1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình phổ thông. Việc giảng
dạy và học tập môn Toán không những trang bị cho học sinh những kiến thức,
rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể. Mà
còn áp dụng những kiến thức đó trong cuộc sống cũng như trong các bộ môn
khoa học khác mới là điều quan trọng.
Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản các
bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian được
đưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến
phần lớn học sinh học phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là bài toán
khoảng cách các em còn gặp rất nhiều vướng mắc. Với suy nghĩ làm thế nào để
học sinh tự tìm ra và tháo gở những vướng mắc trong khi học hình học không
gian lớp 11, hiểu rõ bản chất, thực hiện thành thạo kỹ năng tính khoảng cách và
có hứng thú với môn học này. Từ đó, các em có thể tự học, tự tìm tòi và khám
phá những điều hay, những cái mới của môn Toán. Và từ kinh nghiệm giảng dạy
của mình, để giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy và có thêm kiến thức để tự
tin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó. Đồng thời giúp cho quý Thầy, Cô
và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình
giảng dạy bộ môn của mình. Vì vậy, tôi chọn đề tài:
'' Kỹ thuật quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt
phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11''.
1.2. Mục đích nghiên cứu
+ Giúp các em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11 bằng
cách quy về một điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng
và các em biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải các bài toán tính khoảng
cách, đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng câu hỏi
tự luận cũng như dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm như hiện nay. Từ đó giúp các
em phát triển, nâng cao năng lực tư duy và tạo hứng thú giải các bài toán khó.
+ Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.



2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phương
pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng
tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học.
Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang
được thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung
tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn,
định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học.
Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú,
là môn học đòi hỏi học sinh có tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian, và tính
sáng tạo cao. Đặc biệt là bài toán tính khoảng cách là bài toán khó yêu cầu học
sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình không gian, hình học phẳng từ vẽ
hình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài toán cụ thể.
Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác
nhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong đó, việc tổ chức
các hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơ
bản của hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói riêng.
Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất là
tạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài toán khó. Từ đó
giúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được các
kiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phận
không nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, chưa chủ động
tìm hiểu sâu về một vấn đề dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong quá
trình học tập môn toán cũng như các môn học khác.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tập

Thời lượng thực hiện thông qua thời lượng các tiết dạy học tự chọn. Qua
đây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng tạo và tạo hứng
thú học môn hình học không gian cũng như giải các bài toán khó cho học sinh.
2.3.2. Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung:
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Phần I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt
phẳng
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản).

+ d(M, a) = MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a (Hình 1).
+ d(M, (P)) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên mp ( P) ( Hình 2).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
mp ( P) thì d vuông góc với mp ( P) .
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử
dụng điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4


Cho một điểm M và mp ( P)
không chứa M , xác định khoảng cách
từ M đến mp(P)? Vì khoảng cách
d ( M ,( P )) = MH ( Hình 2) nên A luôn
nằm trên một mp (Q) nào đó mà
mp (Q) vuông góc với mp ( P) . Vì vậy,
để xác định khoảng cách này ta cần

d ( A,( SBC )) = AH .
1
1
1
1
1
5
2a 5
2a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒AH =
⇒d ( A,( SBC )) =
.
2
2
2
AH
AB
AS
a
4a
4a
5
5
⇒ d ( D,( SAC )) = DO =

Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC đều có cạnh bằng a , G là trọng tâm của tam
5


( SBC ) ∩ ( SAM ) = SM
Kẻ GH ⊥ SM tại H , suy ra:
GH ⊥ ( SBC ) ⇒ d (G,( SBC )) = GH
1
1
1
12 3
27
=
+
=
+
=
GH 2 GM 2 GS 2 a 2 2a 2 2a 2

3

⇒ GH = a 6 . Vậy d (G ,( SBC )) = a 6

9

9

Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2. nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến
mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mp(SBC) thì việc
tìm mp(Q) qua N và vuông góc với (SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới
làm quen với bài toán tính khoảng cách. Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh
có thể tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC),
( G là hình chiếu vuông góc của điểm S lên (ABC)) và sử dụng kết quả sau:
* Nếu M , N không thuộc mp( P) mà

