Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

300
 Chuyên đề 11:
ĐẠI SỐ TỔ HP VÀ XÁC SUẤT
 Vấn đề 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC
kk
n n n
P ,A ,CA. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. HOÁN VỊ
Số hoán vò của n phần tử: P
n
=n!
2. CHỈNH HP:
Số chỉnh hợp:
    
m
n
A n(n 1)(n 2) (n m 1)

m
n
n!
A
(n m)!

1/


m n m
nn
CC
2/



m 1 m m
n 1 n 1 n
C C C

3/
    
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2

Số tập hợp con của tập hợp n phân tử là 2
n
.

B.ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Chứng minh rằng




n 1 1 1 n 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)!
.
n 2 n 2 (n 1)!
CC 

    

1 k!(n k)!
. (n 1 k) (k 1)
n 2 n!



k
n
k!(n k)! 1
n!
C

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

301
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của

k1
C
 k < 9 nên
      
1 2 9 9 10 18
18 18 18 18 18 18
C C C C C C

Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9.
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Tính giá trò biểu thức




43
n 1 n
A 3A
M
(n 1)!
, biết rằng :

   
   
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149

(n là số nguyên dương,
k



43
65
6! 5!
3.
A 3A
3
2! 2!
6! 6! 4
.
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức:
  
22
n n n n
2P 6A P A 12
.
(
n
P
là số hoán vò của n phần tử và
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
Giải
Ta có:
  
22

  



   





Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

302
 Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. NGUYÊN TẮC ĐẾM
2 biến cố A và B
A có m cách xảy ra
B có n cách xảy ra
2 biến cố A và B cùng xảy ra có m  n cách
Biến cố A hoặc B xảy ra có m + n cách
 Chú ý: Nguyên tắc trên có thể áp dụng cho nhiều biến cố.
2. CHÚ Ý
 Nếu thay đổi vò trí mà biến cố thay đổi ta có một hoán vò hoặc một chỉnh hợp.
 Nếu thay đổi vò trí mà biến cố không đổi ta có một tổ hợp.
XÁC SUẤT
1. KHÔNG GIAN MẪU
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Biến cố A là một tập con của không gian mẫu.


hay p(A B) = p(B).p(AB)
 Biến cố A và B độc lập nếu biến cố B có xảy ra hay không thì xác suất của A
vẫn không đổi: p(AB)=p(A)
p(A B) = p(A)p(B)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

303
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C.
Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá
2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Giải
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là

4
12
C 495
.
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
 Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là:


2 1 1
5 4 3

14
28
CC

cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai.
Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ
hai thì có
14
14
CC
cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba.
Số cách phân công thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán
là:

1 4 1 4 1 4
3 12 2 8 1 4
C .C .C .C .C .C 207900
cách
Bài 3:
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu
đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết
phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

304
Giải
Có 3 trường hợp xảy ra.
 Trường hợp 1: 2 dễ + 1trung bình + 2 khó:


Cho đa giác đều A
1
A
2
. . . A
2n
(n  2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O), biết
rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, . . . A
2n
nhiều gấp 20 lần
số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, . . . , A
2n
. Tìm n.
Giải
 Số tam giác thỏa mãn đề bài là
3
2n
C
.
 Số đường chéo qua tâm đường tròn là n, cứ 2 đường chéo qua tâm thì có một
hình chữ nhật suy ra ta có
2

Số cách chọn 8 học sinh khối 11 và 10 là
8
11
C

Số cách chọn 8 học sinh từ khối 10 và 12 là
8
12
C

 Số cách chọn theo ycbt: 43758 
 

8 8 8
13 11 12
C C C
= 41811 cách
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

305
 Vấn đề 3: NHỊ THỨC NIUTƠN
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

NHỊ THỨC NIUTƠN:

x + … + a
n
x
n
, trong đó n  N
*
và các hệ số a
0
,
a
1
, …, a
n
thỏa mãn hệ thức
   
1n
0
n
aa
a 4096
2
2
. Tìm số lớn nhất trong các số
a
0
, a
1
, … , a
n
.


