Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CÁCH TIẾP CẬN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
(PHẦN 1_2)
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

ĐÁP ÁN
1C

2A

3C

4D

5B

6A

7D

8B

9C

10C


26C

27C

28B

29C

30D

31A

32

33C

34B

35A

36C

37D

38B

39C

40D


56B

57D

58A

59A

60A

61A

62C

63B

64D

65D

66B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Các bài toán không chứa tham số
Câu 1. (THPTQG – 2017 – 101) Cho hàm số y  x3  3x  2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) và nghịch biến trên khoảng (0; ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) và đồng biến trên khoảng (0; ) .

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

2x 1
, phát biểu nào sau đây là đúng?
x3
B. Hàm số đồng biến trên (; 3)  (3; ) .

Câu 3. Trong các phát biểu sau về hàm số y 
A. Hàm số luôn đồng biến với x  3 .

\ 3 .

C. Hàm số đồng biến trên (; 3) và (3; ) . D. Hàm số đồng biến trên tập
Giải
Tập xác định: D 

\ 3 . Ta có y ' 

7
 0 với x  3 .
( x  3)2

0

Suy ra A, B, C đúng và D sai (không dùng kí hiệu " " )  đáp án D.
Chú ý: Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) và liên tục tại x  a; x  b
thì hàm số y  f ( x) cũng sẽ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên đoạn  a; b . Do đó ở câu hỏi trên do hàm
số là hàm đa thức nên liên tục trên

, suy ra hàm số nghịch bên trên  0;1 , đồng biến trên  1;0 …

Câu 5. (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số y  x 4  2 x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .

Giải
x  0
Ta có: y '  4 x3  4 x  4 x( x 2 1) ; y '  0  
, suy ra dấu y ' :
 x  1

+

+
1

0

Ta có y '  3x 2  6 x ; y '  0  
, suy ra dấu y ' :
x

2

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)  đáp án A.

+
0

2

Câu 7. (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2  1 với x 

. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .

Giải
Do y '  f '( x)  x  1  0, x 
2


Suy ra loại A, C.
Xét hàm y  x3  x . Ta có y '  3x2  1  0, x  , suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (; )
 đáp án B.

Câu 9. Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng nghịch biến của hàm số
1
y  x 3  x 2  3x  1 ?
3
A. vô số.
B. 2 .
C. 3 .
D. 5 .
Giải
Tập xác định: D 

.

 x  1
Ta có y '  x2  2 x  3 ; y '  0  x 2  2 x  3  0  
.
x  3

+

+
1

3

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  1;3 .

1
3
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (; 1) và (3; )  đáp án C.

+

Câu 11. (Đề minh họa THPTQG – 2017). Hàm số y  2 x 4  1 đồng biến trên khoảng nào?
1

A.  ;   .
2


 1

C.   ;   .
 2


B.  0;   .

D.  ;0  .

Giải
Ta có y '  8 x ; y '  0  x  0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  0;    đáp án B.
3

Câu 12. Khi nói về tính đơn điệu của hàm số y   x4  4 x3  10 , ta có những phát biểu sau:
1) Hàm số đồng biến trên khoảng (;3) .



(nghĩa là liên tục tại x  3 ) nên kết luận 2), 4) vẫn đúng.

1
Câu 13. Trong các phát biểu sau về hàm số y  1  , phát biểu nào sau đây là đúng?
x
A. Hàm số luôn nghịch biến với x  0 .
B. Hàm số nghịch biến trên (;0) và (0; ) .

C. Hàm số đồng biến trên (;0) và (0; ) .

D. Hàm số đồng biến trên tập

\ 0 .

Giải
Tập xác định: D 

\ 0 .

1
 0 với x  0 . Suy ra hàm số nghịch biến trên (;0) và (0; )  đáp án B.
x2
Chú ý: Kí hiệu x  0 không phải là một tập hợp, suy ra A sai.

Ta có y '  

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

Tập xác định D 

\ 2 .

+

+
x

1

x  4x  3
Ta có y ' 
; y '  0  x2  4x  3  0  
. Ta có dấu của y ' : 1
2
( x  2)
x  3
Suy ra chỉ có 1 phát biểu 4) đúng  đáp án A.
2

3
2

2x 1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .

Câu 15. Cho hàm số y 


Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
A. y  x 4  2 x 2  3 .

và y '  0  x  1

B. y  x3  4 x  5 .

?

C. y 

x 1
.
2x  3

D. y  x 2  x  1 .

Giải
Ta chọn đáp án B vì y '  3x  4  0, x 
2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

 đáp án B.

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5-



D. khoảng (2;3) .

Giải
Đồ thị hàm số y  f ( x)  3 được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị gốc y  f ( x) dọc theo trục Oy
lên trên 3 đợn vị, do đó hàm số y  f ( x) và y  f ( x)  3 luôn có chung khoảng đồng biến,
nghịch biến . Nghĩa là hàm số y  f ( x)  3 cũng đồng biến trên khoảng (2;3)  đáp án D.
Chú ý: Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) , nghịch biến trên khoảng (c; d ) thì hàm số
y  f ( x)  k cũng sẽ đồng biến trên khoảng (a; b) , nghịch biến trên khoảng (c; d ) .

Câu 20. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và đồng biến trên khoảng (1; 2) thì hàm số y  f ( x  1)
đồng biến trên khoảng nào?
A. khoảng (1; 2) .

C. khoảng (2;6) .

B. khoảng (0;3) .

D. (2;3) .

Giải
Đồ thị hàm số y  f ( x  1) được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị gốc y  f ( x) dọc theo trục Ox
sang phải 1 đợn vị, do đó hàm số y  f ( x  1) có khoảng đồng biến “cộng thêm vào các đầu mút
1 đơn vị” so với khoảng đồng biến của hàm số y  f ( x) .
Vậy đáp án đúng là khoảng (1  1;2  1)  (0;3)  đáp án B.
Chú ý: Hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) , nghịch biến trên khoảng (c; d ) thì hàm số
y  f ( x  p) (hoặc hàm số y  f ( x  p)  k ) sẽ đồng biến trên khoảng (a

khoảng (c



Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 22. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và đồng biến trên khoảng (2;0) và nghịch biến trên
khoảng (1; 4) thì hàm số y   f ( x  3)  2 nghịch biến trên khoảng nào?
A. (2;0) .

B. (2;1) .

D. (5; 3) .

C. (1;3) .

Giải
Chúng ta sẽ suy luận theo sơ đồ sau: f ( x)  f ( x  3)   f ( x  3)   f ( x  3)  2
+) Từ y  f ( x)  y  f ( x  3) đồng biến trên (5; 3) và nghịch biến trên (2;1) .
+) Từ y  f ( x  3)  y   f ( x  3) đồng biến trên (2;1) và nghịch biến trên (5; 3) .
+) Từ y   f ( x  3)  y   f ( x  3)  2 đồng biến trên (2;1) và nghịch biến trên (5; 3) .
Vậy y   f ( x  3)  2 nghịch biến trên khoảng (5; ��m  1
 2


 2  m  1  đáp án D.
2  m  2 2  m  2
m  4  0


.
Khi
đó
bài
toán
y

0,

x


;
2

 0, x   ; 2  .
x


m



( x  m) 2
( x  m)2


m  2
m  2
m   ; 2 

này hàm số liên tục trên

nên liên tục tại x  a, x  b do đó hàm số cũng sẽ đồng biến trên đoạn  a; b ,

nghĩa là ta được phép thêm 2 đầu mút x  a, x  b mà không làm ảnh hưởng tới kết quả bài toán”. Vì vậy,
bài toán này ta thêm vào để dấu “=” xảy ra khi ta đi tìm max của f ( x) .
Cách 2 (Giải ngược)
Thử với m  2 , (*) có dạng: 4 x3  0 với x  (1;0) (đúng) hay m  2 thỏa mãn  loại A, C, D.
 đáp án B.

1
Câu 54. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y   x3  (m  1) x 2  (m  3) x  10 đồng biến
3
trên khoảng (0;3) .

