BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯƠNG MINH TUYÊN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN
CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. GS. TS. Jong Kyu Kim
THÁI NGUYÊN-NĂM 2013
ii
LỜI CAM ĐOAN
Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi,
được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và GS.
TS. Jong Kyu Kim. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa
từng được công bố trong các công trình của người khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình.
Tác giả
Trương Minh Tuyên
iii
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường và
GS. TS. Jong Kyu Kim. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
Thầy.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và
seminar tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến

1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . 17
1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 18
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . 18
1.3. Phương pháp điểm gần kề quán tính . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . 25
1.5. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2. Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động của ánh
xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương 2. Phương pháp điểm gần kề 40
2.1. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm bất động
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn . . . . . . 40
v
2.2. Tính ổn định của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Phương pháp điểm gần kề và bài toán xác định không điểm
của toán tử m-j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
hạn các ánh xạ giả co chặt . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.2. Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 75
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm
gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất
động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn . . . 75
3.2. Tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . 82
3.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu

−1
toán tử ngược của toán tử A
I toán tử đồng nhất
L
p
(Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω
l
p
không gian các dãy số khả tổng bậc p
d(x, M) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M
H(C
1
, C
2
) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp C
1
và C
2
lim sup
n→∞
x
n
giới hạn trên của dãy số {x
n
}
lim inf
n→∞
x
n
giới hạn dưới của dãy số {x

E
(ε) mô đun lồi của không gian Banach E
ρ
E
(τ) mô đun trơn của không gian Banach E
F ix(T ) hoặc F (T) tập điểm bất động của ánh xạ T
∂f dưới vi phân của hàm lồi f
M bao đóng của tập hợp M
d(a, M) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M
W
m
p
(Ω) không gian Sobolev
o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t
n
[a,b]
số điểm chia cách đều trên đoạn [a, b]
n
max
số bước lặp
tg thời gian tính toán
err sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác
int(C) phần trong của tập hợp C
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp
riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng
của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {C
i
}

trong không gian Banach E có thể đưa về
bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j-đơn
điệu A
i
= I − T
i
với i = 1, 2, , N.
Khi A : H −→ 2
H
một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian
Hilbert H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu và đơn điệu là
trùng nhau), thì Rockafellar R. T. [77] đã đề xuất phương pháp điểm gần
2
kề để xác định dãy {x
n
} như sau:
c
n
Ax
n+1
+ x
n+1
 x
n
, x
0
∈ H, (0.1)
ở đây c
n
> c

} là hai
dãy số không âm. Đối với thuật toán mở rộng này thì người ta cũng chỉ
thu được sự hội tụ yếu của dãy lặp {x
n
} về một không điểm của toán tử
đơn điệu cực đại A trong không gian Hilbert.
Khi A : E −→ E là một toán tử m−j−đơn điệu từ không gian Banach
E vào chính nó, năm 2002 Ryazantseva I. P. [78] đã kết hợp phương pháp
điểm gần kề với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh
ở dạng
c
n
(A(x
n+1
) + α
n
x
n+1
) + x
n+1
= x
n
, x
0
∈ E. (0.3)
Ryazantseva I. P. đã chỉ ra sự sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x
n
} xác định
bởi (0.3) về một không điểm của A khi không gian Banach E và các dãy
số dương {c

n
}, trong đó J
A
r
n
= (I + r
n
A)
−1
.
Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương
trình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng.
[22] đã đề xuất và nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov
cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn
3
trị đơn điệu, thế năng, h−liên tục từ không gian Banach E vào không gian
đối ngẫu E
∗
. Ông đã quy bài toán giải hệ phương trình với các toán tử
đơn điệu cực đại về việc giải một phương trình toán tử và thu được sự hội
tụ mạnh của thuật toán về một nghiệm của hệ khi các tham số hiệu chỉnh
được chọn thích hợp.
Năm 2008, trên cơ sở kết quả nghiên cứu đạt được của mình vào năm
2006, tác giả Buong Ng. [23] lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương pháp
điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểm chung của
một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại A
i
= ∂f
i

