biên)

Bài toán 4.Đưa các bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong
mặt phẳng ---------------------------------------------------------------------------2.4. Kiểm nghiệm ----------------------------------------------------------16
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT------------------------------------------A- Kết luận -------------------------------------------------------------------B- Đề xuất và kiến nghị -----------------------------------------------------

17
17
17

19