ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG

PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP
CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN THỊ HỒNG PHƢƠNG

PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP
CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trƣơng Minh Tuyên



Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán tử j-đơn điệu .

3

1.1.1. Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Toán tử j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Giới hạn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc cho bài
toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 14
1.3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Phương pháp đường dốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của
toán tử đơn điệu và một số cải tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép


tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }


dưới vi phân của hàm lồi f

M

bao đóng của tập hợp M

o(t)

vô cùng bé bậc cao hơn t


1

Mở đầu

Cho H là một không gian Hilbert, bài toán xác định không điểm của lớp toán
tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆ H có vai trò quan trọng trong lĩnh vực
giải tích phi tuyến và lĩnh vực tối ưu hóa. Chẳng hạn, nếu f : H −→ R ∪ {+∞}
là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới thì toán tử dưới vi phân ∂f :
H −→ 2H xác định bởi ∂f (x0 ) = {u ∈ H : f (x) − f (x0 ) ≥ u, x − x0 , ∀x ∈ H}
là một toán tử đơn điệu cực đại [16]. Ta biết rằng điểm x ∈ H làm cực tiểu
phiếm hàm lồi f khi và chỉ khi θ ∈ ∂f (x). Như vậy, bài toán cực tiểu hóa phiếm
hàm lồi f ở trên tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử đơn
điệu cực đại ∂f . Bài toán này đã được nghiên cứu và mở rộng cho các bài toán
tìm không điểm của toán tử đơn điệu hay toán tử j-đơn điệu trong không gian
Banach.
Ta biết rằng, nếu T : D(T ) ⊆ E −→ 2E là một ánh xạ không giãn, thì
A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, ở đây I là toán tử đồng nhất trên E. Do
đó, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T có thể đưa về bài toán

3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach trơn đều
và toán tử j-đơn điệu. Mục 1.2 trình bày về giới hạn Banach và một số tính
chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày các nội dung của chương 2. Mục 1.3
giới thiệu sơ lược về phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc
nhất cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.4 đề cập
đến phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử
đơn điệu và một số cải tiến của nó. Mục 1.5 trình bày một số bổ đề bổ trợ cần
sử dụng trong chứng minh các định lý ở chương sau của luận văn.

1.1.

Một số vấn đề về không gian Banach trơn và toán
tử j-đơn điệu

1.1.1.

Không gian Banach trơn

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach
phản xạ.
Định nghĩa 1.1. Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ,
nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại
phần tử x thuộc E sao cho
x, x∗ = x∗ , x∗∗ với mọi x∗ ∈ E.
Chú ý 1.1. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu x, x∗ để chỉ giá trị của

Chú ý 1.2. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng.
Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của một
phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản
xạ.


5
Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach
phản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục
dưới trên C, sao cho f (xn ) → ∞ khi xn → ∞. Khi đó, tồn tại x0 ∈ dom(f )
sao cho
f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}.
Chứng minh. Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C}. Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao
cho f (xn ) → m khi n → ∞. Nếu {xn } không bị chặn, thì tồn tại một dãy con
{xnk } của {xn } sao cho xnk → ∞. Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn
với m = ∞. Do đó, {xn } bị chặn. Theo Mệnh đề 1.1 và Mệnh đề 1.2, tồn tại
dãy con {xnj } của {xn } sao cho xnj

x0 ∈ C. Vì f là nửa liên tục dưới trong

tôpô yếu, nên ta có
m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m.
j→∞

n→∞

Do đó, m = f (x0 ).
Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.2. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E
được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE , tồn tại giới

Nhận xét 1.1. Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên
tục và tăng trên khoảng [0; +∞) [1], [11].
Ví dụ 1.1. [1] Nếu E là không gian lp hoặc Lp (Ω), thì ta có

1

(1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,
p
ρE (τ ) =
p−1 2
p
−
1


τ 2 + o(τ 2 )

iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi
E là không gian Banach trơn đều.
Ví dụ 1.3. Xét không gian lp , với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không
gian lp là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy
nó được xác định như sau


θ nếu x = θ,
J(x) =
{η } ∈ lq nếu x = {ξ } = θ,

n
n
trong đó ηn = |ξn |p−1 sgn(ξk )

1
x

p−2

với mọi k ≥ 1.

