Trường THPT Krông Ana
LỜI NÓI ĐẦU
Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có, ngay cả khi bài toán mà bạn đang
giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt
nếu bạn tự giải lấy bài toán đó thì bạn có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui
thắng lợi.
Đối với học sinh, sau cái mong muốn giải một bài toán cụ thể còn có một sự tò mò sâu sắc
hơn, một sự mong muốn được biết đường lối, phương tiện, lập luận và qua trình dẫn tới cách giải,
mà điều này không sách vở nào trình bày cho học sinh.
Bởi vậy, việc hướng dẫn học sinh tìm ra đường lối giải các bài toán bằng lược đồ bốn bước
của Polia cũng không nằm ngoài mục đích trên. Phần “xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,
hình lăng trụ “ được trình bày trong SGK Hình học 11 chỉnh lý hợp nhất 2000, chương trình SGK
mới thì phần “xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ “ được trình bày ở SGK
Hình học 12; ở đây, người viết mạnh dạn đưa ra những suy nghó của mình, kinh nghiệm của mình
với mục đích là học hỏi, trao đổi, rút kinh nghiệm và vâïn dụng vào dạy học hình học không gian ,
12 nói riêng và dạy học toán nói chung nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông.
Bài viết không tránh khỏi những thiếu sót, mong bạn đọc và đồng nghiệp góp ý và bổ sung
để bài viết được hoàn chỉnh hơn.

1
Trường THPT Krông Ana
Phần 1
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với
học sinh. Trong chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán nói chung và phân môn Hình học không
gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn thuật toán giải là khá lớn và gây cho học sinh
không ít khó khăn, lúng túng khi giải chúng dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng
của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập của học sinh. Do vậy khi giải bài tập
giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là “dạy cho học sinh biết cách
suy nghó tìm ra con đường hợp lí để giải toán”. Bởi vì “Tìm ra cách giải một bài toán là một phát

BƯỚC 1: HIỂU RÕ BÀI TOÁN.
- Cái gì phải tìm ? Cái gì đã cho ? Đâu là điều kiện ? Cái phải tìm thoả mãn những điều
kiện gì ? Những điều kiện đó có đủ để xác đònh cái phải tìm không ? Thiếu hay thừa ? Có mâu
thuẩn với nhau không ?
- Vẽ hình rhật cẩn thận và sử dụng kí hiệu thích hợp.
- Tách các điều kiện ra với nhau. Có thể diễn tả điều kiện đó bằng công thức được không ?
BƯỚC 2: XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI.
- Để tìm đường lối giải, phải tìm mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm, phải dùng
phương pháp phân tích, nếu cần thì xét các bài tập trung gian.
+ Bạn đã gặp bài toán này chưa ? Hay gặp bài toán này ở một dạng khác.
+ Bạn có biết bài toán nào liên quan không ? Một đònh lí nào có thể dùng dể giải được
không ?
+ Hãy nghiên cứu kó cái phải tìm ! Hãy thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cái phải tìm
tương tự.
+ Đây là một bài toán liên quan đến một bài toán mà bạn đã giải và tương tự với bài toán
phải giải; bài toán ấy có giúp ích gì không ? Có thể sử dụng kết quả của nó được không ? Có thể
đưa vào những phần tử phụ để có thể áp dụng bài tập đã biết hay không ?
+ Có thể phải hiểu bài toán dưới một khía cạnh khác không ? Hãy thay các khái niệm trong
đề bài bằng các đònh nghóa của chúng.
+ Nếu chưa tìm được lời giải của bài tập đã cho, hãy cố gắng giải một bài tập tương tự và
dễ hơn, đặc biệt hơn. Bn có thể giải một phần bài toán được không ? hãy giữ lại một phần của
điều kiện và bỏ qua phần kia. Khi đó xét sự thay đổi của cái phải tìm! Bạn có thể nghó ra các giả
thiết khác để có thể xác đònh cái phải tìm không ?
+ Có thể biến đổi c phải tìm hay cái đã cho hay cả hai để cho chúng gần nhau không ?
(bài toán phụ).
+ Đã sử dụng hết cái đã cho chưa ? Đã xét hết các điều kiện chưa ? Đã chú ý đến hết các
khái niệm có trong đề bài chưa ?
BƯỚC 3: THỰC HIỆN CHƯƠNG TRÌNH GIẢI

3

Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” chỉ được trình bày ở mục §3 mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ. (trang 109- 112)
- Đây là phần thứ ba của chương IV: Mặt cầu, và là phần cuối cùng nhằm trình bày hoàn
chỉnh (theo đúng yêu cầu và quy đònh) các kiến thức về mặt cầu, các kiến thức ở hai mục trước đã
chuẩn bò cho mục này. Chẳng hạn,
Bài tập 1, 2, 3- trang 103
Ví dụ 1- trang 101.
Đường thẳng và mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu – trang 106.
- Trong mục §3.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ, chỉ nêu vỏn vẹn một đònh
nghóa và hai ví dụ; Không nêu điều kiện cần hay đủ để một hình chóp, lăng trụ có mặt cầu ngoại
tiếp.
- Không nêu mặt cầu nội tiếp nhưng trong bài tập có nêu “tính bán kính mặt cầu nội tiếp
hình chóp (bài T.11- trang 163-SBT), mặt cầu cách đều bốn mặt của tứ diện (bài 5- trang 112-
SGK).
1.1 LÝ THUYẾT.
Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” là một mục nhỏ (mục §3) của
chương IV: Mặt cầu và mặt tròn xoay.