A. m 

12
.
7

B. m 

12
.
7

C. m 

7


x0;3

Ta có f '( x) 

2 x2  2 x  8
12
 0, x  0;3  f ( x) đồng biến trên  0;3  max f ( x)  f (3) 
2
(2 x  1)
7
x0;3

12
 đáp án A.
7
Cách 2 (Giải ngược)

hay m 

 7 12 
Thử với m  1  ;  , (*) có dạng:  x2  4  0, x  (0;3) (sai) hay m  1 không thỏa mãn
 12 7 

 loại B, C, D  đáp án A.
Câu 55. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 

2 3
x  (2m  3) x 2  2(m2  3m) x  1
3


B. 1 .

C. 4 .

D. 4 .

Giải

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 18-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Yêu cầu bài toán tương đương:
y '  6 x2  6(m  1) x  6m  0, đúng với x  (2;0)
 x2  (m  1) x  m  0, đúng với x  (2;0)
 ( x  1)( x  m)  0, x  (2;0) (*)

+) Nếu m  1 , (*)  ( x  1)2  0, đúng với x  (2;0) (sai).
+) Nếu m  1 , (*)  1  x  m, đúng với x  (2;0) (vô lí).
+) Nếu m  1 , (*)  m  x  1 , đúng với x  (2;0)


g'(x)

+∞

1
0

+
+∞

0

g ( x)

g(x)

Ta có g '( x)  2 x  2 ; g ( x)  0  x  1 . Ta có bảng biến thiên:
Khi đó m 

x

1

g ( x)  1 . Vậy m  1  đáp án D.

Cách 2: Xét  '  1  m .
+) Với  '  0  1  m  0  m  1 , khi đó f ( x)  0 với x 

 (0; ) (thỏa mãn (*)).

3
hoặc m  2 .
2

Giải
Yêu cầu bài toán  y '  3x2  2(m 1) x  2m2  3m  2  0, x  (2; )
 f ( x)  3x2  2(m 1) x  (2m2  3m  2)  0, x  (2; ) (*)
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 19-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Ta có  '  (m  1)2  3(2m2  3m  2)  7(m2  m  1)  0, m 
Suy ra f ( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 

m  . Suy ra dấu của f ( x) là:

1  m  7(m2  m  1)
1  m  7(m2  m  1)
và x2 
với
3

Câu 59. Hàm số y 

2m cos x  m
đồng biến trên khoảng
4cos x  m

 3 
  ;  thì điều kiện đầy đủ của tham
2 


số m là
A. m  2 hoặc m  0 .

B. m  2 hoặc m  4 .

C. 2  m  4 .

D. 2  m  0 .

Giải

x  ;3
2







  4  1
với hoặc

 m  0
 4

m  4

 m  2  m  0
 m  2


m  0
 m  4  đáp án A.


  m  2
  m  0


Câu 60. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 

sin x  m
nghịch biến trên khoảng
sin x  m

 
 ;   là
2 


2
2
(sin x  m)
(sin x  m)
2 



  
m  0
m  (0;1)
m  sin x x   ;   


 2 




    m  1  m  0 .
2m cos x  0, x    ;  
2m  0 (do cos x  0, x   2 ;  )
m  0








m  0
t  m  (0;1)

(*)  
   m  1  m  0  đáp án A.
2m  0
m  0

Chú ý: Ở bài toán này Cách 2 sau khi chuyển qua biến mới thì hàm số nhìn “nhẹ nhàng” hơn và tính
toán “dễ” hơn hàm ban đầu. Nhưng muốn chuyển thành một bài toán “tương đương” với bài toán ban
đầu ta cần chú ý:
+) Cần tìm miền giá trị chính xác cho biến mới (có thể dùng chính công cụ hàm số).
+) Kiểm tra tính đồng biến, nghịch biến của hàm đổi biến (là hàm mà biến cũ là biến và biến mới là hàm).
 Nếu hàm đổi biến đồng biến thì bài toán ban đầu giữ nguyên tính đơn điệu.


Hàm cũ (với biến cũ) đồng biến chuyển về hàm mới (với biến mới) vẫn đồng biến.



Hàm cũ (với biến cũ) nghịch biến chuyển về hàm mới (với biến mới) vẫn nghịch biến .

 Nếu hàm đổi biến nghịch biến thì bài toán ban đầu đổi lại tính đơn điệu.


