❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❒◆● ▼■◆❍ ❚❯❨➊◆

▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚➐▼ ✣■➎▼ ❇❻❚
✣❐◆● ❈❍❯◆● ❈Õ❆ ▼❐❚ ❍➴ ❍Ú❯ ❍❸◆
❈⑩❈ ⑩◆❍ ❳❸ ❑❍➷◆● ●■❶◆ ❚❘❖◆●
❑❍➷◆● ●■❆◆ ❇❆◆❆❈❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✻✷ ✹✻ ✵✶ ✵✷

▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✶✳ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣
✷✳ ●❙✳ ❚❙✳ ❏♦♥❣ ❑②✉ ❑✐♠

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✲◆❿▼ ✷✵✶✹


✐✐

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐✱
✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✈➔ ●❙✳
❚❙✳ ❏♦♥❣ ❑②✉ ❑✐♠✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ✈➔ ❝❤÷❛
tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❦❤→❝✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

❚→❝ ❣✐↔

t ợ




▼ö❝ ❧ö❝

▼ð ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶✳✶✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû
✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶
✼
✼

✶✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✶✳✷✳✶✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✶✳✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✶✳✺✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝
→♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✶✳✺✳✶✳ P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✶✳✺✳✷✳ ▼ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤
①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✶✳✻✳ ▼ët sè ❜ê ✤➲ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲

✾✹
✾✺
✾✻


ởt số ỵ t tt
E

ổ

E

ổ ố ừ E



tỷ ổ ừ ổ E

(E)

số ừ ổ E

R

t ủ số tỹ

R+

t số tỹ ổ


ợ ồ x

D(A)

ừ t tỷ A

R(A)

ừ t tỷ A

A1

t tỷ ữủ ừ t tỷ A

I

t tỷ ỗ t

Lp ()

ổ t p tr

lp

ổ số tờ p

d(x, M )

tứ tỷ x t ủ M


❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ x0

x0

J

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝

j

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà

δE (ε)

♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E

ρE (τ )

♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E

F ix(T ) ❤♦➦❝ F (T ) t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T
∂f

❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐ f

M

❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ M

d(a, M )





t t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
tr ổ rt ổ ởt trữớ ủ
r ừ t ỗ ởt tỷ tở rộ
ừ ởt ồ ỳ ổ t ỗ õ {Ci }iI ừ ổ
rt H ổ E t õ ự
ử q trồ tr ỹ ồ ữ ỷ
ổ ử t t ỵ ồ

Ci = F ix(Ti ), ợ F ix(Ti ) t t ở ừ ổ
Ti , i = 1, 2, ..., N t õ ữỡ ữủ t ỹ
tr ữỡ ờ ờ t õ ữỡ
rss s r ữỡ
tữỡ tỹ ữ ữỡ ỏ
t ỗ tr ổ rt s
t ữỡ ỏ ỹ tr ữỡ
r t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ rt t q ự
t ỳ ữợ õ t tr t

t r T ởt ổ tr ổ

E t t tỷ A = I T ởt t tỷ j ỡ ợ I t tỷ ỗ
t tr E ữ t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ Ti tr ổ E õ t ữ
t t ổ ừ ởt ồ ỳ t tỷ j ỡ
Ai = I Ti ợ i = 1, 2, ..., N


E ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â✱ ♥➠♠ ✷✵✵✷ ❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ■✳ P✳ ❬✼✽❪ ✤➣ ❦➳t ❤ñ♣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ✈î✐ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤
ð ❞↕♥❣

cn (A(xn+1 ) + αn xn+1 ) + xn+1 = xn , x0 ∈ E.

✭✵✳✸✮

❘②❛③❛♥ts❡✈❛ ■✳ P✳ ✤➣ ❝❤➾ r❛ sü sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ {xn } ①→❝ ✤à♥❤
❜ð✐ ✭✵✳✸✮ ✈➲ ♠ët ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ A ❦❤✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✈➔ ❝→❝ ❞➣②
sè ❞÷ì♥❣ {cn } ✈➔ {αn } t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤➼❝❤ ❤ñ♣✳
◆➠♠ ✷✵✵✻ t→❝ ❣✐↔ ❳✉ ❍✳ ❑✳ ❬✽✺❪ ✈➔ ♥➠♠ ✷✵✵✾ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❙♦♥❣ ❨✳✱ ❨❛♥❣
❈✳ ❬✽✵❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥
❦➲ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ A tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ æ♥❣ ✤➣ ❝❤➾ r❛ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❞➣② ❧➦♣ {xn } ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐

xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, ...