5
Trường THPT Krông Ana
+ Đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
+ Ví dụ: Về mặt cầu ngoại tiếp chóp tam giác đều, tứ diện trực tâm.
1. 2 BÀI TẬP.
Dạng bài tập- Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
Dạng 1 : Tìm 1 điểm cách đều các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï. (Bài 1-trang
103, Bài 3- trang 128- SGK; T.6-trang 125-SBT).
Dạng 2 : Các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc
vuông (Bài 2-trang 103-SGK; Bài 0.5- Bài 0.6-trang 128, T.7-trang 129-SBT).
Dạng 3 : Tâm là giao điểm của đường trung trực một cạnh bên và và trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 1, 4-trang 103, Bài 3-trang 127- SGK;

3. CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA MỚI – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
(CTNC).
3.1 LÝ THUYẾT.
Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” được trình bày ở mục §1.Mặt cầu,
khối cầu (trang 38)- chương II: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón.
+ Đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
+ Không có ví dụ minh hoạ.
Khác với sgk chương trình chuẩn, sgk chương trình nâng cao có hoạt động nhằm giúp học
sinh thấy được điều kiện cần và đủ để một hình chóp, hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp.
3.2 BÀI TẬP.
Bài tập 1, 7, 8, 9, 10- trang 45, 46.
Dạng bài tập- Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
Dạng 1 : Tìm 1 điểm cách đều các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï (Bài 8, 9-trang
45, 46-SGK).
Dạng 2 : Các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc
vuông (Bài 1-trang 45-SGK).
Dạng 3 : Tâm là giao điểm của đường trung trực một cạnh bên và và trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 7-trang 45).
Phân phối chương trình, bài ‘mặt cầu, khối cầu’ có 4 tiết, bao gồm tiết bài tập.
Kế hoạch dạy phần này trình tự như sau:
+ Tiết 1: Đònh nghóa mặt cầu và các khái niệm liên quan.
+ Tiết 2: Giải các bài tập và 2, 3, 4, 5, 6- trang 45.
+ Tiết 3- 4: Trình bày đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ. Giải các bài tập
bằng cách vận dụng “cách xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ ‘.
II. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH
CHÓP, LĂNG TRỤ BẰNG LƯC ĐỒ BỐN BƯỚC CỦA POLIA.
1. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU
NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Ta có thể rèn luyện cho học sinh kó năng xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình
lăng trụ bằng lược đồ bốn bước của Polia thông qua một hoặc một vài ví dụ, bài tập ở sách giáo

Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm là giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng
tạo từ họ điểm đó.
- “ Vận dụng vào bài toán ?”
* Cách 1: Chứng tỏ “họ điểm”( S, A, B, C và D) đó nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc
vuông ?
Xuất phát từ giã thiết, cách 1 này không khả thi vì yếu tố vuông góc ở giả thiết không đủ.
* Cách 2: Việc tìm điểm cố đònh I đó là có thể làm được, nhưng ở đây tìm điểm ‘có lẻ khó
‘.

8
S D C

O
A B
Hình H.1
Trường THPT Krông Ana
* Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm là giao điểm của các đường trung trực các đoạn
thẳng tạo từ họ điểm đó.
Việc tìm giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng tạo từ S, A, B, C và D trong
không gian “khó “ xác đònh được !.
Vậy thì cách 1, cách 2, ở trên không thể áp dụng hoàn toàn tương tự cho bài tập này khi
mở rộng trong không gian.
- “Nhưng ở cách 3, liệu rằng ta thay ‘thao tác’ tìm giao điểm của các đường trung trực bằng thao
tác tương tự tương ứng trong không gian ?”
- “Ở cách 3, ta đã sử dụng tính chất gì ?”
Trong hình học phẳng, ta đã sử dụng tính chất
(M∈ d- đường trung trực AB) <=> (MA= MB)