 Số hạng tổng quát là
k k k
12
C 2 .x
(k  , 0  k  12)
 hệ số tổng quát là

kk
k 12
a 2 .C ;




k 1 k 1
k 1 12
a 2 .C

a
k
< a
k + 1



k k k 1 k 1
12 12
2 .C 2 .C


8
> a
9
> … > a
12

Số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
, …, a
12
là:

88
8 12
a 2 .C 126720

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

306
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức

   
1 3 2n 1
2n 2n 2n
C C C 2048

(



      
0 1 2 3 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n
0 C C C C C C
(2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
 

       
2n 1 3 2n 1 12
2n 2n 2n
2 2 C C C 4096 2 n 6

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007
Chứng minh rằng:


    

2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1
C C C C
2 4 6 2n 2n 1

(n là số nguyên dương,
k

2



      



1
1
2n 2n 2n 1 2n 1 2n
0
0
(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) 2 1
dx
2 2(2n 1) 2n 1
(1)

 

   

1
1 3 3 5 5 2n 1 2n 1
2n 2n 2n 2n
0
C x C x C x C x dx

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhò thức Niutơn của (2 + x)
n
, biết:

  
      
n 0 n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n
n n n n n
3 C 3 C 3 C 3 C ( 1) C 2048

(n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Giải
Ta có:

       
n 0 n 1 1 n 2 2 n n n n
n n n n
3 C 3 C 3 C ( 1) C (3 1) 2

Từ giả thiết suy ra n = 11
Hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển Niutơn của (2 + x)

5
trong khai triển của x
2
(1 + 3x)
10
là 3
3
3
10
C

Hệ số của x
5
trong khai triển của x(1  2x)
5
+ x
2
(1 + 3x)
10
là:

  
4 4 3 3
5 10
( 2) C 3 C 3320

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhò thức Niutơn của

Vì


   
k 2n 1 k
2n 1 2n 1
C C k, 0 k 2n +1
nên:

 

     
      
0 1 n 0 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1
C C C C C C
2
(2).
Từ khai triển nhò thức Niutơn của


2n 1
(1 1)
suy ra:

  
  
     
0 1 2n 1 2n 1 2n 1

26
là
k
10
C
với k thỏa mãn: 11k  40 = 26  k = 6.
Vậy hệ số của số hạng chứa x
26
là :

6
10
C 210
.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

308
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Tìm số nguyên dương n sao cho:


    
     
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C 2.2C 3.2 C 4.2 C (2n 1).2 C
= 2005
(
k
n

1 2 2 3 4 n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C 2.2C 3.2 C 4.2C (2n 1).2 C 2n 1

Theo giả thiết ta có 2n + 1 = 2005  n = 1002.
Bài 8:
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của
 



8
2
1 x 1 x
.
Giải

       

         

23
2 8 0 1 2 2 4 3 6
8 8 8 8
1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x
. . .

 

Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niutơn của





7
3
4
1
x
x
với x > 0.
Giải

 




   
  
   
   

7 k k
7k
77
7k
kk



   


n
5 n 1 n
n 4 n 3
3
1
x biết rằng C C 7(n 3)
x

(n là số nguyên dương, x > 0,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phân tử).
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

309
Giải

 
 
 
 

5
k
5 k 3
2
12
3
k0
1
x C x x
x

Cho
 







12 k
5
k
38
2
x x x
x  0 
 



2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
C C C C
2 3 n 1

(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Giải
Xét
 
     
n
0 1 2 2 n 4
n n n n
1 x C C x C x C x


 

     


22
n
0 1 2 2 n n


n 1 n 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
3 2 2 1 2 1 2 1
C C C C
n 1 2 3 n 1
.
Bài 12:
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n3
là hệ số của x
3n3
trong khai triển thành đa
thức của: (x
2
+ 1)
n
(x + 2)
n
. Tìm n để a
3n 3
= 26n.
Giải

   


  











n
n n 1
xx
x 1 x 1
x1
01
nn
33
22
2
C C . . . +
22
2 2 2




  

Ta có
 



   

  


+
31
nn
n Z , n 3
C 5C n = 7 V n = 4 (loại)
n 2 (n 1) 30

Số hạng thứ tư bằng 20n nên ta có




3
4
x
x1
3
7
3
2

n
0 1 2 2 n n
n n n n
1 x C xC x C x C
(* *)
Thế x = 2 vào (* *) ta có:

 
      
n
0 1 2 n n
n n n n
1 2 C 2C 4C 2 C 243
 3
n
= 243  n = 5.
Bài 15:
Giả sử n là số nguyên dương và
 
       
n
2 k n
0 1 2 k n
1 x a a x a x a x a x

Biết rằng tồn tại số k nguyên (1  k  n  1) sao cho



k k k 1

a a a C C C
2 9 24 2 9 24


 
   









  

  

  

  







