ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 1


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
I. Định nghĩa.
Giả sử hàm số f xác định trên tập K  K    . Khi đó:
a) Nếu tồn tại một điểm x0  K sao cho f  x   f  x0  , x  K thì số M  f  x0  được gọi là giá trị
lớn nhất của hàm số f trên K. Kí hiệu: M  max f  x  .
xD

b) Nếu tồn tại một điểm x0  K sao cho f  x   f  x0  , x  K thì số m  f  x0  được gọi là giá trị
nhỏ nhất của hàm số f trên K. Kí hiệu: m  min f  x  .
xD

II. Nhận xét.
1.Như vậy để có được M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên K ta phải chỉ
ra được :
a) f  x   M ( hoặc f  x   m ) với mọi x  K .
b) Tồn tại ít nhất một điểm x0  K sao cho f  x0   M ( hoặc f  x0   m ).

b
đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm
2a

b
đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm
2a

b
.
2a

b) Xét trên tập K   hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 2


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

 c
ax  b
c) Xét trên K   \    hàm số y 
không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
cx  d

2

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Ta có: y  f ( x ) liên tục và luôn nghịch biến trên  a; b  x  a; b thì f (b)  f ( x)  f ( a) .
Suy ra hàm số y  f ( x ) đạt giá trị lớn nhất tại điểm x  a .
3

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x  12 x  2 trên đoạn 1;4 là

A. 13.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.

B. 2.

C. -14.

D. 18.

 x  2
. Do x  1; 4 nên x  2 .
Ta có y  3x2  12 . Cho y   0  3x 2  12  0  
x  2
y 1  13, y  2   18, y  4   14 . Vậy min y  y  4   14 .
[1;4]



3

Trang 3


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

x3
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x 2  3x trên đoạn 0; 2 .
3
2
5
2
B. max y  ; min y  0.
A. max y  ; min y   .
0;2
0;2


0;2


3
3
3 0;2
5
C. max y  9; min y   .
D. max y  9; min y  0.
0;2
0;2

B. .
C.  .
3
6
6
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Ta có: y   x 2  x  2 ;
y   0  x  1  x  2 (loại).
1
1
5
1
y     ; y 1  ; y  2    ;
6
6
3
2
1
Vậy max y  y 1  .
1 
6
 ;2 

1 
 2 ;2  là
D. 

13
3

37
; min y  4 .
8  1 ;3

D. max y  4; min y  8 .

2 

2 

1 
 2 ;3



1 
 2 ;3



1 
 2 ;3 

37
.
8

1 
 2 ;3


1
Do y  2   8 ; y     ; y  3   4 nên max y  4; min y  8 .
1 
1 
7
2
 2 ;3
 2 ;3








2
3
Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  x 2  5 x  1 trên đoạn   2;2 .
3
2
29
251
1
A. min y   .
B. min y  3 .
C. min y  
.
D. min y   .
 2;2.

3
Câu 8. Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  35

trên đoạn  4;4 là:
A. M  40; m  41 .
B. M  40; m  8 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Hàm số liên tục trên đoạn  4;4

C. M  41; m  40 .

D. M  15; m  8 .

x  3
y   3 x 2  6 x  9 . y  0  x 2  2 x  3  0  
 x  1
Ta có y  4   41 ; y  4   15 ; y  1  40 ; y  3  8
Vậy M  max y  40 và m  min y  41 .
[ 4;4]

[ 4;4]

3

2

Câu 9.Hàm số y  x  2x  7x  5 có giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M trên đoạn [1;3].

Khi đó tổng m + M bằng

3


7
257
257
338
y(1)  3 , y(3)  7 , y ( ) 
; M  3  m  M  
.
m
3
27
27
27

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 5


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Câu 10.Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm số y  2 x 3  3 x 2  1 trên đoạn


1

Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x3  2 x 2 – 7 x  1 trên đoạn  0; 2  là:

A. 1 .
B. 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Xét hàm số f  x   x3  2 x 2 – 7 x  1

C. 3 .

D. 4 .

 x  1(n)
Ta có: f '( x)  3 x 2  4 x - 7 . f '( x)  0  3x 2  4 x - 7  0  
7
x 
(l )
3

f (0)  1, f (2)  3, f (1)  3.
Vậy: max f ( x)  3.
[0;2]

Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm y  f ( x )  2 x 3  3x 2  12 x  2 trên đoạn  1;2 .