+ z
n+1
− z
n
 γ
n
(z
n
− z
n−1
),
trong đó z
0
, z
1
∈ H, {c
n
}, {α
n
} {γ
n
} là các dãy số thực không âm và A
n
j
là các toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ toán tử dưới vi phân ∂ϕ
j
của phiếm
hàm ϕ
j
theo nghĩa dưới đây

hiệu chỉnh Tikhonov và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề bao
gồm phương pháp điểm gần kề dạng (0.4), phương pháp điểm gần kề quán
tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn trong không gian Banach, cùng với các bài toán
liên quan dựa trên tư tưởng thuật giải của tác giả Buong Ng. trong các tài
liệu [22], [23]. Ngoài ra, trong luận án chúng tôi cũng tiến hành nghiên cứu
tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh thu được theo hướng nghiên
cứu của Alber Y. [10]. Cụ thể hơn, luận án tập trung giải quyết các vấn
đề sau:
1. Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề dạng (0.4) cho bài toán tìm
một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Banach và các biến thể khác nhau của nó, đồng
thời nghiên cứu tính ổn định của các phương pháp lặp thu được theo
hướng nghiên cứu của Alber Y. trong tài liệu [10]. Cụ thể, chúng tôi
nghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x
n
} được xác định ở dạng
r
n
N

i=1
A
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n

, n ≥ 0. (0.6)
5
3. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm
gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất động chung
của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach
và các biến thể khác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định
của các phương pháp hiệu chỉnh thu được. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ
đề cập đến sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và
phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh ở dạng
N

i=1
A
i
(x
n
) + α
n
(x
n
− y) = θ, (0.7)
c
n
(
N

i=1
A
i
(u

: C −→ C là các
ánh xạ không giãn với mọi i = 1, 2, , N và Q
C
: E −→ C là một
ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C.
Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương:
Chương 1 có tính chất bổ trợ, giới thiệu sơ lược về một số vấn đề liên
quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán đặt không
chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, bài toán tìm điểm bất động chung của
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, tổng quan về các phương pháp
giải đã biết cho các lớp bài toán này và cuối cùng là một số bổ đề cần sử
dụng cho việc chứng minh các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương
sau của luận án.
Chương 2 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp
điểm gần kề theo hướng nghiên cứu của các tác giả Buong Ng. [22] và Xu
H. K. [88] cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn và cho bài toán xác định không điểm của toán tử
m-j-đơn điệu trong không gian Banach, ở đây tính ổn định của các phương
pháp lặp cũng được thiết lập và nghiên cứu. Một số ứng dụng của các kết
quả đạt được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấp
nhận lồi trong không gian Banach và một số ví dụ cùng với các tính toán
6
cụ thể cũng được trình bày ở cuối chương này nhằm minh họa thêm cho
các kết quả nghiên cứu đạt được.
Chương 3 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài
toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn
trong không gian Banach cùng với tính ổn định của các phương pháp. Mục
cuối cùng trong chương này, chúng tôi đề cập đến một số ứng dụng của các

∗
là không gian đối ngẫu của nó,
tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Để cho đơn
giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu . để chỉ
chuẩn trên E và E
∗
; Sự hội tụ mạnh và yếu của dãy {x
n
} về phần tử x
trong E lần lượt được kí hiệu là x
n
→ x và x
n
 x trong toàn bộ luận án.
Trước hết, ta nhắc lại rằng một không gian Banach E được gọi là không
gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x
∗∗
của không gian liên hợp thứ hai
E
∗∗
của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho
x
∗
(x) = x
∗∗
(x
∗
) với mọi x
∗
∈ E

x + y
2
= 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ S
E
và x = y ta có
tx + (1 −t)y < 1 với mọi t ∈ (0, 1), trong đó
S
E
= {x ∈ X : x = 1}.
Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà x = 1, y =
1, x − y ≥ ε ta luôn có




x + y
2




≤ 1 − δ(ε).
Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian
Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ dưới đây chỉ
ra điều đó.
Ví dụ 1.1 [7] Xét X = c
0
(không gian các dãy số hội tụ về không) với
chuẩn .