✭✵✳✹✮

✈î✐ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤➼❝❤ ❤ñ♣ ✤➦t ❧➯♥ ❞➣② sè {tn } ✈➔ ❞➣② s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥
tr♦♥❣ ♠é✐ ❜÷î❝ ❧➦♣ {en }✱ tr♦♥❣ ✤â JrAn = (I + rn A)−1 ✳
✣è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✈î✐ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✱ ♥➠♠ ✷✵✵✻ t→❝ ❣✐↔ ❇✉♦♥❣ ◆❣✳
❬✷✸❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲❚✐❦❤♦♥♦✈
❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥



H(Anj (x), j (x)) hn g( x ),
ợ g ởt ổ ợ ở
t t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
ổ ũ ợ t q ữ t t
ừ ữỡ tr ợ t tỷ ỡ t t tự
t ụ ữủ t ồ tr ữợ
q t ự ữ P
t ủ ỵ ợ ữỡ
t t tự ỡ P
ự ữỡ s s
t t ổ ừ ởt ồ ỳ t
tỷ ữỡ tứ ổ rt H õ
ỹ ữỡ ợ t t ừ ởt
t tự tr t t ở ừ ởt ồ ổ




ổ t P ụ ự
t tr t t ở ừ ổ ỹ tr
ữỡ rt t ữớ
ử ừ ự ử ữỡ
ởt số ừ ữỡ
ỗ ữỡ ữỡ q
t t t t ở ừ ởt ồ ỳ
ổ tr ổ ũ ợ t
q ỹ tr tữ tữ tt ừ t tr t
r tr ú tổ ụ t ự
t ờ ừ ữỡ t ữủ t ữợ
ự ừ r t tr qt s





sỹ ở tử ừ ữỡ
ữỡ q t
N

Ai (xn ) + n (xn y) = ,



i=1
N

Ai (un+1 ) + n (un+1 y))

cn (
i=1



+ un+1 = QC (un + n (un un1 )),
tữỡ ự tr õ y, u0 , u1 C Ai = I Ti Ti : C C
ổ ợ ồ i = 1, 2, ..., N QC : E C ởt
rút ổ t t tứ E C

ở ừ ữủ tr tr ữỡ

ữỡ ợ t sỡ ữủ ởt số q trú

❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐✿
• Pr♦❝❡❞✐♥❣ ✧▼❡t❤♦❞s ♦❢ ♠♦❞❡r♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛✲
t✐♦♥s✧✱ ❍❛♥♦✐ ✲ ❚❤❛✐♥❣✉②❡♥✱ ✷✽✴✵✸✲✵✷✴✵✾✴✷✵✶✵✳

• ❍ë✐ t❤↔♦ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❧➛♥ t❤ù ❳❱ ✧▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝❤å♥ ❧å❝ ✈➲ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺
t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➔ tr✉②➲♥ t❤æ♥❣✧✱ ❍➔ ◆ë✐ ✵✸✲✵✹✴✶✷✴✷✵✶✷✳
• ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳

• ❈→❝ ❤ë✐ ♥❣❤à ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷
♣❤↕♠✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳


❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ❣ç♠ s→✉ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ ✈➔ ▼ö❝ ✶✳✷ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉✱ trì♥ ✤➲✉✱ ♠ët sè ❧î♣ t♦→♥ tû ❧♦↕✐ ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝ò♥❣ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣❀ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❦❤æ♥❣
❝❤➾♥❤ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ tû ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈
❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈î✐ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ h✲❧✐➯♥ tö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✸ ✈➔ ▼ö❝ ✶✳✹ tr➻♥❤
❜➔② ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥ t➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ q✉→♥
t➼♥❤ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉
❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t♦→♥ tû m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ▼ö❝
✶✳✺ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å
❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✧❝ê ✤✐➸♥✧
①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♠ët →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
♥â✐ r✐➯♥❣✳ ▼ö❝ ✶✳✻ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜ê ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ sû
❞ö♥❣ ✤➳♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤↕t ✤÷ñ❝ tr♦♥❣
❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳


x, y ∈ E, x = y ♠➔ x = 1, y = 1 t❛ ❝â

x+y
< 1.
2

❈❤ó þ ✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ❝á♥ ❝â t❤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❞÷î✐ ❝→❝ ❞↕♥❣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣
s❛✉✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE t❤ä❛
x+y
♠➣♥
= 1✱ s✉② r❛ x = y ❤♦➦❝ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ SE ✈➔ x = y t❛ ❝â
2
tx + (1 − t)y < 1 ✈î✐ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✱ tr♦♥❣ ✤â