D C

O
A B
Hình H.3
d
I
Trường THPT Krông Ana
Bước 4: Nghiên cứu lời giải
- “Bạn có thể kiểm tra lại kết quả không ? Có cần kiểm tra lại cả quá trình không ? Lời giải đã
đầy đủ, triệt để chưa ?”
- Lời giải hiển nhiên đúng, đầy đủ và triệt để.
- “Có thể đi đến cùng một kết quả bằng phương pháp khác không ? Có thể xét kết quả ở một khía
cạnh khác không ?”
- * Cách 1: Chứng tỏ “họ điểm”( S, A, B, C và D) đó nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc
vuông ?
Cách này hoàn toàn áp dụng được khi mở rộng trong không gian. Nó tương ứng với bài toán
có quan hệ vuông góc, chẳng hạn:
Bài 2-trang103; Ví du ï2-trang 111-SGK; Bài 0.2-trang 127; Bài 0.6-trang 128-SBT…SGK
CL 2000)
Bài 1-trang 45- SGK CTNC
Bài 1-trang 49- SGK CTC
* Cách 2: Việc tìm điểm cố đònh I đó là có thể làm được, tương tự như ở cách 1, thực ra
cách 1 chính là cách 2. Nhưng ở cách 2, chúng ta có thể sử dụng tính chất của một hình, chẳng hạn
giao điểm hai đường chéo bất kì của hình hộp chữ nhật thì cách đều các đỉnh….
- “ Trên con đường tìm lời giải, bạn có thể phát hiện ra những kết quả nào khác không ?”
* - Bước 1: Qua O dựng đường thẳng ∆ vuông góc mp(ABCD) (∆ là trục đường tròn ngoại
tiếp ABCD).
- “ Có phải lúc nào cũng thực hiện được ?”

bên (là SA, hoặc SB, SC, SD) đồng phẳng với trục đường tròn SO. Có thể thay giả thiết SA= SB=
SC= SD bởi tồn tại một cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ∆ ngoại tiếp ABCD, chẳng hạn:
SA⊥ mp(ABCD).
-“ Khi nào bài toán không giải được ?”
+ Khi không dựng được trục đường tròn ngoại tiếp đáy.
+ Khi không xác đònh được giao điểm của mặt phẳng trung trực một cạnh bên với
trục đường tròn ngoại tiếp đáy. ( Ở đây phải hiểu là ‘khó giải được’)
Do vậy, bài toán không giải được khi:
+ Đáy là đa giác không có đường tròn ngoại tiếp.
+ Không tồn tại cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
(‘khó giải được’).
-“ Ta rút ra được kết luận về điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại
tiếp ?”
- Kết luận: Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp điều kiện cần và đủ là đa giác đáy là đa
giác có đường tròn ngoại tiếp.
-“ Có thể sử dụng phương pháp này cho một bài tập khác không ? Các bước giải như thế
nào ?”
- Có, và ứng với dạng toán ‘xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mà học sinh
sẽ học ở ‘§3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ’.
- Các bước giải: ‘Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp S.A
1
A
2
…A
n
.‘
* Bước 1: Xác đònh ∆- trục đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy.
* Bước 2: “Tìm “ một cạnh bên (giả sử là SA
1

…A
n
.

11
A
1
A
2
A
3
A
4
A
n
S
∆
d
I
Hình H.5
Trường THPT Krông Ana
Lưu ý:
Các bài tập về xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp S.A
1
A
2
…A
n
trong sgk HH 11,
và sách bài tập HH 11(CL2000) và sgk mới chỉ đưa ra các bài tập mà tồn tại một cạnh bên đồâng

∆∩
d. (d là đường trung trực SA)
* Bước 3: Kết luận, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp
S.A
1
A
2
…A
n
- “ Có thể xác đònh tâm mặt cầu qua A, B, C và D theo cách nào?“
Cách 1, không thực hiện được.
Cách 3, không thực hiện được vì Bước 2: Tìm một cạnh bên đồâng phẳng với trục đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là không thực hiện được.

12
D
A
B
C
N
M
P
Q
I
Hình 6
Trường THPT Krông Ana
Vậy chúng ta giải theo cách 2
- “AB= CD, AC= BD, AD= BC.cho ta ?”
Các mặt là các tam giác bằng nhau (c-c-c).
- “ Nhận xét CM, DM ? “

điểm O này.

13
Trường THPT Krông Ana
+ Nhưng ở HH giải tích, thì bài toán : ‘Xác
đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp S.A
1
A
2
…
A
n
với S, A
1,
A
2,
…A
n
cho trước’ thì hoàn toàn đơn giản,
mà ta không cần quan tâm là có một cạnh bên đồâng
phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hay
không. Bởi đây là bài toán đã đại số hoá và tách ra
khỏi yếu tố hình học thuần tuý.
2. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU
NGOẠI TIẾP HÌNH LĂNG TRỤ.
Sách giáo khoa CL2000 có đưa ra đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, nhưng chỉ
vỏn vẹn duy nhất một bài về mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, đó là Bài 1-SGKCL2000-trang103.
Sách giáo khoa mới có đưa ra đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và ở mỗi sách
cũng chỉ có duy nhất một bài tập về mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ(Bài 7-SGKCTC-trang 49, Bài
10-SGKCTNC-trang 46).