S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD = , hình chiếu vuông
2
góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ
điểm A đến mp ( SBD) .
Phân tích bài toán: để tính khoảng
cách từ điểm A đến ( SBD) ta cần dựng
được hình chiếu vuông góc của A lên
( SBD) , tuy nhiên nếu việc làm này
khó khăn thì ta có thể dùng cách khác
để tính d ( A,( SBD)) . Nếu theo Nhận
xét 1 ta có thể quy về tính khoảng cách
khác. Vậy, ta có thể quy d ( A,( SBD))
về tính khoảng cách từ điểm nào đến
( SBD) ? Điểm đó có gì đặc biệt?
Áp dụng Bài toán 1.
+ Học sinh lập luận và đưa ra lời giải:
Bước 1: Quy d ( A,( SBD)) về d ( H ,( SBD)) .
Bước 2: Tính d ( H ,( SBD)) với H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Giải.
Gọi H là trung điểm của AB , nên SH ⊥ ( ABCD ) . Ta có:
AB
= 2 ⇒ d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) .
AH
Kẻ HM ⊥ BD tại M thì BD ⊥ ( SMH ) hay ( SBD) ⊥ ( SMH ) , ( SBD) ∩ ( SMH ) = SM .
Trong ( SMH ) kẻ HK ⊥ SM tại K , suy ra: d ( H ,( SBD)) = HK . Ta có:
a 5
a 2
.
HD =
, SH = SD2 − HD 2 = a, HM =

Khi đó việc tính khoảng cách từ A đến ( P ) như sau:
Vậy d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) =

+Bước 1: Sử dụng Nhận xét 1. quy
d ( A,( P)) về d ( M ,( P ))
+Bước 2: Tính d ( M ,( P)) .
- Kẻ MI vuông góc với giao tuyến d
của ( P ) và ( Q ) tại I .
- Kẻ MH ⊥ NI tại H thì MH ⊥ ( P) , suy
ra: d ( M ,( P)) = MH
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AA ' = 2 AB = 2a
, G là trọng tâm của tam giác ABB ' . Tính khoảng cách từ điểm G đến
mp ( AB ' C ')
Giải.
GO 1
=
Gọi O là tâm của ABB ' A ' , ta có:
A 'O 3
1
=> d (G,( AB ' C ')) = d ( A ',( AB ' C '))
3
Gọi M là trung điểm của B ' C ' , ta có:
A ' M ⊥ B ' C ', B ' C ' ⊥ AA ' => B ' C ' ⊥ ( AA ' M )
hay ( AB ' C ') ⊥ ( AA ' M ) và ( AB ' C ') ∩ ( AA ' M ) = AM
Trong ( AA ' M ) kẻ A ' H ⊥ SM tại H , suy ra:
A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d ( A ',( AB ' C ')) = A ' H .
A' M =

1
1


8


Phần II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)

+ d(a,(P)) = d(M,(P))
với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4).
+ d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5).
b) Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song.
Phương pháp giải:
Bước 1. Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài toán 1)
Bước 2. Giải Bài toán 1.
c) Áp dụng.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bẳng a. Tính khoảng cách
giữa AB và ( SCD) .
Giải.
AB
/
/
CD
⇒
AB
/
/(

2 OH OS OM 3a a
a 3 a 3
Vậy d ( AB,( SCD)) = 2.d (O,( SCD)) =2.
=
.
4
2
9


Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bẳng a. Gọi M , N , P
lần lượt là trung điểm của AB, C ' D ' và B ' C ' . Tính khoảng cách:
a) Giữa BC ' và ( AB ' D ') .
b) Giữa ( MNP ) và ( AB ' D ') .
Giải.
BC
'/
/
AD
'
⇒
BC
'/
/(
AB
'
D
')
a) Ta có
, suy ra: d ( BC ', ( AB ' D ')) = d (C ', ( AB ' D ')) .

A' I 2

1
a 3
d ( N , ( AB ' D ')) = d ( A ', ( AB ' D ')) =
.
2
6
(theo câu a))
a 3
Vậy d (( MNP), ( AB ' D ')) =
.
6

Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối
tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và
điểm đó phải là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. Đây
là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng
cách.
Phần III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)
a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vuông
góc với a, b được gọi là đường vuông góc
chung của a, b.
b) Nếu d là đường thẳng vuông góc và cắt
a, b tại M , N thì MN được gọi là đoạn
vuông góc chung của a, b.
c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a,
b được gọi là khoảng cách giữa a, b.
+ d (a, b) = MN trong đó MN là đoạn vuông

H của O lên b'
Bước 3. Qua H dựng d // a và d cắt b
tại B, kẻ BA ⊥ a tại A . Đoạn AB là
đoạn vuông góc chung của a và b.
(Hình 9)
c) Áp dụng.
Ví dụ 7. Cho hình tứ diện S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và
SA = SB = SC = a . Gọi I là trung điểm của BC . Xác định và tính khoảng cách:
a) Giữa SA và BC .
b) Giữa AI và SC .
Hướng dẫn giải

11


a)( Học sinh dễ dàng giải được)
Ta có: SA ⊥ ( SBC ) nên SA ⊥ BC , SI ⊥ SA
mà tam giác SBC cân tại S . Suy ra SI
là đoạn vuông góc chung của SA và BC .
Ta có: SI =

