1

ĐẠO HÀM

Chủ đề 2

Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
 Mở đầu
Nhiều bài toán của toán học, vật li, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn
dạng:
f ( x)  f ( x0 )
lim
x  x0
x  x0
trong đó f  x  là một hàm số đã cho của đối số x .
Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng
của hàm số:
 Số gia đối số là: x  x – x0
 Số gia tương ứng của hàm số là: y  f  x  – f  x0 
Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên: lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
y
 lim
x 0 x
x  x0

 Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y  f  x  , xác định trên  a; b  và x0   a; b 


f ( x)  f ( x0 )
y
 lim
x x  x0
x  x0

trong đó x  x0 được hiểu là x  x0 và x  x0 .
Định lí: Hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu
f '( x0 ) và f '( x0 ) tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f '( x0 )  f '( x0 )  f '( x0 )

 Đạo hàm trên một khoảng
Định nghĩa:
a. Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng  a; b  nếu nó có đạo hàm tại mọi
điểm trên khoảng đó.


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

2

b. Hàm số y  f  x  được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a; b  nếu nó có đạo hàm trên khoảng

 a; b 

và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b .

Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số y  f  x  có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì
điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số

C  .
Định nghĩa: Nếu cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn M 0T khi điểm M di chuyển trên  C 
và dần tới điểm M 0 thì đường thẳng M 0T được gọi là tiếp tuyến của đường cong  C  tại
y

điểm M 0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.

(C)

b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  và
có đạo hàm tại x0   a; b  , gọi  C  là đồ thị hàm số đó.
Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f  x  tại điểm x0 là hệ
số góc của tiếp tuyến M 0T
M 0  x0 ; f ( x0 ) 

của

C 

tại điểm

f (x 0  x)

M

y

f (x 0 )

I  t0   Q  t0   f   t0 

Dạng 1. Tìm số gia của
hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính số gia của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng
công thức tính sau: y  f  x0  x   f  x0 

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.1 Tìm số gia của hàm số y  2 x2  3x  5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:

a) Từ x0  1 đến x0  x  2
c) Từ x0  1 đến x  1  x

b) Từ x0  2 đến x0  x  0,9
d) Từ x0  2 đến x  2  x

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU
(Số lượng có hạn)

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2


...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU
(Số lượng có hạn)

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc
lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................


5

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.1

Tìm số gia của hàm số y  x2 –1 tại điểm x0  1 ứng với số gia x , biết:
b) x  –0,1

a) x  1

 lim

 Cách 2:

 Tính lim

x 0

f  x   f  x0 
x  x0

 Nếu lim

x  x0

f  x   f  x0 
tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là
x  x0

f   x0   lim

x  x0

 Nếu lim

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0


...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

sin 3 x khi
3x  2 khi

VD 2.5 Cho y  f  x   

x0
. Tính đạo hàm của hàm số tại x0  0 bằng định nghĩa.
x0

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:
a) y  2 x  1 tại x0  2
b) y  x2  x
c) y 

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  
x

0


khi

x0

khi

x0

tại điểm x0  0

2

khi x  0
( x  1)
Chứng minh rằng hàm số: y  f ( x)   2
khi x  0

 x
không có đạo hàm tại điểm x0  0 nhưng có đạo hàm tại x0  2 .

2.6

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y 


x 1
có đạo hàm tại điểm x  1 .
x 1


7

2.9

khi x  0
 p cos x  q sin x
Cho hàm số: y  f ( x)  
khi x  0
 px  q  1
Chứng minh rằng với mọi cách chọn p, q hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x  0 .

2.10 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số):
1
1
1
a) y  ax  3
b) y  ax 2
c) y 
với x  d) y  3  x với x  3
2
2x 1
2

Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và
đạo hàm

.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................

 2
x2  3
khi x  0
 x sin 2
VD 2.7 Cho y  f  x   
.
x
0
khi x  0

a) Xét sự liên tục của hàm số tại x0  0
b) Xét xem tại x0  0 hàm số có đạo hàm không?
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

8

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

1
 2
 x sin
2.13 Cho hàm số: y  f ( x)  
x
0

khi

x0

khi

x0

a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x  ¡ .
b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f   x  không liên tục tại điểm x0  0 .

Dạng 4. Tiếp tuyến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm
 Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong  C  : y  f  x  , biết M , N theo thứ tự có
hoành độ là xM , xN được cho bởi: k 

y yN  yM
với xN  xM

x xN  xM

 f   x0  là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong  C  tại M  x0 ; f ( x0 ) 

- Phương trình đường thẳng d qua M 0 với hệ số góc k  f   x0  :
y – y0  f   x0  x – x0 

-

A  x A ; y A   d  y A – y0  f   x0  x A – x0 

- Giải pt trên tìm x0 , tìm f   x0  , thế vào y  f  x  tìm y0 .
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)
3. Tiếp tuyến biết hệ số góc:
- Giải phương trình: f   x   k  các hoành độ tiếp điểm.
- Thế vào y  f  x  để tìm tung độ.
- Viết tiếp tuyến: y – y0  k .  x – x0 

d'

y


 Chú ý:

d


- tiếp tuyến d // : y  ax  b  k  a

x

- tiếp tuyến d   : y  ax  b  k.a  1
- k  tan , với  là góc giữa d với tia Ox .



TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

10

....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1 .
b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 .
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 .
1
2.17 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y  , biết:
x
1

a) Tại điểm  ; 2  . b) Tiếp điểm có hoành độ bằng –1 . c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng
2

b)

C  : y 

1
 .
4
2.18 Cho đường cong  C  : y  x . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  :
a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 .
.

b) Biết tiếp tuyến song song với  : x – 4 y  3  0

2.19 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
x 1
a) y 
, biết hoành độ tiếp điểm là x0  0 .
x 1
y0  2 .


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

12

a) Tiếp tuyến của  C  tại điểm có x   có hệ số góc bằng 1 .
b) Tiếp tuyến của  C  tại các điểm có các hoành độ x  


4

và x 


3

song song hoặc trùng

nhau.
2.28 Tìm giao điểm của hai đường cong  P  : y  x 2  x  1 và  H  : y 

1
. Chứng minh rằng hai
x 1

đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
2.29 Cho parabol ( P) : y  x2 . Viết phương trình tiếp tuyến với  P  , biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  4 x  3 .
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A  0;  1 .


2.30 Một viên đạn được bắn lên từ vị trí M cách mặt đất 1m , theo phương thẳng đứng với vận tốc ban
đầu là v0  196m/s (bỏ qua sức cản của không khí)


13
a) Tìm thời điểm t0 mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng 0 . Khi đó viên đạn cách mặt đất bao

nhiêu mét ?
b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy g  9,8 m / s2 )
2.31 Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động s 

1 2
gt , trong đó g  9,8 m / s2 và t được tính
2

bằng giây.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến t  t với độ chính
xác đến 0,001 , biết t lần lượt nhận các giá trị 0,1; 0,01; 0,001 .
b) Tìm vận tốc tại thời điểm t  5 giây.

2.32 Một chiếc xe chạy được quãng đường s  km  sau t (giờ) được tính bởi s  t 2  3t  2 . Hãy tính
vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được 4 giờ.

Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
 Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp
1.

u – v  w  u – v  w

2.

 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
(C )  0 , C hằng số
( x)  1

Đạo hàm của các hàm số hợp

1
 1 
   2
x
x

u
 1 
   2
u
u

 x   2 1 x

 u   2uu

 x    .x

 u    .u



 1

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2

 cot x  

14

 cot u  

1
 (1  cot 2 x)
sin 2 x

u
 u(1  cot 2 u )
sin 2 u

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
của các hàm số
Đạo hàm của hàm số hợp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để
tính.
Chú ý: Rút gọn sau khi tính!

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.12 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  x7  3x 4  4 x 2  4 x  4
c) y   x 2  x  1 2 x 2  3x  1
e) y 

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 2.13 Tính đạo hàm của các hàm số sau:



a) y  2 x 2  3 x



2016

b) y  4 x3  3x 2  2


15

c) y 

2

5

1
1
a) y  x 4  x3  x 2  x  a 3
b) y  2
4
3
2
( x  x  1)5
d) y  ( x  1)( x  2)( x  3)
g) y 

1

e) y 

2x
x 1

j) y  x 2  x x  1

k) y 

f) y 

2

x2  1
x

h) y 


 cos x    sin x

 cos u   u.sin u

 cos u   n.cos

n 1

u.  cos u 

u
cos 2 u
u
 cot u   2
sin u

 tan u   n.tan

n 1

u.  tan u 

 co t u   n.co t

n 1

u.  co t u 

 tan x  


B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.14 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x
2
a) y  2sin x  sin 2 x  sin 2 x  2sin  sin
2
x

b) y  sin 2  2 x 2  3x  1 c) y  sin  4 x 2  x 

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 2.15 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
20

e) y  x sin x  cos x

 1  tan 2 x 
1  cos x

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................


17
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

1  sin x
1  sin x

k) y 

cos x
sin x  1

x
1  cos x

l) y  2 x cot x  x2

m) y  1  2 tan x

n) y  sin 3x.cos 4 x

x
o) y  2 cos  sin 2 x  cos  x 2 
2

p) y  sin 2 x.cos3 x



q) y  tan 3  2 x  
4


r) y  sin 2  cos 2  tan x  

18

“Cho hàm số y  f  x  , hãy giải phương trình g ( y, y)  0 ”
Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm y .
Bước 2. Chuyển phương trình g ( y, y)  0 về phương trình đại số thông thường
để giải.
 Chú ý: Cho tam thức f  x   ax 2  bx  c, (a  0)
a  0
1/ f ( x)  0, x  ¡  
  0
a  0
3/ f ( x)  0, x  ¡  
  0

a  0
2/ f ( x)  0, x  ¡  
  0
a  0
4/ f ( x)  0, x  ¡  
  0

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.16 Cho hàm số y  x3  3x2  x  2 . Tìm x sao cho: a) y  2

b) y  10

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................