A. max y  6 .
-1;2

B. max y  10 .
1;2 

 x  1   0;38
y  0   0; y 1  2 ; y  38  54758 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 6


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Vậy m  2
3
2
Câu 14. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  x  x  8x trên đoạn [1;3] .
A. max y  4 .

B. max y  8 .

[1;3]

[1;3]

D. max y 

C. max y  6 .

[1;3]


Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
x  0
Ta có : y   3 x 2  6 x . Khi đó y   0  
x  2

C. 3.

D. 0.

Xét x  1;3 : ta có x  0 (loại ); x  2 ( nhận).
Ta có : y 1  1 ; y  2   1 ; y  3  3 .
Suy ra M  3; m  1 . Do đó : T  2 .
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 3  3 x  1 trên đoạn [0 ; 2]
A. max y  3 và min y  1 .
B. max y  1 và min y  1 .
0 ; 2 

0 ; 2 

0 ; 2

C. max y  3 và min y  1 .
0 ; 2 

0 ; 2 

0 ; 2 

D. max y  9 và min y  3 .

Câu 17. Trên đoạn  1;1 , hàm số y  

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 7


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Ta có y  4 x 2  4 x 1.
1
y   0  4 x 2  4 x  1  0  x   .
2
17
22
8
 1
Vậy y 1   , y  1   , y      .
6
3
3
 2
Câu 18. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x 3  3 x 2  12 x  2 trên

đoạn  1;2 . Tìm tổng bình phương của M và m
A. 250 .
B. 100 .

 x  0(N)
y '  0  3x 2  6 x  
.
 x  2(L)
y (1)  4  a , y ( 1)  2  a , y (0)  a .
Trên đoạn  1;1 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 .
Suy ra min y  y (1)  4  a  2  a  6 .

Câu 20. Hàm số y  x 3   m 2  1 x  m  1 đạt GTNN bằng 5 trên  0;1 . Khi đó giá trị của m là
A. 5.
B. 3.
C. 1.
D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có y  3x 2  m 2  1  0 với mọi x   0;1 nên hàm số luôn đồng biến trên  0;1.
Vì hàm số đã cho là hàm đa thức, liên tục trên  0;1 nên min y  y  0   m  1.
x0;1

Ta cho m  1  5  m  4.
Vậy m  4 thỏa mãn.
Câu 21. Cho hàm số y  x3  3 x  1 . Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị m  0 , để giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên D   m  1; m  2  luôn bé hơn 3 là
A.  0;1 .

1 
B.  ;1 .
2 

C.  ;1 \ 2 .

m  2
 m1;m  2

Kết hợp điều kiện . Suy ra m   0;1 .

Câu 22. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên  1;2
A. min y  2 .

B. min y  2 .

 1;2

C. min y  1 .

1;2

D. min y  1 .

 1;2

1;2

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có : +) y '  4 x 3  4 x , y '  0  4 x 3  4 x  0  x  0
+) y  0   1 , y  1  2 , y  2   23
Vậy min y  1
1;2

Câu 23. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên

2

Khẳng định nào sau đây là sai?
f x   f 2 .
A. max


2;2

f x   f 1 .
C. min
2;2






.

f x   f 2 .
B. max
2;2








Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4 x  5 trên đoạn  1; 2  bằng?

A. 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.

B. 2 .

C. 3 .

D. 5 .

x  0
y  x4  4 x 2  5 suy ra y /  4 x3  8x . Ta có y /  0  
.
x   2
y  1  2 , y  0   5 , y 2  1 , y  2   5 . Vậy GTNN là 1 .

 

Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 

3x  1
trên đoạn  0;2
x 3

1
1
A.  .
B. -5.

Chọn đáp án D.
TXĐ: D   \ 0 .

Ta có y 

1
 0 , x  0 .
x2

Hàm số đồng biến trên  2; 1 và y  2  
Vậy min y 
 2;1

9
, y  1  5 .
2

9
.
2

Câu 28.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 

x 1
trên đoạn 1;3 là:
2x 1

A. GTNN bằng 1; GTLN bằng 3.

B. GTNN bằng 0; GTLN bằng


Phần Hàm số - Giải tích 12

2
.
7

Vậy GTNN bằng 0; GTLN bằng
Câu 29. Cho hàm số y 

2
.
7

x 1
. Chọn phương án đúng trong các phương án sau:
2x 1

A. min y  1 .

B. max y  2 .

x 1;2

C. max y  0 .

x0;1

D. max y 


A.  .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
+ TXĐ: D  R \ 1.

+ y' 

3

1  x 

2

2x 1
trên đoạn 2;3 bằng:
1 x

B. 5

C. 3

D.