BC a 2
=
2
2

Bình luận: Ở câu a) thì SA ⊥ BC nên việc dựng đoạn vuông góc chung khá dễ
dàng. Nhưng ở câu b) này thì việc dựng đoạn vuông góc chung khó hơn, vậy ta
sẽ dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ thì có ( SAB) ⊥ SC nên ta có thể
dùng cách 3 để dựng đoạn vuông góc chung của AI và SC như sau:

Hướng dẫn giải.
Ta đi dựng đoạn vuông góc chung của AC và SD theo cách 2 như sau:
Dựng đường thẳng Dt / / AC , dựng AI ⊥ Dt tại I , suy ra Dt ⊥ ( SAI ) , kẻ
AE ⊥ SI tại E , kẻ EM / / AC ( M ∈ SD ) và kẻ MN / / AE ( N ∈ AC ). Khi
đó MN là đoạn vuông góc chung của SD và AC và MN = AE .
Ta có AIDO là hình vuông nên AI = OD =

BD a 2
, tam giác SIA vuông tại A
=
2
2

12


và AE là đường cao nên
1
1
1
1 2
a 3
.
=
+
=
+
=>
AE
=

* Đến đây giáo viên cần cho học sinh xác định rõ các bước (hay kỹ thuật)
chuyển Bài toán 3 về Bài toán 1 như sau:
Bước 1: Dựng mp( P ) chứa đường thẳng b và ( P ) // a. ( Hình 10, Hình 11)
Bước 2: Quy d ( a, b) = d (a, ( P ))
13


Bước 3: Quy d ( a,( P )) = d ( M ,( P)) , M là điểm thuộc đường thẳng a.(Bài
toán 1)
Ví dụ 8. Cách giải 2:
Dựng đường thẳng Dt / / AC thì ( Dt , S ) / / AC
nên:
d ( AC , SD) = d ( AC , (S , Dt )) = d ( A,( S , Dt ))
Kẻ AI ⊥ Dt tại I , suy ra Dt ⊥ ( SAI ) hay
( SDI ) ⊥ ( SAI ), ( SDI ) ∩ ( SAI ) = SI . Kẻ
AE ⊥ SI tại E và AE ⊥ ( S , Dt ) suy ra:
d ( A,( S , Dt )) = AE .
a 2
Ta có AIDO là hình vuông nên AI = OD =
.
2
SAI vuông tại
A
AE là đường cao nên
Tam giác
và
1
1
1
1 2

2
5
SH SA SK a a
a 5
Vậy d ( SC , AI ) = MN =
.
5
S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật
Ví dụ 9. Cho hình chóp
AD = 2 AB = 2a , SA ⊥ ( ABCD) và SA = a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Tính khoảng cách giữa BM và SN .
Giải.
Ta có BM / / DN thì BM / /( SDN ) nên d ( BM , SN ) = d ( BM ,( SND))
MD 1
1
= d ( M ,( SND )) , mà
= suy ra: d ( M ,( SND)) = d ( A,( SND )) .
AD 2
2
ND
⊥
AN
,
ND
⊥
SA
⇒
ND
⊥
(

=
2 3
6

Nhận xét 5:
Qua các cách giải hai Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ 9 phần nào giúp học sinh
nắm được ưu nhược điểm của các cánh giải để có lựa chọn cách giải tốt nhất,
nhanh nhất cho bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+ Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì cách dùng
đoạn vuông góc chung để tính khoảng cách là tốt nhất.
+ Trường hợp còn lại, thì việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
chéo nhau ta sẽ quy việc tính khoảng cách đó về tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng.
Nhất là đối các bài thi trắc nghiệm như hiện nay thì trước một bài
toán học sinh không chỉ biết các giải nó mà còn phải biết lựa chọn và áp
dụng cách giải nhanh nhất.
Các ví dụ sau đây giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chuyển các bài toán
tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian về Bài toán 1 và
rèn luyện kỹ năng quy điểm cần tính khoảng cách về một điểm là hình chiếu
vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc
·ABC = 60o , SA = AC , SB = SD góc giữa SA và mặt đáy bằng 60o. Tính
khoảng cách giữa:
a) AC và SD .
b) AB và SC .
Giải
Gọi O là tâm của ABCD , suy ra SO ⊥ ( ABCD ) .
a) Ta có AC ⊥ ( SBD) chứa SD , từ O kẻ OH ⊥ SD tại H thì: d ( AC , SD) =OH .
·
Góc giữa SA và ( ABCD ) bằng góc giữa SA và OA bằng SAO

1
1
1
=
+
. Tam giác SOI vuông tại O ta có:
2
2
OI OC OD 2
1
1
1
1
1
1
4
4
4
20
a 15 .
= 2+ 2=
+
+
+
=
=>
OK
=
2
2