Để đo tính lồi của không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm
sau: Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số
δ
E
(ε) = inf

1 −




x + y
2




: x ≤ 1, y ≤ 1, x −y ≥ ε

.
Nhận xét 1.1 Mô đun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định,
liên tục và tăng trên đoạn [0; 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ
khi δ
E
(2) = 1. Ngoài ra, không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi
δ
E
(ε) > 0, ∀ε > 0 [7], [37].
Mệnh đề 1.2 [7] Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản
xạ.

0
+ ty − x
0

t
. (1.1)
Định nghĩa 1.5 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi
đó:
a) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại
mọi x ∈ S
E
.
b) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mọi y ∈ S
E
giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x ∈ S
E
.
c) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet nếu với mọi x ∈ S
E
, giới
hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ S
E
.
d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn
tại đều với mọi x, y ∈ S
E
.
10
Định lí 1.1 [7] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, ta có các khẳng
định sau:


(1 + τ
p
)
1/p
− 1 <
1
p
τ
p
, 1 < p < 2,
p − 1
2
τ
2
+ o(τ
2
) <
p − 1
2
τ
2
, p ≥ 2.
(1.2)
Định lí dưới đây cho ta biết về mối liên hệ giữa mô đun trơn của không
gian Banach E với mô đun lồi của E
∗
và ngược lại.
Định lí 1.2 [7, 37] Cho E là một không gian Banach. Khi đó ta có
a) ρ

∗
) =
ε
0
(E)
2
,
trong đó ε
0
(E) = sup{ε : δ
E
(ε) = 0}, ρ
0
(E) = lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
.
Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
lim
τ→0
ρ
E
(τ)
τ
= 0.
Từ Nhận xét 1.3, ta có định lý dưới đây:
11

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Chú ý 1.2 Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng
với ánh xạ đồng nhất I.
Nhận xét 1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn
có J(x) = ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định
lý Hahn - Banach.
Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E.
Mệnh đề 1.3 [7] Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và J
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,
i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E;
ii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J(D) là
một tập hợp bị chặn trong E
∗
;
iv) Nếu E
∗
là lồi chặt thì J là đơn trị;
12
v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ
khi E là không gian Banach trơn đều.
Ví dụ 1.4 Xét không gian l
p
, với p > 1. Vì không gian đối ngẫu l
q
của
không gian l
p
là lồi đều, nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của l

n
} ⊂ E
thỏa mãn x
n
 x, thì J(x
n
) hội tụ *yếu về J(x).
Chú ý 1.3 Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta
kí hiệu nó bởi j.
Ví dụ 1.5 Các không gian l
p
với p > 1 có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên
tục yếu theo dãy, nhưng các không gian L
p
(Ω) lại không có tính chất này
[33].
Bổ đề 1.1 [10] Cho E là một không gian Banach trơn đều. Khi đó, với
mọi x, y ∈ E, ta có
x + y
2
≤ x
2
+ 2y, j(x) + cρ
E
(y), (1.3)
trong đó c = 48 max(L, x, y) và L là hằng số Figiel, 1 < L < 1.7.
Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính
chất cơ bản của toán tử đơn điệu, j−đơn điệu.
Định nghĩa 1.11 Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂
E −→ 2

Định nghĩa 1.14 Toán tử j-đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2
E
được gọi là
m-j-đơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền
ảnh của toán tử I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơn điệu
trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Chú ý 1.5 Trong trường hợp E là một không gian Banach với ánh xạ đối
ngẫu liên tục yếu theo dãy thì mọi toán tử m-j-đơn điệu A : D(A) ⊂
E −→ 2
E
đều là toán tử demi-đóng, tức là nếu dãy {x
n
} ⊂ D(A) hội tụ
yếu về x và dãy A(x
n
)  y
n
−→ f, thì A(x) = f [11].
Định nghĩa 1.15 Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→
E được gọi là không giãn nếu
T (x) − T (y) ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ).
Phần tử x ∈ D(T ) được gọi là một điểm bất động của T nếu x = Tx.
Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là F ix(T ) hay F(T ).
14
Chú ý 1.6 Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm
bất động của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E.
Chú ý 1.7 Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của
không gian Banach E vào E thì toán tử I −T là j-đơn điệu. Trong trường
hợp C trùng với E thì I −T là một toán tử m-j-đơn điệu. Tổng quát hơn,

