TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ TRÀ MY

CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ LÝ THUYẾT
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS
Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn
thành khóa luận này. Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có
niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ
tôi hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã
luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017
Sinh viên


1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm ........................................ 4
1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ...................................... 5
1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm ................................. 5
1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ................................... 7
1.3. Một số bài toán ứng dụng........................................................................... 8
CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ............................................................. 13
2.1. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. .......................... 13


2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm. ..................... 13
2.1.2. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm. ....................... 14
2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm. ...................... 15
2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm. ................. 15
2.2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm .................... 18
2.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 18
CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI
TOÁN ỨNG DỤNG ...................................................................................... 27
3.1. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm ............................................... 27
3.1.1. Định luật biến thiên động năng của chất điểm ...................................... 27
3.1.2. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm. ........................................... 28
3.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ......................................... 30
3.2.1. Định lí biến thiên động năng của hệ chất điểm: .................................... 30
3.2.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ...................................... 32
3.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 34
KẾT LUẬN .................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 43


MỞ ĐẦU

- Sử dụng các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết để giải một số bài
tập cơ lý thuyết.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung
lượng và định luật bảo toàn cơ năng.
- Áp dụng các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô
men xung lượng và định luật bào toàn cơ năng để giải một số bài tập cơ lý
thuyết.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men
xung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn đó
để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lý lý thuyết
- Phương pháp giải tích.
6. Nội dung nghiên cứu
Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng.
Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng và một số bài tập
ứng dụng.
Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng.
7. Đóng góp đề tài
- Vận dụng các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết để giải một số bài
tập về chuyển động phức tạp của vật rắn.
- Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý
thuyết.

2


NỘI DUNG

Hay P = F
Đây là công thức biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.
Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:
“ Đạo hàm của véc tơ xung lượng theo thời gian t bằng tổng các lực tác
dụng lên chất điểm ”
→̇
→
P =F
⃗ là xung lượng của chất điểm
Trong đó: P
⃗F là lực tác dụng lên chất điểm

3

(1.2)


1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm.
Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác
→
dụng lên chất điểm bằng 0, nghĩa là F = 0
→̇
→
Biểu thức P = F trở thành:
⃗Ṗ = 0
Hay ⃗P = ⃗⃗⃗
P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
const
Khi đó xung lượng của chất điểm được bảo toàn.
Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại

Lực tác dụng lên chất điểm của hệ chia thành nội lực và ngoại lực
a) Nội lực: là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau.
Tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :
N

→in
⃗ iin
F = ∑F
i=1

Trong đó ⃗Fiin là nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i.
b) Ngoại lực: là lực do các vật thể ở ngoài hệ tương tác lên các chất điểm
trong hệ
Tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :
N

→e
⃗ ie
F = ∑F
i=1

Trong đó ⃗Fie là ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i.
Ký hiệu xung lượng của hệ chất điểm là ⃗P thì theo định nghĩa:
N

N

⃗P = ∑ ⃗Pi = ∑ mi v
⃗i
i=1


(1)


Trong đó ω
⃗⃗ i là gia tốc của chất điểm thứ i
Lại có:
N

N

⃗ iin + F
⃗ ie )
⃗⃗ i = ∑(F
∑ mi . ω
i=1

(2)

i=1

Ta có:
N

N

N

⃗ iin = ∑ ∑ F
⃗ ij


N

∑ ⃗Fiin = ∑ ∑ ⃗Fij + ∑ ∑ ⃗Fji
i=1 j=1
j

(1.5)

Biểu thức (1.5) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất
điểm được phát biểu như sau:
“ Đạo hàm véc tơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng
tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”
⃗Ṗ = ⃗F e
Trong đó: ⃗P là xung lượng của hệ chất điểm
⃗ e là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm
F
Ý nghĩa: định luật biến thiên xung lượng cho ta biết mối liên hệ giữa
gia tốc, lực và thời gian. Nó giúp ta xác định được một trong ba đại lượng khi
biết hai đại lượng còn lại.
Định luật biến thiên xung lượng còn được áp dụng trong nghiên cứu lý
thuyết va chạm.
1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.
Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục cố
định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của
hệ trên trục đó bảo toàn
Ví dụ: Nếu Fze = 0 thìPz = Pz0 = const với Pz0 là thành phần của Pz ở thời
điểm ban đầu.
Trong trường hợp cơ hệ kín là hệ mà trong đó các chất điểm của hệ
⃗ e = 0. Từ (1.5) suy ra:
không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay F
⃗
dP
= ⃗F e = 0
dt
⃗P = ⃗P0 = const

Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hai quả cầu :
⃗Ptrước = ⃗Psau
⃗⃗⃗⃗′
mv
⃗⃗⃗1 + mv
⃗⃗⃗⃗2 = mv⃗⃗⃗1′ + mv
2
→ v⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗
v2 = v⃗⃗⃗1′ + ⃗⃗⃗⃗
v2′

(1)

Chiếu (1) lên Ox, ta được:
v1 − v2 = −v ′1 + v ′ 2

(2)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai quả cầu:
2
2
1
1
1
⃗⃗⃗′ ) + 1 m (v
⃗⃗⃗⃗′ )
m(v
⃗⃗⃗1 )2 + m(v
⃗⃗⃗⃗2 )2 = m (v
1

→{ 1
v′2 = v2
Vậy sau va chạm hai quả cầu trao đổi vận tốc cho nhau.
Bài 2: Hai quả cầu đàn hồi tuyệt đối giống nhau va chạm với các vận tốc v
bằng nhau về độ lớn. Trước khi va chạm quả cầu bên trái có vận tốc hướng về
bên phải theo đường nối tâm hai quả cầu, còn quả cầu bên phải có vận tốc hợp
với đường nối tâm một góc α ( hình 1.2 ). Hãy tìm vận tốc của các quả cầu
sau khi va chạm.
⃗
v

𝛼

O1

Giải:

⃗
v
O2

Hình 1.2
y
⃗
v
O1

𝛼 ⃗v
O2


→ v1 − v2 cosα = v1x
+ v2x

Mà v1 = v2 = v
′
′
→ v − vcosα = v1x
+ v2x

(2)

Chiếu (1) lên Oy:
′
′
mv2 sinα = mv1y
+ mv2y

Mà v2 = v
′
′
→ vsinα = v1y
+ v2y

(3)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho các quả cầu trước và sau va chạm:
2
2
1
1

′
Giả sử sau va chạm quả cầu thứ nhất bật ngược trở lại. Khi đó v1y
= 0, thay

vào (3), ta được:
′
v2y
= vsinα

Từ (4):
2
→ 2v 2 = v′1x
+ v′22x + v 2 sin2 α

→ v′21x + v′22x = 2v2 − v2 sin2 α

(5)

′
′
Kết hợp với (2) → v1x
= v − vcosα − v2x
, thay vào (5), ta được phương

trình:
′
v′22x − v(1 + cosα)v2x
− v 2 . cosα = 0

Suy ra:

điển. Định luật bảo toàn xung lượng liên hệ với tính đồng nhất của không
gian, do tính chất này mà các tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổi
với mọi dịch chuyển song song của hệ trong toàn bộ.
Đối với một số bài tập cơ học thỏa mãn định luật bảo toàn thì có thể
giải bằng các định luật bảo toàn và cũng có thể giải bằng phương trình tổng
quát của động lực học nhưng giải bằng các định luật bảo toàn sẽ đưa kết quả
nhanh chóng hơn.
Khi áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và định luật biến thiên xung
lượng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau:
- Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín ...),
từ đó xác định hướng giải của bài toán sẽ áp dụng định luật bảo toàn xung
lượng hay định luật biến thiên xung lượng của hệ.
- Xác định các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. Chọn hệ trục tọa độ tương
ứng.
- Xác định xung lượng của cơ hệ
- Áp dụng biểu thức của định luật, từ đó giải các phương trình vi phân
để tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu của đề bài.

12


CHƯƠNG 2
ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT
SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
2.1. Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm.
2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm.
Xét một chất điểm tự do có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng
→
của lực F . Theo định luật II Niu tơn, ta có:
m. ω

d
[r. m. v
⃗ ] − [ . m. v
⃗ ] = [r. m. v
⃗ ] − [v
⃗ . m. v
⃗]
dt
dt
dt

(2.1)

Vì [v
⃗.v
⃗ ] = 0 nên có thể biến đổi vế trái của phương trình (2.1) thành dạng:
⃗⃗⃗
dM
⃗⃗ → M
⃗⃗⃗̇ = L
⃗
=L
dt

( 2.2 )

⃗⃗ = [r. m. v
Trong đó ⃗M
⃗ ] = [r. ⃗P] được gọi là mô men xung lượng của chất
điểm