SE = {x ∈ E :

x = 1}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐
ε > 0✱ tç♥ t↕✐ δ(ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ♠➔

x

= 1✱

y = 1, x − y ≥ ε t❛ ❧✉æ♥ ❝â
x+y
≤ 1 − δ(ε).
2


❑❤✐ ✤â✱ (E, . β ), β > 0 ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉✳


✾

✣➸ ✤♦ t➼♥❤ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
s❛✉✿ ▼æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè

δE (ε) = inf 1 −

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶ ▼æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱

❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ✤♦↕♥ [0; 2]✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧ç✐ ❝❤➦t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾
❦❤✐ δE (2) = 1 ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✺✾✮✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❧ç✐
✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ δE (ε) > 0, ∀ε > 0 ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✻✵✮✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✺✻✮ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ❜➜t ❦➻ ❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐

x ∈ SE ✱ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t fx ∈ E ∗ s❛♦ ❝❤♦ x, fx = x ✈➔ fx = 1✳

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶ ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✾✷✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱
t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿


✶✵

◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳
❜✮ ◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳
❛✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐

ρE (τ ) = sup{2−1 x + y + x − y

−1:

x = 1, y = τ }.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱
❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ [0; +∞) ✭①❡♠ ❬✼❪ tr❛♥❣ ✾✺✮✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷ ❬✻✶❪ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp ❤♦➦❝ Lp(Ω)✱ t❤➻ t❛ ❝â

1

(1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,
p
ρE (τ ) = p − 1
p−1 2

2
2
tr♦♥❣ ✤â ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0

ρE (τ )
.
τ

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉
ρE (τ )
= 0.
τ →0
τ
lim

❚ø ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✱ t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙②✿

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✸ ✭①❡♠ ❬✸✽❪ tr❛♥❣ ✼✵✮ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐

✤â t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿




E ổ trỡ t E ổ ỗ
E ổ ỗ t E ổ trỡ


ử ồ ổ rt ổ lp,



tr E ởt ổ t t
J ố t ừ õ õ
J ởt tự J(x) = J(x), x E
J t t ữỡ tự J(x) = J(x), > 0, x E
J tự D ởt t ừ E t J(D)
ởt t ủ tr E
E ỗ t t J ỡ tr




ỡ tr tử tr ộ t ừ E
E ổ trỡ

J

ử t ổ lp ợ p > 1 ổ ố lq ừ

ổ lp ỗ ố t J ừ lp ỡ tr
t õ ữủ ữ s

x =
J(x) =
{ } lq x = { } = ,
n
n
tr õ k = |k |p1 s(k ) x

2p



+ 2 y, j(x) + cE ( y ),

tr õ c = 48 max(L,

x , y ) L số 1 < L < 1.7
t tr ử ú tổ tr ởt số t

t ỡ ừ t tỷ ỡ j ỡ


A : D(A) E 2E



E ởt ổ tỷ
ữủ ồ ỡ ợ ồ x, y D(A) t

ổ õ


x y, u v 0, u A(x), v A(y).