Định nghĩa 1.8. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E được
gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu {xn } ⊂ E thỏa mãn
xn

x, thì J(xn ) hội tụ *yếu về J(x).



Banach,

toán

tử

A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn
tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
u − v, j(x − y) ≥ 0, ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y).

(1.4)

Chú ý 1.5. Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tử
j-đơn điệu trùng nhau.
Định nghĩa 1.10. Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là m-jđơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của
I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Chú ý 1.6. Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn
điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 1.5. [16] Cho f : H −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tục
dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân
∂f (x) = {u ∈ H : f (y) − f (x) ≥ y − x, u , ∀y ∈ H}
là một toán tử đơn điệu cực đại.


9
Định nghĩa 1.11. Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử j-đơn điệu
thỏa mãn điều kiện miền, tức là D(A) ⊂ ∩λ>0 R(I + λA). Khi đó, toán tử
JrA = (I + rA)−1 được gọi là toán tử giải của A.
Chú ý 1.7. Để đơn giản ta sử dụng ký hiệu Jr thay cho JrA . Toán tử Jr là không
giãn và đơn trị. Ngoài ra, ta cũng biết rằng mọi toán tử m-j-đơn điệu đều thỏa

10
(i) Nếu F là λ-giả co chặt, thì F là Lipschitz với hằng số (1 + 1/λ);
(ii) Nếu F là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thì
1−δ
I − F là ánh xạ co với hệ số co là
;
λ
(iii) Nếu F là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1,
thì với mọi τ ∈ (0, 1), ta đều có I − τ F là ánh xạ co với hệ số co là
1−δ
).
1 − τ (1 −
λ
Định nghĩa 1.14. Giả sử T là một ánh xạ không giãn. Phần tử x ∈ D(T ) được
gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các điểm bất động của T
thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ).
Chú ý 1.8. Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm bất
động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
Chú ý 1.9. Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của không
gian Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu. Trong trường hợp C trùng
với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu.

1.2.

Giới hạn Banach

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến khái niệm giới hạn Banach:
Cho f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ . Ta sử dụng fn (xn+m ) để
ký hiệu
f (xm+1 , xm+2 , ..., xm+n , ...),

2

− xn − y

2

≤ ( xn − ym + xn − y )( xn − ym − xn − y )
≤ L| xn − ym − xn − y |
≤ L ym − y ,

với mọi m, n ∈ N. Từ đó, suy ra
LIMn xn − y

2

≤ LIMn xn − ym

2

+ L ym − y 2 .

2

≤ LIMn xn − ym

2

+ L ym − y 2 .

Tương tự, ta cũng có


2

≤ 2ϕ(ym ) + 2 sup xn 2 ,
n∈N

tức là, ϕ(ym ) → ∞ khi ym → ∞.
Như vậy, ϕ là hàm lồi liên tục và ϕ(z) → ∞ khi z → ∞. Vì E là không gian
phản xạ, nên theo Mệnh đề 1.2, ϕ đạt cực tiểu trên C. Do đó, M là tập lồi, đóng
và khác rỗng.
Ta chỉ ra M bị chặn. Thật vậy, lấy u ∈ M , ta có
u
suy ra u