3
4

D.

1

2

1
y  0   , y  2   5
3
Suy ra max y  5 .
 0;2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 11


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Câu 32. Kí hiệu m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 

[1;4]. Tính giá trị biểu thức d  M  m.
A. d  3.
B. d  4.

C. d  5.

x3
trên đoạn
2x 1



D. 1 .

3

 0  x  0; 2 .
2
 x  1
f  x  đồng biến trên 0; 2  M

f  x  

C. 1 .

x2
trên
x 1

 max f  x   f  2   0 , m  min f  x   f  0  2 .
0;2

0;2

Vậy M .n  0

x2 1
Câu 34.Gọi Q là giá trị lớn nhất và K là giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
trên đoạn 1; 2 . Khi
x 1
24Q  27 K

 x  1  2
 K  y (1)  1

y ' đồng biến trên [1; 2] nên 
5.
Q  y (2)  3

Suy ra

24Q  27 K
3927
 1997 
.
2
2





Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  m 2  1 x  m  1 đạt GTNN bằng 5

trên  0;1 .
A. 5 .
B. 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
y   3 x 2   m2  1  0, x   .

C. 1; 2 .


B. m  3 .

Ta có: D   \ m và y  

m2  1

 x  m

2

C. m  1 .

D. Không tồn tại.

 0, x  D .

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số y 

mx  1
trên đoạn [1; 2] bằng 2 khi và chỉ khi
xm

 m 1
 y 1  2
 2

 1  m
m3


m 2  1

 x  m

2

D. m 

3
.
4

 0 với mọi x  m .

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Do đó trên đoạn  2;4 hàm số nghịch biến. Suy ra f  2   f  4  .
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;4 là f  2  

2m  1
.
2m

2m  1
3
 2  2m  1  4  2 m  m  .
2m
4
Lưu ý. Nếu m   2;4  thì hàm số không có giá trị lớn nhất.



ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Nếu m  3  0  m  3 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó, do đó GTNN
m3
1m  03
của hàm số trên đoạn 1;2 là f (2) 
 
3
Vậy m  1
x  m2  m
Câu 39. Giá trị tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
trên đoạn 0;1 bằng  2 là:
x 1
1  21
1  21
,m 
.
A. m  1, m  2 .
B. m 
2
2
C. Không có giá trị m
D. m  1, m  2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
+ D  R \ 1.
2


+ Theo yêu cầu đề bài ta có: Min y  2   m 2  m  2  m 2  m  2  0  
.
0;1
m  2
mx  5
Câu 40. Tìm m để hàm số f  x  
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng  7.
xm
A. m  2 .
B. m  0 .
C. m  1 .
D. m  5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
mx  5
m( x  m)  mx  5 m 2  5
f  x 
 f ' ( x) 

 0x  m.
2
2
xm
 x  m
 x  m
Nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;1 là

f (1) 

m5

[ 1;0]

Câu 42. Giá trị lớn nhất của hàm số y 

A. 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.

B. 1.

2mx  1
1
trên đoạn  2;3 là  khi m nhận giá trị
mx
3
C.  5.
D.  2.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 14


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có: y  

2m 2  1

m  x 

 max y  y  3 

D. m  0 .

2

 x  2 1 .
1
1
Xét hàm số y  x 
trên  1, 2 , ta có y   1 

2
2
x2
 x  2
 x  2
 x  3   1, 2 
2
y  0   x  2   1  0  
 x  1  1, 2 
9
Mà y  1  0 và y  2   . Do đó min y  0 . Vậy m  0 .
 1,2
4
4
Câu 44. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 
trên đoạn  0;4  .
x 1
24


24
.
5

Vậy min y  3 .
 0;4 

Câu 45. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x  1 

26
.
5
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.

A.

B.

Hàm số y  2 x  1 
Ta có y   2 

10
.
3

1
trên đoạn 1; 2 bằng
2x 1

.



2
 2 x  1
 x  1  1; 2
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 15


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

10
26
10
; y 2 
nên min y  .
1;2
3
5
3
x2  5
Câu 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

5
1
Do đó ta có: f  1  2 , f  0    , f  5   10 , f  2   
3
5
Vậy min y  10 .
x0;2

Câu 47. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

x2  3
trên đoạn  2; 4 .
x 1

19
.
B. min y  3 .
3
[2;4]
[2;4]
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
2 x  x  1  x 2  3
x2  2 x  3
Ta có : y  

.
2
2
 x  1

13
.
2

B. 3.

C.