A’ B’
C’D’
Hình H.7
Trường THPT Krông Ana
- “ Hãy vẽ hình “
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
- “Hãy nghiên cứu kó cái phải tìm, công việc cần làm ?”
Tìm điểm O sao cho O cách đều A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’.
- “Bạn đã gặp bài toán này chưa ? Đã gặp bài tương tự ?”
Chưa. Bài tập tương tự là ‘Xác đònh tâm đường tròn qua họ điểm cho trước trong hình học
phẳng‘.
- “ Liệu rằng cách giải có thể tương tự ? Vậy thì hãy nhớ lại cách giải và cố gắng vận dụng vào
bài toán mới !”
Bài toán: Xác đònh tâm đường tròn qua họ điểm cho trước trong hình học phẳng‘, có 2 cách
giải cơ bản:
Cách 1: Chứng tỏ họ điểm đó cách đều một điểm cố đònh.
Cách 2: Chứng tỏ họ điểm đó nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc vuông.
Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm là giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng
tạo từ họ điểm đó.
- “ Vận dụng vào bài toán ?”
* Cách 1: Chứng tỏ họ điểm đó cách đều một điểm cố đònh.
Xuất phát từ giã thiết, ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên các đường chéo của hình
hộp chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường, nên O chính là điểm cần tìm-
cách đều A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’.
Kết luận O là điểm cần tìm.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
* Gọi O là giao điểm của AC’ và A’C, lúc này vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật
nên các đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại O, do vậy O cách đều A, B,
C, D, A’, B‘, C’, D’, hay O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD.A’B’C’D’.
Bước 4: Nghiên cứu lời giải

Việc tìm giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng tạo từ A, B, C, D, A’, B‘, C’, D’trong
không gian “khó “ xác đònh được !.
- Có thể dùng cách tương tự:
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD.A’B’C’D’
+ Từ OA= OB= OC= OD, suy ra O thuộc trục đường tròn ∆ ngoại tiếp ABCD.
+ Tương tự O thuộc trục đường tròn ∆’ ngoại tiếp A’B’C’D’
+ Từ OA= OA’, suy ra O thuộc mặt phẳng trung trực AA’.
- Kết hợp với điều kiện cần và đủ để một hình lăng
trụ có mặt cầu ngoại tiếp, ta có kết luận:
Với hình lăng trụ đứng và đáy là một đa giác có
đường tròn ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ được
xác đònh như sau:
* Bước 1: Xác đònh ∆- trục đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy.
* Bước 2: Trong mặt phẳng tạo bởi một cạnh bên với
∆
Gọi O= ∆∩ d (với d là đường trung trực cạnh bên đó
với ∆)
* Bước 3: Kết luận.

16
A
1
A
2
A
3
A
4
A’

5
trường THPT Krông Ana năm học 2008- 2009
- Lập phiếu điều tra.
II. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM.
- Người viết trực tiếp hướng dẫn học sinh giải bài toán “xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp bằng bốn bước Polia “ qua bài tập 2- trang 49- SGKCTC, và thu được kết quả khá khả
quan:
+ Đa số học sinh vận dụng tốt vào giải các bài tập về xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp, lăng trụ.
+ Khi bắt gặp các bài tập về xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ, học sinh
cảm thấy hứng thú bởi nó “không còn” là bài tập khó.
+ Bài kiểm tra viết 1 tiết, thì với bài toán “xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD, với ABCD là hình chữ nhật và SA⊥ mp(ABCD) thì có 35/45 (78%) học sinh làm đúng.
Tuy nhiên, vẫn còn một số em còn lúng túng khi gặp bài toán xác đònh tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp, lăng trụ; Lí do khách quan là các học sinh đó học lực còn yếu về bộ môn Toán, nên
khi tiếp nhận kiến thức cũng như khả năng tìm tòi, sáng tạo có phần nào hạn chế.

18
Trường THPT Krông Ana
LỜI KẾT
Với mục đích nâng cao chất lượng dạy và học, khơi dậy và phát huy khả năng tìm tòi, sáng
tạo của học sinh người viết mạnh dạn đưa ra một sáng kiến nhỏ. Tuy nhiên vẫn còn nhiều thiếu sót,
chưa thật sự phù hợp cho mọi đối tượng học sinh. Kính mong người đọc và các đồng nghiệp góp ý
để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa tồi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp của tôi đã góp ý và giúp đỡ tôi hoàn
thành bài viết.
Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo

19
Trường THPT Krông Ana

Người viết:
Giáo viên:
Nguyễn Hiếu Thảo.
Năm học 2008 - 2009

21