ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM
KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU
HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM
KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU
HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRƯƠNG MINH TUYÊN

THÁI NGUYÊN-2015


R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

argminx∈X F (x)

tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

I


ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

δE (ε)

mô đun lồi của không gian Banach E

F ix(T ) hoặc F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f

M

bao đóng của tập hợp M

o(t)

vô cùng bé bậc cao hơn t


iii

Mục lục

Lời cảm ơn
Một số ký hiệu và viết tắt
Mở đầu


2.1. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . 13
2.2. Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann . . 15
2.3. Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern . 17
2.4. Phương pháp prox-Tikhonov kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm 20
2.5. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tài liệu tham khảo

37


1

Mở đầu

Cho E là một không gian Banach, bài toán xác định không điểm của lớp
toán tử loại đơn điệu có vai trò quan trọng trong lĩnh vực giải tích phi tuyến và
tối ưu hóa và một số ngành khoa học khác như vật lý, kinh tế, y học... Chẳng
hạn như bài toán chấp nhận lồi trong không gian Hilbert H, tìm một phần tử
x∗ ∈ ∩N
i=1 Ci = ∅, có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu
hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai , là dưới vi phân của hàm chỉ của tập Ci , hay
bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong
không gian Banach tương đương với bài toán xác định không điểm của hột họ
toán tử j-đơn điệu ... Do đó, vấn đề nghiên cứu các phương pháp giải hệ phương
trình với toán tử loại đơn điệu đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của
nhiều người làm toán trên thế giới.
Khi A : H −→ 2H một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Hilbert
H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu và đơn điệu là trùng nhau),
thì R. T. Rockafellar [17] đã đề xuất phương pháp điểm gần kề để xác định dãy

với phương pháp lặp Halpern cho bài toán xác định không điểm của một
họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach với tính liên tục
yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy;
2. Trình bày phương pháp prox-Tikhonov hiệu chỉnh với phương pháp xấp xỉ
mềm dựa trên toán tử Mier-Keeler co cho bài toán xác định không điểm
của một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu trong không gian Banach với chuẩn
khả vi Gâteaux đều.
Luận văn được chia làm hai chương chính. Chương 1 là chương có tính chất
chuẩn bị, nhằm trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach lồi
đều, không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều, ánh xạ đối ngẫu, toán
tử j-đơn điệu và giới hạn Banach. Chương 2 của luận văn tập chung trình bày
lại một số phương pháp cải tiến của phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm
không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu, cùng với một ví dụ
số đơn giản được tính toán bằng phần mềm Matlab, nhằm minh họa thêm cho
các phương pháp.


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 3 mục. Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach lồi đều và
không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Mục 1.2 trình bày về ánh xạ
đối ngẫu, toán tử j-đơn điệu và giới hạn Banach, cùng với một số tính chất cơ
bản của chúng. Mục 1.3, giới thiệu một số bổ đề cần sử dụng trong chứng minh
các định lý ở chương sau của luận văn.

1.1.


luôn có
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2
Dễ thấy rằng nếu E là không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach
lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ ra điều đó.
Ví dụ 1.1. [1] Xét X = c0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn
.

β

xác định bởi
∞

x

β

= x

c0

+β
i=1

|xi |2
i2

1/2


5
Định nghĩa 1.6. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó:
a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi
x ∈ SE .
b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ SE giới hạn
(1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ SE .
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là thỏa mãn điều kiện của
Opial nếu với mọi dãy {xn } ⊂ E thỏa mãn xn

x ∈ E, ta đều có

lim inf xn − x < lim inf xn − y ,
n→∞

n→∞

với mọi y ∈ E mà y = x.
Ví dụ 1.2. Mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial.

1.2.

Ánh xạ đối ngẫu, toán tử j−đơn điệu và giới hạn
Banach

1.2.1.

