đề thi học sinh giỏi khối 9
( thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1( 2
đ
). Phân tích đa thức sau ra thừa số .
a
4
+ 8a
3
+ 14a
2
8a 15 .
Câu 2( 2
đ
). Chứng minh rằng biểu thức 10
n
+ 18n + 1 chia hết cho 27 với n là
số tự nhiên .
Câu 3( 2
đ
). Tìm số trị của
ba
ba

+
Nếu 2a
2
+ 2b
2
= 5ab , và b > a > 0 .
Câu 4( 4

CMR : MN

AD

Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 9
Câu 1:
a
4
+8a
3
+ 14a
2
8a 15
= a
4
+8a
3
+16a
2
a
2
-8a 16-a
2
+1
= (a
4
+8a
3
+16)-(a
2


n
9.......99
(n chữ số9)
Vậy 10
n
+18n 1 =
n
n
2.99.....99
+

= 9 (
9)21.......11

n
n
+
mà (
)21.....11( n
n
+

=
)21.....11( n
n
+

-n +3n
Số n và số có tổng chữ số bằng n có cùng số d trong phép chia cho 3( theo dấu

ba
ba

+
=
=

+
aa
aa
2
2
a
a

3
= -3
Câu 4 a,
xy
+
2
4
=
xy

4
-
2
2
+

+2x + 1)+ 2
)2)(4(
22
++
xxy
=0
(2y-1)
2
+(x+1)
2
+ 2
)2)(4(
22
++
xxy
=0 (2)
VT =0 (2y-1)
2
=0 , (x+1)
2
=0 ,
)2)(4(
22
++
xxy
=0
x=-1 , y =
2
1
;

x
+
4
1
<=> (x
2
+
2
1
)
2
= (
2006
2
+
x
-
2
1
)
2
<=> x
2
+
2
1
= |
2006
2
+

2005 = 0
Đặt ,giải theo phơng trình trùng phơng.
Câu 5:
Gọi học sinh trờng 1 là x
Gọi học sinh trờng 2 là y
Ta có : x

10 ; y

12
Từ đề bài => x + y > 27 ; x > 2(y 12) ; y > 9(x 10)
Tức là : x + y > 27 (1)
2y x < 24 (2)
9x y < 90 (3)
Nếu x = 10 thì từ (1) => y >10 hay 2y x > 34 10 = 24
điều này mâu thuẫn với (2) .
Vậy x> 10 (4)
Nhân hai vế của (3) với 2 rồi cộng với (2) đợc 17x < 204
=> x < 12
mà x >10 => x = 11
Thay vào (1) => y > 16
Thay vào (2) => 2y < 35 => y < 18 => y = 17

Đáp số : - Trờng 1: 11 học sinh
- Trờng 2: 17 học sinh
Câu 6: A
Đặt AC = x = AB ; BC = y
=> 12x = 10y =>
5
x

ˆˆ
OO
=
( so le trong) => OE = OB =>
2
ˆ
180
ˆ
1
0
1
O
B
−
=
O’C = O’F =>
2
'
ˆ
180
ˆ
1
0
1
O
C
−
=

11

'
ˆˆ
OO
=
=>
11
ˆ
ˆ
CB
=
;
21
ˆˆ
CC
=
(®èi
®Ønh)
=>
21
ˆ
ˆ
CB
=
=> EN // FM T¬ng tù EM // FN
 MENF lµ h×nh b×nh hµnh.
AB lµ ®êng kÝnh =>
AEB
= 90
0
=> MEN = 90

ˆ
E
Cã
1
ˆ
E
+
2
ˆ
E
= 90
0
=>
1
ˆ
A
+
1
ˆ
M
= 90
0
=> MN
⊥
AD