1
1 + λN
y. (1.7)
Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra phương trình (1.7) luôn có nghiệm.
Xét ánh xạ f : E −→ E xác đinh bởi
f(x) =
λ
1 + λN
N

i=1
T
i
(x) +
1
1 + λN
y.
Khi đó ta có,
f(x
1
) − f(x
2
) ≤
λN
1 + λN
x
1
− x
2
,

(y) ≤ x −y, ∀x, y ∈ E;
c) co rút không giãn theo tia nếu Q
C
là một co rút không giãn và thỏa
mãn tính chất
Q
C
(Q
C
(x) + t(x −Q
C
(x))) = Q
C
(x), ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.17 Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E được
gọi là
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn
từ E lên C;
c) co rút không giãn theo tia của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không
giãn theo tia từ E lên C.
Mệnh đề 1.5 [7] Cho E là một không gian Banach lồi đều. Khi đó, mọi
tập con lồi đóng khác rỗng C của E, đều là tập con co rút của E.
Chú ý 1.8 Ánh xạ co rút từ E lên C trong Mệnh đề 1.5 chính là phép
chiếu mêtric P
C
: E −→ C được xác định bởi
c − P
C
x = inf

2 chiều E, đều là tập con co rút không giãn theo tia của E.
Mệnh đề 1.8 [55] Cho E là một không gian Banach phản xạ với chuẩn
khả vi Gâteaux đều. Nếu C là một tập con co rút không giãn của E, thì C
là tập con co rút không giãn theo tia của E.
Mệnh đề dưới đây là một kết quả quan trọng, thường xuyên sử dụng
trong chứng minh các kết quả của luận án.
Mệnh đề 1.9 [38] Cho E là một không gian Banach trơn và cho C là một
tập con lồi và đóng của E. Một ánh xạ Q
C
: E −→ C là co rút không giãn
theo tia khi và chỉ khi
x − Q
C
(x), j(ξ − Q
C
(x)) ≤ 0, ∀x ∈ E, ∀ξ ∈ C. (1.8)
Nhận xét 1.5 Từ Mệnh đề 1.9 suy ra, nếu E là một không gian Banach
trơn và C là tập con co rút không giãn theo tia của E, thì ánh xạ co rút
không giãn theo tia Q
C
: E −→ C là duy nhất.
Ví dụ 1.8 Xét không gian l
p
, p > 1 và tập con C của l
p
được xác định
như sau:
C = {x = {ξ
n
} ∈ l

ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng C của E vào chính nó
với Fix(T ) = ∅. Khi đó, ánh xạ Q : C −→ Fix(T ) xác định bởi
Q(u) = lim
t→0
+
z
t
= z ∈ Fix(T ),
trong đó z
t
là phần tử duy nhất trong C thỏa mãn z
t
= tu + (1 −t)T (z
t
),
t ∈ (0, 1) là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ C lên F ix(T ).
Cuối cùng trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm khoảng các
Hausdorff giữa hai tập hợp trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.18 Cho A và B là hai tập con của không gian Banach E.
Khoảng cách Hausdorff giữa A và B được xác định bởi
H(A, B) = max{β(A, B), β(B, A)},
trong đó β(A, B) = sup
u∈A
inf
v∈B
u − v = sup
u∈A
d(u, B).
Bổ đề 1.2 [12] Nếu E là một không gian Banach trơn đều, C
1

16Lδ
R
), (1.9)
ở đây L là hằng số Figiel, r = x, d = max{d
1
, d
2
}, R = 2(2r + d) + δ,
d
i
= dist(θ, C
i
), i = 1, 2.
1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Trong những bài toán mà chúng ta đặt ra, đặc biệt là lớp những bài
toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm của nó
không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn
đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậm
chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm. Ta có thể nói rằng, lớp các
18
bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu
và nó là một trường hợp riêng của lớp bài toán không chính qui hay bài
toán đặt không chỉnh. Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài
toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán loại này.
1.2.1. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm bài toán chỉnh được Hadamard J. [40] đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabollic. Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm bài toán
đặt không chỉnh ở dạng một phương trình toán tử, cụ thể:

Tikhonov. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.10) khi không biết thông
tin về nghiệm chính xác x
0
, Tikhonov A. N. đã đưa ra một khái niệm mới.