19
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.37 Tìm các nghiệm của phương trình sau:
1
a) f   x   0 với f ( x)  x3  2 x 2  6 x  1 .
3

b) f   x   –5 với f ( x) 

1 4
3
x  x3  x 2  3 .
4
2

2.38 Cho hàm số f ( x)  x3  3x2  2 . Hãy giải các bất phương trình sau: a) f ( x)  0 b) f ( x)  3
2.39 Giải phương trình y  0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y  sin 2 x  2cos x

b) y  3sin 2 x  4cos 2 x  10 x c) y  cos2 x  sin x


2
2.41 Cho hàm số y  mx  x  x  5 . Tìm m để:
a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
3

3

2

b) y có hai nghiệm trái dấu.
c) y  0 với mọi x  ¡ .

2.42 Cho hàm số y  x 2  2 x  24 . Giải bất phương trình 2 f ( x)  f ( x)
2.43 Cho hàm số y  x  2 x2  12 . Giải bất phương trình f ( x)  0 . (TN THPT 2010)

Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất
đẳng thức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng  a; b  thì đạo hàm luôn triệt tiêu
trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
“Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm trong khoảng  a; b  và f   x   0, x   a; b 
thì hàm số y  f  x  không đổi trong khoảng  a; b  ”
Từ đó ta thực hiện các dạng toán:
Dạng 1. Chứng minh rằng: A  x   c , x  D .
Ta thực hiện các bước:
Bước 1. Tính A  x  , rồi khẳng định A  x   0, x  D .
Bước 2. Chọn x0  D  A  x0   c .


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2


C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.44 Chứng minh rằng:
a) Hàm số y  tan x thỏa mãn hệ thức y – y 2 –1  0 .
b) Hàm số y  cot 2 x thỏa mãn hệ thức y  2 y 2  2  0 .

2.45 Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định:
a) Nếu f ( x)  2 cos 2  4 x  1 thì f ( x)  8 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
b) Nếu f ( x)  tan 3x thì f ( x)  3 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
2.46 Chứng minh rằng với mọi x ta đều có :
cos 2  x  a   sin 2  x  b   2 cos  x  a  sin  x  b  sin  a  b   cos 2  a  b 
2.47 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
2 
2 

2
2
A  sin 2  x 
  sin x  sin  x 

3 
3 


2.48 Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) y  sin6 x  cos6 x  3sin 2 x.cos2 x





...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO
A. VI PHÂN
 Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  và có đạo hàm tại x   a; b  .
Cho số gia x tại x sao cho x  x   a; b  .
Ta gọi tích f   x  .x (hoặc y.x ) là vi phân của hàm số y  f  x  tại x ứng với số gia
x và ký hiệu là dy hoặc df  x  . Như vậy, ta có:

dy  yx hoặc df  x   f   x  x
Áp dụng: Với hàm số y  x , ta được: dx   x  x  1.x  x
Vậy ta có: dy  ydx hoặc df  x   f   x  dx .
 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
y
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: f '( x0 )  lim
 x 0  x
Do đó, với x đủ nhỏ thì:
f '( x0 ) 


hay f 

n

 x .

 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s  f  t  với f  t  là hàm số có đạo
hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời ( ) của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm
số
s  f  t  tại t là   t   f   t  .

Dạng 1. Tìm vi phân của
hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tính vi phân của hàm số f ( x) tại x0 cho trước:
 Tính đạo hàm của hàm số tại x0
 Suy ra vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x là: df ( x0 )  f ( x0 )x
 Tính vi phân của hàm số f ( x) :
 Tính đạo hàm của hàm số
 Suy ra vi phân của hàm số là: dy  df ( x)  f ( x)dx

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.21 Cho hàm số f ( x)  6 x3  2 x2  4 x 1 .

Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 , ứng với số gia x  0,01 .
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính gần đúng giá trị của hàm số f ( x) tại điểm x0  x cho trước, ta áp dụng công thức:
f  x0  x   f  x0   f   x0  .x

B. BÀI TẬP MẪU
VD 2.23 Tính gần đúng các giá trị: a)

25,75

b) sin 30010'

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.51 Tính giá trị gần đúng của:
1
a)
b) cos 45030' c) tan 29030' d)
0,9995

4,01

e)

VD 2.24 Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y  x sin x  cos x
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
VD 2.25 Cho hàm số y 

2x  3
. Tìm x sao cho y  10
x 1

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.52 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y  ax3  bx2  cx  d

b) y 

x 3
x2

e) y  x 1  x 2

d) y  x.sin x

c) y 

  t   f   t 

B. BÀI TẬP MẪU


25
VD 2.26 Tính gia tốc tức thời của chuyển động s  f  t  tại thời điểm t0 trong các trường hợp sau:

a) S  f (t )  t 3  3t 2  7t  2, t0  2

b) S  f (t )  3sin 2t  2cos 2t , t0 


4

...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2.55 Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức S  f (t )  t 3  3t 2  9t  2 ,
trong đó t  0 , t tính bằng giây  s  và v  t  tính bằng m / s . Tìm gia tốc của chất điểm:
a) Tại thời điểm t  4s .