Bài ôn tập tổng hợp số 4
Cho hàm số: y = x
4
+ 4ax
3
+ bx
2
+ a(a - 1)x + 1 - 2a
Phần I: Cho a = 0, ta đợc hàm: y = x
4
+ bx
2
+ 1
( )
b
C
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi b = -4
y = x
4
- 4x
2
+ 1
a) TXĐ: D = R
b) Chiều biến thiên:
Giới hạn:
x
lim y

= +
Bảng biến thiên:
y = 4x

( )
; 2
;
( )
0; 2
Điểm cực đại: A
( )
0;1
Điểm cực tiểu: B
( )
2; 3
C
( )
2; 3
Điểm uốn: y = 12x
2
- 8
y = 0 x =
2
3
y = -
11
9
Điểm uốn:
2 11 2 11
D ; E ;
3 9 3 9


ữ ữ

+ 1
Xét phơng trình hoành độ giao điểm: x
4
- 4x
2
+ 1 = (4m
3
- 8m)(x - m) + m
4
- 4m
2
+ 1
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
4 4 2 2 3
2 2 3
x m 4 x m 4m 8m x m 0
x m x m x m 4 x m 4m 8m 0
=

+ + + + =

( )
( )
( ) ( )
3 2 2 3
2 2 2
x m x mx m 4 x 3m 4m 0

( )
2 2
x 2mx 3m 4 0 1+ + =
có 2 nghiệm
phân biệt x m
( )
f m 0
0




>



2
2
2
m
6m 4 0
3
2m 4 0
2 m 2




3 4 2
I I
x x
x m
2
y 4m 8m x m m 4m 1
+

= =



= + +

Do (*)
( ) ( )
I
I
3 4 2 4 2
I I I I I I I I I
2
x
3
2 x 2
y 4x 8x x x x 4x 1 7x 12x 1






2
+ 1 = k có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
x
4
- 4x
2
+ 1 - k = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
Đặt x
2
= t: (1) t
2
- 4t + 1 - k = 0 (2)
Giả sử (2) có 2 nghiệm 0 < t
1
< t
2
(1) có 4 nghiệm phân biệt:
1
t ;

2
t
4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng t
1
= 9t
2
Vậy (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
(2) có 2 nghiệm t
1
, t

2
1
2
t
5
18
t
5
11
k
5

=



=



=


thoả mãn (2)
Kết luận: Vậy với
11
k
5
=
thì đờng thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành

- 4x
2
+ a = 0 (3
Qua A kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến (C) hệ (1), (2) có 3 nghiệm phân biệt (3) có 3 nghiệm phân
biệt
(3) có nghiệm x = 0 a = 0 thay vào (3) ta đợc: 3x
4
- 4x
2
= 0
x 0 k 0
2 8
x k
3 3
= =



= =


m
d
1
: y = 0
d
2,3
: y =
8
x

a) TXĐ: D = R
b) Chiều biến thiên:
Giới hạn:
x
lim y

= +
Bảng biến thiên: y = 4x
3
+ 12x
2
+ 8x = (x
2
+ 3x + 2)
y = 0
x 0 y 1
x 1 y 0
x 2 y 1
= =


= =


= =

Khoảng đồng biến: (-2; -1) và (0; +)
Khoảng nghịch biến: (-; -2) và (-1; 0)
Điểm cực đại: A(-1; 0)
Điểm cực tiểu: B(-2; -1) C(0; -1)

+
c) Vẽ:
xy
x
O
y
-
-2 -1
-1
1
2
9
16
Nhận xét: Đồ thị nhận đường
thẳng x = -1 làm trục đối xứng
Điểm uốn:
3 3 5 3 3 5
D ; E ;
3 9 3 9

+

ữ ữ
ữ ữ

Chứng minh
( )
'
4
C

- 8X
2
= g(X)
Ta thấy: g(-X) = g(X) hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn
( )
'
4
C
nhận đờng thẳng x = -1 làm trục
đối xứng
Xét phơng trình: X
4
- 8X
2
= 0
X 0 x 1
X 2 2 x 2 2 1
X 2 2 x 2 2 1
= = = = = =

giao điểm của
( )
'
4

y = 4x
3
+ 12x
2
y = 0
x = 0 y 1
x = -3 y = -28
=




x
-
-3 0
+
y - 0 + 0 +
y
+
-28
+
Khoảng đồng biến: (-3; +)
Khoảng nghịch biến: (-; -3)
Điểm cực tiểu: A(-3; -28)
Điểm uốn: y = 12x
2
+ 24x y = 0
x 2 y 17
x 0 y 1
= =

c) Vẽ: x = -1 y = -1
x
y
-2
-1
-17
-28
-3
-4
O
Công thức đổi trục:
x X a
y Y
= +


=

Y = (X + a)
4
+ 4(X + a)
3
+ b(X + a)
2
1
= = X
4
+ (a + 1)X
3
+ (6a

=


=

Kết luận: với b = 4 thì
( )
'
b
C
có trục đối xứng
Xác định b để hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
y = 3x
3
+ 12x
2
+ 2bx = x(3x
2
+12x + 2b)
y = 12x
2
+ 24x + 2b
y = 0
( )
2
x 0
3x 12x 2b 0 1
=








y = y
2
x 1 b bx
3 x 1
4 4 2 2

+ +
ữ ữ

Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm cực trị y(x
0
) = 0
y
0
= y(x
0
)
2 2
0 0 0
0 0
x 1 b bx b bx

C

trong trờng hợp này.
y = 12x
2
+ 24x + 2b
( )
'
b
C
có 2 điểm uốn y = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 144 - 24b > 0 b < 6
y = y
( )
2
x x 1 5b b 5b
4 8 2b x 1 4
12 6 12 6 6 6


+ + +
ữ ữ



Gọi A(x
0
; y
0
) là điểm uốn y(x
0