 1 
  2 ;1 là:



7
.
2

D. – 1.

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
x  0
x2  2x
x2  2x
 1 


Ta có y 
.
Cho

Câu 49. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
trên đoạn  0; 3 .
2x  1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 16


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
3
y  .
B. min
 0;3
7
 

y  0.
A. min
0;3
 




Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
2x 2  2x  4
2x 2  2x  4

x   2 L
 


3
7

x 2  3x
giá trị lớn nhất trên đoạn  0;3 là:
Câu 50. Hàm số y 
x 1
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
x 2  3x
Xét hàm số y 
x 1
2
 x  1(n)
x  2x  3
x2  2x  3




Ta có: y ' 
.
y

11
f ( x )  2;max f ( x )  3 .
.
C. min
D. min f ( x )  2 2;max f ( x ) 
 2;4
 2;4
 2;4
 2;4
3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
 x  1 2
x2  2 x  3
x2  2 x 1

y
y 

0

.

2
x 1
 x  1
 x  1  2
11
f  2   3; f  4   ; f 1  2  2 2.
3


D.

3
.
4

Trang 17


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

 x  1
y0
 x  5  loai 
3
1
y  2   , y  0   , y  1  1 .
4
2
Vậy Maxy =1 .
x 2;0

Câu 52. Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

x  x2 ?

A. Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.

đạt tại x0 , tìm x0 ?

A. x0   10 .
B. x0  4 .
C. x0  6 .
D. x0  10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
TXD: 4  x  6 .
1
1

 0,  x   4;6 , do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0  6 .
Ta có y 
2 6 x 2 x4
Câu 55. Giá trị lớn nhất của hàm số y 
B. 0.
A. 4.

 x 2  4 x là:
C.  2.

D. 2.

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
+ TXD: D   0;4 .
x  2
+ y'
, y '  0   x  2  0  x  2.


 3;1

 3;1

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Cách 1: y  5 x 2  4
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn  3;1 .

5x

y 

2

, y  0  x  0   3;1 .

5x  4
 y  3   7

Ta có:  y  0   2 . Vậy min y  2 .
 3;1

 y 1  3

Cách 2: Sử dụng tabe MTCT
Câu 57. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x  4 6  x
trên đoạn  3; 6 . Tổng M  m có giá trị là:
B. 6 .

D. max y  2 .

[1;3]

[1;3]

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.



3  x  x 1
1
1


2 x 1 2 3  x
2 x  1. 3  x
y   0  3  x  x  1  0  3  x  x  1  x  2  1;3

Ta có hàm số đã cho xác đinh trên đoạn 1;3 . y  



Khi đó. y 1  y  3  2 ; y  2   2 . Vậy max y  2 .
x1;3

Câu 59.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x 2  6 x  5 trên đoạn 1;5 lần lượt là:
A. 2 và 0 .


TXD: x  3. Xét hàm số liên tục y  5 3  x trên  ;3 ta có :

y 

5
 0, x    ;3 từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là Min y  f  3  0 .
2 3 x

Câu 61. Hàm số y  4 x 2  2 x  3  2 x  x 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x1 , x2 . Tính x1 x2 .

A. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Tập xác định D   .
Ta có y  

4  2 x  2
2 x2  2x  3

B. 1 .

C. 0 .



2  x  1 2  x 2  2 x  3
 2  2x 

D. 1 .






7



7

y



1 4 2



Suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x1  1  2, x2  1  2 . Do đó, x1 x2  1 .
Câu 62. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  5sin x  cos 2 x là:

A. 6 .
B. 7 .
C. 4 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Tập xác định D   .
Ta có: y  5sin x  cos 2 x  5sin x  1  2 sin 2 x .
Đặt t  sin x , 1  t  1 .



Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
2
Ta có : y  2cos 2 x  4cos x  2  cos x  1  2 .
2

Vì 1  cos x  1  0  cos x  1  2  0   cos x  1  4 . Do đó : 2  y  6 .
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là y  2 khi cos x  1 .
Câu 64. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  cos 2 x  4 cos x  1 .

y  5.
A. min


B. max y  6 .


y  7.
C. min


y  8.
D. min


Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
y  cos 2x  4cos x  1  2cos 2 x  4 cos x.