Ví dụ 1: Cho trước lực tác dụng lên chất điểm có hướng luôn cố định, ta chọn
trục Oz thế nào để nó cộng tuyến với hướng của lực đó. Từ đây, ta có (hình
2.1a)
Fx = Fy = 0 ; Fz ≠ 0
Lx ≠ 0 ; Ly ≠ 0 ; Lz = xFy − yFx = 0
Mà Lz = 0 thì Mz bảo toàn.
Mz = m(xẏ − yẋ ) = Mz0

(2.4)
z

z

O

y

O

x

x
b)

a)
Hình 2.1
14

y


⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm
⃗M
⃗⃗ 0 : mô men xung lượng ban đầu của chất điểm
2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm.
2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm.
Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có
dạng:
⃗ iin + F
⃗ ie
mi . ω
⃗⃗ i = F
↔ mi .

dv
⃗i
̅̅̅̅̅
⃗ iin + F
⃗ ie ( i = 1,
=F
N)
dt

Nhân hữu hướng với ri về bên trái:
[ri . mi .

dv
⃗i
] = [ri . ⃗Fiin ] + [ri . ⃗Fie ]
dt


Trong đó : ⃗Lin
i = [ri . Fi ]: mômen nội lực của chất điểm thứ i
⃗Lei = [ri . ⃗Fie ]: mômen ngoại lực của chất điểm thứ i
⃗⃗⃗ i = [ri . mi . v
⃗ i ]: mômen xung lượng của chất điểm thứ i
M
⃗ i ] = [ri . P
Lấy tổng biểu thức (2.7) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được:
N

N

⃗M
⃗⃗̇ = ∑ ⃗Lin
⃗e
i + ∑ Li
i=1

(2.8)

i=1

⃗⃗⃗ là mô men xung lượng của hệ, bằng tổng mô men xung lượng của
Trong đó M
các chất điểm trong hệ.
N

⃗M
⃗⃗ = ∑ ⃗M
⃗⃗ i


N

N

N

= ∑ ri . ∑ ⃗Fji = ∑ {[ri . ⃗Fji ] + [rj . ⃗Fij ]}
i=1

[

i,j=1
i≠j

i,j=0
i
đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của mô men xung lượng của
hệ trên trục đó được bảo toàn.
Ví dụ:
N

N

⃗ ie ] = 0 → Mz = ∑[ri . mi . v
Lez = ∑[ri . F
⃗ i ]z = Mz0 = const
z
i=1

i=1

→ Mômen xung lượng trên Oz được bảo toàn.
Trong trường hợp cơ hệ kín, tất cả các lực ⃗Fie = 0 ( i = 1,2, … , N) nên:
N

⃗ e = ∑[ri . F
⃗ ie ] = 0
L
i=1

Do đó, mô men xung lượng của hệ kín bảo toàn
N

⃗M
⃗⃗ = ∑ mi . [ri . v
⃗⃗ 0 = const

R

𝑃⃗2

(A)
Hình 2.1

𝑃⃗1

Hệ khảo sát gồm tang quay, vật nặng và dây
Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực ⃗P1 của vật A, trọng lượng ⃗P2 của
tang quay, phản lực ⃗R của ổ đỡ.
Trục quay được chọn là trục Oz hướng ra phía sau của mặt giấy và vuông góc
với tang quay.
Áp dụng định lý biến thiên mô men xung lượng của hệ đối với trục Oz, ta có:
dMz
⃗ 1 ) + Lz (P
⃗ 2 ) + Lz (R
⃗)
= Lz = Lz (P
dt
Trong đó:
Mz = MzA + MzB = R.

P1
. v + Jz . ω
g

Jz : mômen quán tính của tang quay.
ω: gia tốc góc

dt
g
R
→

dv P1
Jz
d P1
Jz
( . R + ) + ( . R + ) . v = R. P1
dt g
R
dt g
R

d P1
Jz
dv P1
Jz
( .R + ).v = 0 →
( . R + ) = R. P1
dt g
R
dt g
R
Gia tốc:
ωi =

dv
R. P1


→ Jz = ∫ r . dm = ∫ r . ρ. 2πr. h. dr = ∫ r 3 . ρ. 2π. h. dr
0

2

0

0

R

r4
R4 π. R2 . h. ρ. R2 ρ. V. R2 mR2
→ Jz = 2πhρ | = 2πhρ
=
=
=
4 0
4
2
2
2
Thay (2) vào (1) ta được:
v=

2g. P1 . t
2P1 + P2

20