Hàm cũ (với biến cũ) đồng biến chuyển về hàm mới (với biến mới) đổi thành nghịch biến



Hàm cũ (với biến cũ) nghịch biến chuyển về hàm mới (với biến mới) đổi thành đồng biến.

tan x  m

A. m  0 hoặc 1  m  2 .

 
 0;  .
 4

B. m  0 .

C. 1  m  2 .

D. m  2 .

Giải

x 0; 
 4

 
Đặt t  tan x  t   0;1 . Do t  tan x đồng biến trên khoảng  0; 
 4
1
 
( có thể dùng hàm số kiểm tra: t ' 
 0, x   0;  ).
2
cos x
 4


 
 0;  .
 6

A. m  1 .

B. m 

5
.
2

Giải
x 0; 
 1
 6
 sin x 
 t  0; . Vì

 
sin x đồng biến trên  0;  nên bài toán được phát
 6
mt
biểu lại là: “ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (t )  2
nghịch biến trên
t 1
 1
khoảng  0;  ”.
 2


t 1
1
 1
với t   0;  (do hàm số liên tục tại t  ).
2t
2
 2
2

t 2  1 (t  1)(t  1)
 1

 0, t   0;  , suy ra hàm số nghịch biến biến trên
2
2
2t
2t
 2

 1
 0; 
 2

5
1 5
Suy ra min g (t )  g    . Vậy m   Đáp án C.
 1
4
2 4
t 0; 


D. m (1; 2) .
Giải

Đặt t 

x17;37 

 t  (4;6) . Do t  x  1 đồng biến trên khoảng (17;37) . Nên bài toán phát
x  1 

biểu lại là: “ Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số y 

(m  1)t  2
đồng biến trên khoảng (4;6) ”.
tm

m2  m  2
 0 , đúng với t  (4;6) (*)
Khi đó, yêu cầu bài toán tương đương: y ' 
(t  m)2
  m  4
  m  4


t  m  (4;6)
 m  6
 m  6
(*)   2


nghịch biến trên khoảng (1; 21) ”.
tm





3

nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên
A. 5 .

B. vô số.

Biến đổi hàm số về: y 
Đặt t 





x2  1  x  m





2

x

 0;



x x
x2  1

 0, x 

.







f '( x)



2

t  f ( x)

Suy ra t  0 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

 1 . Có bao nhiêu giá trị


0
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 23-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Nên yêu cầu bài toán sẽ thay đổi nghịch biến  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:
“ Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y  t 3  mt 2  (m  6)t  1 đồng biến trên khoảng (0; ) ”.
Khi đó, bài toán tương đương: y '  3t 2  2mt  m  6  0 , đúng với t  (0; )
 m(2t  1)  3t 2  6 , đúng với t  (0; )

3t 2  6
m
 g (t ) , t  (0; )  m  min g (t ) (*)
2t  1
t(0;)
Ta có g '(t ) 

6t 2  6t  12
t 0
; g '(t )  0 
t  1 .
2
(2t  1)

x 1  x
2



m





x2  1  x .

Câu 65. Cho hai hàm số f ( x)  x  m sin x và g ( x)  (m  3) x  (2m  1) cos x . Tất cả các giá trị của m
làm cho hàm số f ( x) đồng biến trên
A. m  1 .

và g ( x) nghịch biến trên

B. m  0 .

là

C. 1  m  0 .

D. 1  m 

2
.
3

m 

3

Chú ý: Trong bài toán trên ta đã dùng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất như sau:
Cho nhị thức bậc nhất f ( x)  ax  b , khi đó :
 f ( )  0
 f ( )  0
f ( x)  0, x   ;    
; f ( x)  0, x   ;    
.
 f ( )  0
 f ( )  0

Câu 66. Cho hàm số y  a sin x  b cos x  x với a, b là các tham số thực.
Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên
A. a, b 

.

B. a 2  b2  1.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

là
C. a  b 

2
.
2

Khi đó (*)  1  a 2  b2  0  a 2  b2  1  a 2  b2  1  đáp án B.

Giáo viên
Nguồn

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

: Nguyễn Thanh Tùng
: Hocmai.vn

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 25-