2

2

2

≤ 2 u − xn

+ 2 xn 2 , ∀n ∈ N,

≤ 2ϕ(u) + 2K = 2 inf z∈C ϕ(z) + 2K, với K = supn { xn 2 }. Do đó,

M là tập bị chặn.
Giả sử E là không gian Banach lồi đều. Lấy z1 , z2 ∈ M . Vì M là tập lồi nên
(z1 + z2 )/2 ∈ M. Chọn r > 0 đủ lớn sao cho {xn } ∪ M ⊂ SE [0, r] = {x ∈ E :
x ≤ r}. Khi đó, xn − z1 , xn − z2 ∈ SE [0, 2r] với mọi n. Từ Mệnh đề 2.8.172 ,

z∈C
2

z1 + z2
1
1
1
≤ ϕ(z1 ) + ϕ(z2 ) − g2r ( z1 − z2 )
2
2
2
4

Mệnh đề 2.8.17. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

i) E là không gian lồi đều;
ii) Với mọi p ∈ (1, ∞) và mọi r > 0, tồn tại hàm lồi và tăng ngặt gr : R+ −→ R+ thỏa mãn
gr (0) = 0 và
tx + (1 − t)y
với mọi x, y thỏa mãn x ≤ r,

p

≤t x

p

+ (1 − t) y

p

Chứng minh. Giả sử u ∈ E sao cho LIMn xn − u

2

= inf z∈E LIMn xn − z 2 .

Khi đó, u là điểm cực tiểu của phiếm hàm lồi khả vi φ : E −→ R+ xác định
bởi φ(z) = LIMn xn − z 2 , do đó φ (u) = 0.
Chú ý rằng E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều và j(x) là
dưới vi phân của hàm lồi ϕ(x) = x 2 /2 tại x trùng với đạo hàm Gâteaux của
ϕ. Do đó,
LIMn z, j(xn − u) = z, φ (u) = 0, ∀z ∈ E.
Ngược lại, giả sử LIMn z, j(xn − u) = 0 với mọi z ∈ E. Khi đó, với mọi
x ∈ E, ta có
xn − x

2

2

− xn − u

≥ 2 u − x, j(xn − u) , ∀n.

Vì LIMn u − x, j(xn − u) = 0 với mọi x ∈ E, nên ta nhận được
LIMn xn − u

2

= inf LIMn xn − x 2 .

Năm 2000, Moudafi [15] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Cho T : C → C là
một ánh xạ không giãn và f : C → C là một ánh xạ co trên tập con lồi, đóng
và khác rỗng C của không gian Hilbert H, Moudafi đã chứng minh được các kết
quả sau:
(1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi:
x0 ∈ C, xn =

1
εn
T (xn ) +
f (xn ), ∀n ≥ 0,
1 + εn
1 + εn

(1.6)

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),
trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0.
(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi
zn+1 =

1
εn
T (zn ) +
f (zn ), ∀n ≥ 0.
1 + εn
1 + εn


Phương pháp đường dốc

Xét bài toán tối ưu không ràng buộc
min{f (x) : x ∈ Rn }.
Ta sẽ xây dựng một dãy điểm x0 , x1 , x2 , ... sao cho f (xk+1 < f (xk )) với mọi
k = 0, 1, 2, ..., dãy {xk } hội tụ tới x∗ khi k → ∞ và

f (x∗ ) = 0. Giả sử ta có

điểm xk thuộc lân cận của x∗ , khi đó để giảm hàm mục tiêu ta sẽ dịch chuyển
từ xk theo hướng dk tạo với véctơ gradient

f (xk ) một góc tù, tức là xác định

xk+1 = xk + αk dk ,
trong đó αk > 0 và

f (xk ), dk < 0.

Thật vậy, khai triển hàm f (x) thành chuỗi Taylor tại điểm xk , ta được
k

f (x) = f (x ) + α

α2
f (x ), d +
2
k

∂f (x) T

f (xk ) với mọi k,

thì phương pháp gradient như thế được gọi là phương pháp đường dốc nhất
(Steepest descent method). Đây là một phương pháp thông dụng để tìm cực
tiểu, nó rất đơn giản và có thể áp dụng cho nhiều lớp hàm khác nhau. Theo
phương pháp này, dãy lặp {xk } được xác định như sau:
xk+1 = xk − αk

f (xk ), αk > 0, k = 0, 1, 2, ...