( SAG ) ⊥ ( SHG ) và ( SAG ) ∩ ( SHG ) = SG
Kẻ HK ⊥ HG tại K thì HK ⊥ ( SAG ) suy
ra: d ( H , ( SAG )) = HK . Ta có
BH 2 = HC 2 + BC 2 − 2.HC.BC.cos 600 =

a 7
3

2
a 3 ·
AM =
, SCH = 60o
3
3
a 21
1
1
1
24
a 42
⇒ SH = 3HB =
=
+ 2 = 2 ⇒ HK =
2
2
3
12
HK HG HS 7a
3
a 42

)
ta có:
,
d ( AC , SB ) = d ( AC , ( S , d )) = d ( A,( S , d ))
Kẻ AM ⊥ d tại M , AH ⊥ AM tại H .
Khi đó: BM ⊥ ( SAM ), hay
( SBM ) ⊥ ( SAM )
( SBM ) ∩ ( SAM ) = SM . Suy ra
AH ⊥ ( S , d ) ⇒ d ( A,( S , d )) = AH
·
Ta có SCA
= ( SC ,( ABCD )) = 45o
⇒ SA = AC = a 2 .
Tam giác SAM vuông tại A và đường cao AH nên
1
1
1
5
a 10
.
= 2+
= 2 ⇒ d ( AC , SB) = AH =
2
2
5
AH
AS AM 2a
Ví dụ 13. Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' , G là trọng tâm của tam giác
ABC , khoảng cách từ G đến ( B ' AC ) bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng
( B ' AC ) và ( ABC ) bằng 30o . Tính khoảng cách giữa AC và B ' G .

=
+
=
⇒ BH =
2
2
2
2
7
BH BG BB ' 48a

1 2a 84 a 84
Vậy d ( A,( B ' MN )) = .
.
=
2
7
7
Ví dụ 14. ( Trích đề thi tuyển sinh khối B - 2014, môn Toán) Cho hình lăng
trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc
của A ' lên ( ABC ) là trung điểm của AB . Góc giữa A ' C và mặt đáy bằng
60o . Tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ') .
Giải
Gọi H là trung điểm của AB , ta có:
BA
= 2 ⇒ d ( B,( ACC ' A ')) = 2d ( H ,( ACC ' A ')) .
HA
Kẻ HM ⊥ AC tại M ta được
AC ⊥ ( A ' HM ) hay ( ACC ' A ') ⊥ ( A ' HM )
và ( ACC ' A ') ∩ ( A ' HM ) = A ' M .

Vậy d ( B, ( ACC ' A ') = 2 HK =
.
26
2.4. Kết quả đạt được qua việc áp dụng SKKN.
*) Đối với học sinh sau khi tiếp thu nội dung: Bài toán tính khoảng cách
trong hình học không gian lớp 11.
+ 100% học sinh đạt yêu cầu và thành thạo giải bài toán tính khoảng cách từ một
điểm điến một mặt phẳng ( bài toán cơ bản).
+ Kỹ năng tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học không gian được nâng
lên rõ rệt qua việc quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt
phẳng.
+ Học sinh biết lựa chọn phương pháp tối ưu cho bài toán tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
+ Nâng cao kỹ năng giải nhanh bài toán tính khoảng cách cho dưới dạng câu hỏi
trắc nghiệm.

18


+ Các tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động tìm tòi và giải bài toán
tính khoảng cách và các bài toán trong hình học không gian khác cũng như các
em tự tin hơn trước các bài toán khó. Năng lực tư duy của đa phần học sinh
được cải thiện đáng kể.
Trong năm học 2016 – 2017, sau khi áp dụng SKKN này vào lớp 11B 3
trường THPT Như Thanh. Tôi đã yêu cầu học sinh của lớp này làm bài tập sau
đây: Tìm các bài toán hình học không gian về tính khoảng cách dạng câu hỏi
trắc nghiệm và giải chúng.
Kết quả các em làm bài ở phần phụ lục.
*) Đối với bản thân và đồng nghiệp qua áp dụng SKKN này:
+ Chất lượng giảng dạy và giáo dục của bản thân, đồng nghiệp và của trường

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 9 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện

Lê Đình Ngọc

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1] Sách giáo khoa hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010
– TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)

[ 2] Sách bài tập hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010
– TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)

[ 3] Giải toán và câu hỏi trắc nghiệm Hình Học 11- Nhà xuất bản giáo dục 2010
– Nhóm tác giả TRẦN THÀNH MINH, PHAN LƯU BIÊN, TRẦN QUANG
NGHĨA.

[ 4] Giải toán Hình Học 11 - Nhà xuất bản giáo dục 2004
– TRẦN THÀNH MINH (Chủ biên)...

[ 5] Đề thi Đại học các khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2015 của Bộ Giáo
dục và Đào tạo.


Sử dụng phương pháp hàm Ngành GD
Tỉnh
số giải bài toán tìm giá trị
Thanh Hoá
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

C

2013 - 2014

của biểu thức chứa nhiều
biến
----------------------------------------------------

22