Ánh xạ đối ngẫu

Dưới đây, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ đối ngẫu tương ứng với hàm
cỡ ϕ.

trị J : E −→ 2E xác định bởi
J(x) = {f ∈ E ∗ : x, f = x 2 , x = f }
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Chú ý 1.3. Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh
xạ đồng nhất I.
Nhận xét 1.2. Trong không gian tuyến tính định chuẩn E bất kì, ta luôn có
J(x) = ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lí HahnBanach.
Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E.
Mệnh đề 1.3. [1] Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó
i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E;
ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là một tập
hợp bị chặn trong E ∗ ;
iv) Nếu E ∗ là lồi chặt thì J là đơn trị;
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi
E là không gian Banach trơn đều.


7
Ví dụ 1.3. Xét không gian lp , với p > 1. Vì không gian đối ngẫu lq của không
gian lp là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của lp là đơn trị và dễ thấy
nó được xác định như sau:

θ nếu x = θ
J(x) =
{η } ∈ lq nếu x = {ξ } = θ,
n
n

+ 2 y, j(x + y) .

ii) Nếu dãy {xn } trong E hội tụ yếu về một điểm x thuộc E, thì
lim sup Φ( xn − y ) = lim sup Φ( xn − x ) + Φ( y − x ), ∀y ∈ E.
n→∞

n→∞

Dưới đây, chúng tôi sẽ đề cập đến khái niệm ánh xạ co rút không giãn theo
tia cùng với một số tính chất của nó.
Định nghĩa 1.13. Cho E là một không gian Banach và C là một tập con lồi
đóng của E. Một ánh xạ QC : E −→ C được gọi là
a) co rút nếu Q2C (x) = QC (x), ∀x ∈ E;


8
b) co rút không giãn nếu QC là co rút và là một ánh xạ không giãn, tức là
QC (x) − QC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ E;
c) co rút không giãn theo tia nếu QC là co rút không giãn và thoả mãn tính
chất
QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x), ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.14. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E được gọi
là
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn từ E
lên C;
c) co rút không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn
theo tia từ E lên C.
Mệnh đề 1.5. [5] Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, một tập
con lồi đóng khác rỗng C của E, đều là tập con co rút của E.

j−đơn điệu trùng nhau.
Định nghĩa 1.16. Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E được gọi là m-jđơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của
I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Chú ý 1.7. Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn
điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 1.4. [16] Cho H là một không gian Hilbert và f : H −→ R là một hàm
lồi chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó, toán tử dưới vi phân
∂f (x) = {z ∈ H : f (y) − f (x) ≥ y − x, z , ∀y ∈ H}
là một toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.17. Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ E
được gọi là không giãn nếu
T (x) − T (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ).
Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập
các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F (T ).
Chú ý 1.8.

i) Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm

bất động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
ii) Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của không gian
Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu. Trong trường hợp C trùng
với E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu.


10
1.2.3.

Giới hạn Banach

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến khái niệm giới hạn Banach:


(1.5)

Chú ý 1.11. Từ Bổ đề 1.1, với mỗi ε > 0, tồn tại r ∈ (0, 1) sao cho
φx − φy ≤ max{ε, r x − y },
với mọi x, y ∈ C.

(1.6)


11
Bổ đề 1.2. [20] Cho C là một tập con lồi của không gian Banach E. Cho T là
một ánh xạ không giãn trên C và φ là một ánh xạ Meir-Keeler co trên C. Khi
đó, với mỗi t ∈ (0, 1), ánh xạ x → (1 − t)T x + tφx là Meir-Keeler co trên C.
Bổ đề 1.3. [8] Cho E là một không gian Banach với chuẩn khả vi Gâteaux đều,
C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng E và {xn } là một dãy bị chặn trong E. Cho
LIM là giới hạn Banach và y ∈ C sao cho LIMn xn − y

2

= inf x∈C xn − x 2 .

Khi đó, LIMn x − y, j(xn − y) ≤ 0 với mọi x ∈ C.
Bổ đề 1.4. [4] Cho E là không gian Banach thực phản xạ và có ánh xạ đối ngẫu
Jϕ tương ứng với hàm cỡ ϕ liên tục yếu theo dãy. Giả sử C là tập con lồi, đóng
của E, T : C → C là một ánh xạ không giãn và f : C → C là một ánh xạ co.
Khi đó với t ∈ (0, 1), tồn tại duy nhất xt thỏa mãn
xt = tf (xt ) + (1 − t)T (xt ).