(1.8)


16
Vấn đề đặt ra là, trong phương pháp lặp (1.8) αk > 0 được xác định như thế
nào. Dưới đây, chúng tôi giới thiệu qui tắc Armijo để xác định αk tại mỗi bước
lặp:
1. Chọn giá trị α tùy ý (như nhau với mọi bước lặp, chẳng hạn α = 1) và xác
định điểm x = xk − α

f (xk );

2. Tính f (x) = f [xk − α

f (xk )];

3. Kiểm tra bất đẳng thức
f (x) − f (xk ) ≤ εα

f (xk ), dk = −εα



17
Trong trường hợp này, thì dn := xn − T xn và theo phương pháp này thì phần
tử xn+1 sẽ gần tập điểm bất động của T hơn so với điểm xn . Thật vậy, lấy bất
kỳ p ∈ F ix(T ), khi đó ta có
xn+1 − p = xn − µn (xn − T xn ) − p
= (1 − µn ) xn − p + µn T xn − T p
≤ xn − p .

1.4.

Phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định
không điểm của toán tử đơn điệu và một số cải tiến

Trong mục này, trước hết chúng tôi trình bày khái quát về phương pháp điểm
gần kề cho phương trình với toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu.
Xét bài toán
Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗ )

θ,

(1.11)

với A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử m-j-đơn điệu.
Khi A là m-j-đơn điệu trong không gian Hilbert H, nghĩa là A là toán tử
đơn điệu cực đại thì Rockafellar R. T. [17] đã xét phương pháp lặp
cn Axn+1 + xn+1

xn , x0 ∈ H,


Chú ý 1.13. Năm 1991, Guler [12] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương
pháp lặp (1.12) không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng
quát. Một ví dụ gần đây của các tác giả Bauschke, Matouˇskov´a và Reich [4] dựa
trên sự kết hợp giữa phương pháp điểm tựa và ví dụ của Hundal [13] về sự hội
tụ yếu của phương pháp chiếu luân phiên cho bài toán chấp nhận lồi, cũng chỉ
ra rằng dãy lặp {xn } xác định bởi (1.12) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ theo
chuẩn.
Năm 2008, Chen và Zhu [9] đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của phương
pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu
trong không gian Banach trơn đều, kết quả này được mô tả trong định lý dưới
đây:
Định lí 1.2. [9] Cho E là một không gian Banach trơn đều. Cho A là một toán
tử m-j-đơn điệu trong E với C = D(A) là tập lồi và cho f : C −→ C là một
ánh xạ co. Ta xác định dãy {xn } bởi x0 ∈ C,
xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )Jrn xn , n ≥ 0,

(1.14)

trong đó {αn } và {rn } thỏa mãn các điều kiện
= ∞,

∞
n=0 |αn+1

− αn | < ∞;

(ii) rn ≥ ε > 0 với mọi n và

∞


∞
n=0 |αn+1 − αn | < ∞,
∞
n=0 |rn+1 − rn | < ∞.

∞
n=0 |λn+1

− λn | < ∞,

∞
n=0 |µn+1

− µn | < ∞ và

Khi đó, với x0 ∈ E, dãy {xn } xác định bởi


yn = αn xn + (1 − αn )Jr xn ,
n

xn+1 = Jrn yn − λn µn F (Jrn yn ), ∀n ≥ 0,

(1.15)

hội tụ mạnh về một không điểm của A, đồng thời là nghiệm duy nhất u∗ của bài
toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C).
Định lí 1.4. [6] Cho E là một không gian Banach trơn đều và cho A là một
toán tử m-j-đơn điệu trong E với C = A−1 (0) = ∅. Giả sử F : E −→ E là

= y − λ F (y ), ∀n ≥ 0,
n+1

n

n

∞
n=0 |rn+1

− rn | < ∞.

(1.16)

n

hội tụ mạnh về một không điểm của A, đồng thời là nghiệm duy nhất u∗ của bài
toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C).