Câu 65. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos 3 x 

A. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Tập xác định D  .

B.  24 .

9
1
cos 2 x  3cos x  là:
2
2
C.  12 .

D. 9 .

9
1
Đặt t  cos x, t   1;1 . Hàm số trở thành y  2t 3  t 2  3t  .
2
2
t  1
Ta có y   6t 2  9t  3, y   0   1 .
t 
 2
1 9
y 1  1 , y  1  9 , y   
2 8

Phần Hàm số - Giải tích 12


.
2

D.


.
4

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
 
Hàm số f  x  trên  0;  .
 2
2
 
f   x   1  2 sin x cos x  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x cos x   sin x  cos x   0  x  0; 
 2
 
  
 f  x  đồng biến trên  0;  . Vậy max f  x   f    .



 2
2 2
 0; 

 2


x   k 2

1
4
Cho f '  x   0  1  2 sin x  0  sin x 

k  
2
 x  3  k 2

4

 
Vì x  0;   x 
4
 2
  
  
Ta có: f  0   2, f     1, f   
4 4
2 2

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất M  max   1 , đạt giá trị nhỏ nhất min  2 .
 
 
4
 0; 

2

t  3

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 22


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

3
y 1  1; y  1  1; y  0   0; y  
  0;
 2 
Vậy max y  1 .

Phần Hàm số - Giải tích 12

 3
y
 0;
 2 

  
  2 ; 2 


2

2t  1
 f t .
t2

 0, t   1;1 .

- Ta có bảng biến thiên hàm số f  t  trên [1; 1]:

- Từ bảng biến thiên ta suy ra:
1
 max y  max f  t   f 1  .
 11
; 
3

 min y  min f  t   f  1  3.

Câu 71.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: y 

 11
; 

2 sin x  cos x  1
là:
sin x  2 cos x  3
 max y  1

C. 




2

2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
- TXĐ: sin x  2 cos x  3  0  x  .
- Khi đó: y  sin x  2 cos x  3  2 sin x  cos x  1   y  2  sin x   2y  1 cos x  1  3y (*)
2
2
2
1
 y  2.
- Để (*) có nghiệm thì: 1  3y    y  2    2 y  1  
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 23


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

max y  2


x
x
Với x  1; e  thì f '  x   0  hàm số đồng biến trên nửa khoảng 1;e  .

A.

D. 24, 2 .

Với x   e;3 thì f '  x   0  hàm số nghịch biến trên nửa khoảng  e;3 .
1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 1;3 là f  e   .
e
Câu 73.Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  2  ln x  trên  2;3 là
B. 4  2ln 2 .
C. e .
A. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Xét hàm số liên tục và xác định trên  2;3 .

D. 2  2ln 2 .

Ta có f   x   1  ln x , f   x   0  x  e   2;3 .

y  2   2  2  ln 2  , y  3  3  2  ln 3 , y  e   e .
Vậy min y  y  2   2  2  ln 2  .
 2;3

Câu 74. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x  ln 1  2 x  trên  1;0
A. min  2  ln 3 .

 1;0

1



Câu 75. Tính giá trị lớn nhất của hàm số y  x  ln x trên  ; e  .
2 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: [email protected]
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Trang 24


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. max y  e  1 .
1 
x ; e 
2 

max y 

1 
x ; e 
2 

B. max y  1 .

Phần Hàm số - Giải tích 12

1 
2 2
x ;e 
2 

Câu 76. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f  x   x  4ln x trên đoạn 1;e là:
2

A. e2  4 và 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.

B. e2  4 và 2  2 ln 2

Xét hàm số trên 1; 4 ; f '( x )  1 

C. e2  4 và 1

D. e2  4 và 2  2ln2

9
x2

x  1;4  f '( x)  0  x  3
25
4
Vậy: max f  x   10 tại x = 1, min f ( x )  6 tại x = 3.
f (1)  10; f (3)  6; f (4) 
1;4


1
f (1)  e2 , f (1)  2 , f (2)  2e4 .
e
Câu 78. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y 

ln 2 x
m
trên đoạn 1; e3  là M  n , trong đó m, n là
x
e

các số tự nhiên. Tính S  m 2  2n3 .
A. S  135. .
B. S  24. .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.

y 

C. S  22. .

D. S  32. .

ln x  0  x  1
2ln x  ln 2 x

,
y

0