(1.7)


N
m=1 βm Sm

là ánh xạ không

ở đây {βm } là dãy số thực trong khoảng

Bổ đề 1.6. [10] Cho E là không gian Banach lồi đều, s > 0 là số thực dương.
Khi đó tồn tại hàm lồi, liên tục và tăng ngặt g : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn
g(0) = 0 và
N

N

βm xm
m=1

2

≤

βm xm
m=1

2

− β1 β2 g( x1 − x2 ),





13

Chương 2
Một số phương pháp tìm không điểm chung của
một họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu

Chương này chúng tôi tập trung trình bày về một số phương pháp cải tiến
của phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm chung của một họ
hữu hạn toán tử j-đơn điệu. Mục 2.1 trình bày sơ lược về một số phương pháp
tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 2.2 và Mục 2.3 trình bày về
phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann và phương pháp
lặp Halpern trong tài liệu [26]. Mục 2.4 trình bày về phương pháp prox-Tikhonov
kết hợp với phương pháp xấp xỉ gắn kết trong tài liệu [22] và [11].

2.1.

Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh
xạ không giãn

Bài toán: Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert
H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Tìm x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ .
Chú ý 2.1. Nếu T là ánh xạ co trên C, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C
và xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T . Tuy nhiên điều
này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn.
Phương pháp lặp Mann
Năm 1953, W. R. Mann [13] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau:
x0 ∈ C là một phần tử bất kì,
xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn ,


(2.2)

ở đây u ∈ C và {αn } ⊂ (0, 1). Dãy lặp (2.2) được gọi là dãy lặp Halpern. Ông
đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (2.2) về điểm bất động của ánh xạ
không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1).
Phương pháp lặp xấp xỉ mềm
Năm 2000, Moudafi [15] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và đã chứng minh
được các kết quả sau:
(1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi:
x0 ∈ C, xn =

1
εn
T (xn ) +
f (xn ), ∀n ≥ 0,
1 + εn
1 + εn

(2.3)

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân:
x ∈ F (T ) sao cho (I − f )(x), x − x ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),
trong đó {εn } là một dãy số dương hội tụ về 0.
(2) Với mỗi phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi:
zn+1 =

1
εn

Moudafi trở về phương pháp lặp của Halpern.

2.2.

Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp
lặp Mann

Trước hết, chúng tôi trình bày phương pháp điểm gần kề cho phương trình
với toán tử đơn điệu và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert H.
Xét bài toán
Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗ )

0,

(2.5)

với A : D(A) ⊂ H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại.
Năm 1976, R. T. Rockafellar [17] đã xét phương pháp lặp
cn Axn+1 + xn+1

xn , x0 ∈ H,

(2.6)

ở đây cn > c0 > 0 và gọi là phương pháp điểm gần kề. Rockafellar cũng đã chỉ
ra sự hội tụ yếu của dãy lặp {xn } xác định bởi (2.6) về một nghiệm của bài toán
(2.5).
Chú ý 2.3. Phương pháp điểm gần kề được B. Martinet đề xuất lần đầu tiên
trong tài liệu [14] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên
tục dưới ψ : H −→ R ∪ {+∞} ở dạng sau:

nằm trong khoảng (0, 1), {ri }N
i=1 là các số thực dương. Cho {xn } là dãy được xác
định bởi x1 ∈ ∩N
i=1 D(Ai ) và
N

βn,i Jri xn , ∀n ≥ 1,

xn+1 = αn xn + (1 − αn )

(2.8)

i=1

ở đây Jri = (I + ri Ai )−1 . Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
a) 0 < a ≤ αn ≤ b < 1,
b)

N
i=1 βn,i

= 1 và 0 < c ≤ βn,i < 1 với mọi n, i ≥ 1 ở đây a, b, c là các số

thực
−1
thì dãy {xn } hội tụ yếu về phần tử x∗ ∈ ∩N
i=1 Ai (0).
−1
Chứng minh. Trước tiên, ta sẽ chỉ ra dãy {xn } bị chặn. Cố định p ∈ ∩N
i=1 Ai (0),


2

βn,i Jri xn − p
i=1

N

− αn (1 − αn )g

xn −

βn,i Jri xn
i=1
N

≤ xn − p

2

− αn (1 − αn )g

βn,i xn − Jri xn
i=1

.