ởt t tỷ ỡ A :



D(A) E 2E ữủ ồ


tỷ j ỡ A :

D(A) E 2E ữủ ồ

mj ỡ R(I + A) = E ợ ồ > 0 R(I + A)
ừ t tỷ I + A I t tỷ ỗ t tr E
E ởt ổ rt t t tỷ mj ỡ trũ
ợ t tỷ ỡ ỹ

ú ỵ r trữớ ủ E ởt ổ ợ ố


A :



tử

t



t

ồ

t

tỷ mj ỡ


t t õ tờ qt ỡ ữợ

Ti :

E E i = 1, 2, ..., N ởt ồ ỳ
ổ E õ õ t tỷ

ổ tứ
A= N
i=1 Ai ợ Ai = I Ti , i = 1, 2, ..., N ởt t tỷ mj ỡ

ự ợ ộ > 0 t r R(I + A) = E t ợ

ộ y E t ữỡ tr

x + A(x) = y.



t ữỡ tr tữỡ ữỡ ợ ữỡ tr


x=
1 + N

N

Ti (x) +
i=1


f õ t ởt t ở ữỡ tr
õ t ữủ ự
ữợ ú tổ s rút ổ
t t ũ ợ ởt số t t ỡ ừ õ ụ
tữớ ữủ tr t t q ự ừ


E ởt ổ C ởt t

ỗ õ ừ E ởt QC : E C ữủ ồ




rút Q2C (x) = QC (x), x E
rút ổ QC rút ởt ổ tự


QC (x) QC (y) x y , x, y E;
rút ổ t t QC ởt rút ổ tọ
t t

QC (QC (x) + t(x QC (x))) = QC (x), x E, t (0, 1).

ởt t ỗ õ C ừ ổ E ữủ
ồ

rút ừ E tỗ t ởt rút tứ E C
rút ổ ừ E tỗ t ởt rút ổ
tứ E C

❧➔ t➟♣ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ Lp (Ω)✱ ð ✤➙② Ω ❧➔ t➟♣ ✤♦ ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ Rn ✳
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✈➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

H ✱ t❤➻ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ PC : H −→ C ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ x − PC x =
inf u∈C x − u ✈î✐ ♠å✐ x ∈ H ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ tø
H ❧➯♥ C ✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ❝á♥ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❉÷î✐ ✤➙②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ s➩ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❧î♣ →♥❤ ①↕ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✼ ❬✺✵❪ ▼å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
2

❝❤✐➲✉ E ✤➲✉ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ ❝õ❛ E ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽ ❬✺✹❪ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✈î✐ ❝❤✉➞♥

❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✳ ◆➳✉ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ E ✱ t❤➻ C
❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤❡♦ t✐❛ ❝õ❛ E ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣✱ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ sû ❞ö♥❣
tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✾ ❬✸✾❪ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✈➔ ❝❤♦ C ❧➔ ♠ët

t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐ ✈➔ ✤â♥❣ ❝õ❛ E ✳ ▼ët →♥❤ ①↕ QC :
t❤❡♦ t✐❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

E −→ C

❧➔ ❝♦ rót ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥

ổ tứ t ỗ õ rộ C ừ E õ
ợ F ix(T ) = õ Q : C F ix(T )

Q(u) = lim+ zt = z F ix(T ),
t0

tr õ zt tỷ t tr C tọ zt = tu + (1 t)T (zt )

t (0, 1) rút ổ t t tứ C F ix(T )
ố ũ tr ử ú tổ
sr ỳ t ủ tr ổ

A B t ừ ổ E

sr ỳ A B ữủ

H(A, B) = max{(A, B), (B, A)},
tr õ (A, B) = sup inf u v = sup d(u, B)
uA vB

uA

ờ E ởt ổ trỡ C1 C2
t ỗ õ ừ E s sr H(C1, C2) ,
tr õ QC QC rút ổ t t tứ E C1
C2 tữỡ ự t
1

2


t ữủ r ữ r
ự ữ ừ ừ ữỡ tr
t ụ ữ r
t t t ừ ữỡ tr

A(x) = f,



tr õ A ởt t tỷ tứ ổ tr X ổ tr

Y ợ tữỡ ự X , Y f0 Y r
t ồ t q s ữủ
tọ
Pữỡ tr õ xf ợ ồ f Y
xf ữủ ởt t
xf ử tở tử f
ởt tớ ữớ t r ồ t t r tọ
tr ữ tỹ t r r ỵ õ s t
t tỷ r ớ tr t t t tỹ t
t ổ r q tr trỏ số sỹ trỏ số õ
ỳ s
t t ởt tr tr ổ ữủ tọ t
t ữủ ồ t t ổ

Pữỡ
t ừ t ổ t tổ t
x0 ữ r ởt ợ õ
ữỡ ỹ tr ỹ t tỷ
ồ tr ừ ởt t số ợ ữ