17
Do đó

βn,i xn − Jri xn = 0.

lim

n→∞

i=1

Từ điều kiện b), suy ra limn→∞ xn − Jri xn = 0 với mỗi i ∈ {1, 2, ..., N }. Vì
dãy {xn } bị chặn nên tồn tại dãy con {xnj } hội tụ yếu tới x∗ . Sử dụng Bổ đề
−1
1.7 ta thu được x∗ ∈ F (Jri ), tức x∗ ∈ ∩N
i=1 Ai (0).

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra dãy {xn } hội tụ yếu tới x∗ . Giả sử tồn tại dãy con
{xnk } của dãy {xn } hội tụ yếu đến x¯ ∈ C, với x∗ = x¯. Tương tự như trên ta có
−1
x¯ ∈ ∩N
i=1 Ai (0).
−1
Ta biết rằng giới hạn limn→∞ xn − p tồn tại với mọi p ∈ ∩N
i=1 Ai (0). Do đó,

ta giả sử limn→∞ xn − x∗ = d, với d là một số thực không âm. Theo giả thiết,
E thỏa mãn điều kiện Opial nên
d = lim inf xnj − x∗ < lim inf xnj − x¯
j→∞

j→∞


i=1 D(Ai ) và
N

βn,i Jri xn , ∀n ≥ 1,

xn+1 = αn x + (1 − αn )

(2.9)

i=1

ở đây Jri = (I + ri Ai )−1 . Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
a) limn→∞ αn = 0,
b)

N
i=1 βn,i

∞
n=1 αn

= ∞ và

∞
n=1 |αn+1

− αn | < ∞,

∞
n=1 |βn+1,i

i=1

≤ αn x − p + (1 − αn ) xn − p .
Do đó
xn+1 − p ≤ max{ x − p , x1 − p },
suy ra dãy {xn } bị chặn.
Đặt yn =

N
i=1 βn,i Jri xn ,

khi đó ta có
N

N

yn − yn−1 ≤

βn,i Jri xn −
i=1
N

βn,i Jri xn−1
i=1
N

βn,i Jri xn−1 −

+
i=1

Đặt S =
∩N
i=1 F (Jri ) =

N
i=1 βi Jri . Từ Bổ
−1
∩N
i=1 Ai (0). Mặt

đề 1.5, S là ánh xạ không giãn với F (S) =
khác

Sxn − xn ≤ xn − xn+1 + xn+1 − Sxn
N

≤ xn − xn+1 + αn x − Sxn + βn

βn,i Jri xn − Sxn
i=1

N

|βn,i − βi | Jri xn .

≤ xn − xn+1 + αn x − Sxn +
i=1

Kết hợp các điều kiện a), b) và (2.10) ta thu được
lim Sxn − xn = 0.



20
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử xnk

x¯ với x¯ ∈ ∩N
i=1 D(Ai ). Từ

Mệnh đề 1.4 và tính liên tục yếu theo dãy của jϕ , suy ra
lim sup Φ( xnk − y ) = lim sup Φ( xnk − x¯ + Φ( y − x¯ ), ∀y ∈ E.
k→∞

k→∞

Đặt g(x) = lim supk→∞ Φ( xnk − y ), ∀x ∈ E. Khi đó,
g(x) = f (¯
x) + Φ( x − x¯ ), ∀x ∈ E.

(2.14)

Từ (2.11), ta nhận được
g(S x¯) = lim sup Φ( xnk − S x¯ ) = lim sup Φ( Sxnk − S x¯ )
k→∞

k→∞

(2.15)

≤ lim sup Φ( xnk − x¯ ) = g(¯
x).


Phương pháp prox-Tikhonov kết hợp với phương
pháp xấp xỉ mềm

Để thu được sự hội tụ mạnh, năm 1996 Lehdili và Moudafi [12] đã đề xuất
kết hợp phương pháp điểm gần kề và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và gọi
là phương pháp prox-Tikhonov. Năm 2006, Xu [24] và năm 2009 Song và Yang