ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THIÊN QUANG

PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trương Minh Tuyên

Thái Nguyên – 2017


ii

Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận
tình của TS. Trương Minh Tuyên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và
chân thành tới thầy.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, các thầy cô
trong khoa Toán - Tin đã tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức cho tôi.
Đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã dạy bảo và động viên tôi
hoàn thành tốt các nhiệm vụ trong cả quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Diêm Điền cùng

10

1.2.1. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2. Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2 Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động
chung của một họ ánh xạ không giãn

22

2.1. Phương pháp chiếu co hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Phương pháp lai chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

phép hợp

∩

phép giao

R+

tập các số thực không âm

G(A)

đồ thị của toán tử A

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất



Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường
hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử thuộc giao khác
rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci }i∈I của
không gian Hilbert H hay không gian Banach E", với I là tập chỉ số bất kỳ.
Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác
nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, y học ... Khi Ci = F (Ti ),
với F (Ti ) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, ..., N ,
thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặp
cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa,
Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay các phương pháp sử dụng các siêu
phẳng cắt...
Năm 2008, các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. đã đưa ra
một số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu và phương
pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho bài toán tìm
một điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert. Ở đây, họ đã xây dựng một điều kiện mới (điều kiện NST (I)) mô
tả mối liên hệ giữa hai họ ánh xạ không giãn. Thông qua điều kiện này thì
bài toán tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (có thể
hữu hạn hay vô hạn) được đưa về bài toán tìm điểm bất động chung của
một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kết
quả của các tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R. trong tài liệu
[6]. Ngoài ra, trong luận văn chúng tôi cũng xây dựng hai ví dụ số đơn giản


2



Một số đặc trưng của không gian Hilbert

Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được
kí hiệu là ., . và chuẩn được kí hiệu là . .
Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau
x−y

2

+ x−z

2

= y−z

2

+ 2 x − y, x − z ,

với mọi x, y, z ∈ H.
Chứng minh. Thật vậy, ta có
y−z

2

+ 2 x − y, x − z = y, y + z, z + 2 x, x − 2 x, z − 2 x, y
= [ x, x − 2 x, y + y, y ]
+ [ x, x − 2 x, z + z, z ]
= x−y


2

= λ2 x

2

+ 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y
2

2

=λ x

2

+ (1 − λ) y

2

− λ(1 − λ)( x

− 2 x, y + y 2 )

=λ x

2

+ (1 − λ) y


Mệnh đề được chứng minh.
Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ
yếu về phần tử x ∈ H, nếu
lim xn , y = x, y ,

n→∞


5

với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì
xn

x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian

l2 = {xn } ⊂ R :

∞
2
n=1 |xn |

< ∞ và {en } ⊂ l2 , được cho bởi

en = (0, ..., 0,

1

, 0, ..., 0, ...),

vị trí thứ n

n→∞

n→∞

x, nên {xn } bị chặn.

Chứng minh. Vì xn
Ta có
xn − y

2

= xn − x

2

+ x−y

2

> xn − x

2

+ 2 xn − x, x − y .

+ 2 xn − x, x − y

Vì x = y, nên
lim inf xn − y


x và xn → x , thì xn → x, khi n → ∞.

Chứng minh. Ta có
xn − x

2

= xn

2

− 2 xn , x + x

2

→ 0, n → ∞.
Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert
thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC x ≤ x − y với mọi y ∈ C.
Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf x − u . Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao
u∈C

cho x − un −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có
un − um

2

= (x − un ) − (x − um )

2

= (x − u) − (x − v)
= 2( x − u

2

2

u+v
+ x−v )−4 x−
2
2

2

≤ 0.
Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho
x − PC x = inf u∈C x − u .


7

Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử
PC x ∈ C xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.
Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : x, u = y}, với u = 0. Khi đó
PC x = x +

y − x, u
u.


với mọi t ∈ (0, 1).
Bất đẳng thức trên tương đương với
x − PC x

2

≤ x − PC x

2

− 2t x − PC x, y − PC x + t2 y − PC x 2 ,

với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó, ta có
x − PC x, PC x − y ≥ −

t
y − PC x 2 ,
2


8

với mọi t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhận được
x − PC x, PC x − y ≥ 0.
Ngược lại, giả sử
x − PC x, PC x − y ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C.
Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C, ta có
x − PC x


x − PC x, PC y − PC x ≤ 0,
y − PC y, PC x − PC y ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.8. Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H
và x ∈
/ C. Khi đó, tồn tại một phần tử v ∈ H, v = 0 sao cho
sup v, y ≤ v, x − v 2 .
y∈C


9

Chứng minh. Vì x ∈
/ C, nên v = x − PC x = 0. Từ Mệnh đề 1.7, ta có
v, y − PC x ≤ 0,
với mọi y ∈ C. Suy ra
v, y − x + x − PC x ≤ 0,
với mọi y ∈ C. Điều này tương đương với
v, y ≤ v, x − v 2 ,
với mọi y ∈ C. Do đó
sup v, y ≤ v, x − v 2 .
y∈C

Mệnh đề được chứng minh.
Chú ý 1.1. Mệnh đề 1.8 còn được gọi là định lý tách tập lồi cho trước với
một điểm không thuộc nó.
Mệnh đề 1.9. Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert
H, thì C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Giả sử C không là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn }
trong C thỏa mãn xn

gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không
giãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có
Tx − Ty ≤ x − y .
Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F (T ), tức là
F (T ) = {x ∈ C : T x = x}.
Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F (T ).
Mệnh đề 1.11. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không
gian Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó,
F (T ) là một tập lồi và đóng trong H.
Chứng minh. Giả sử F (T ) = ∅.
Trước hết, ta chỉ ra F (T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không
giãn nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong F (T ) thỏa
mãn xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ F (T ), nên
T xn − xn = 0,
với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được
T x − x = 0, tức là x ∈ F (T ). Do đó, F (T ) là tập đóng.


11

Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F (T ). Giả sử x, y ∈ F (T ), tức là T x = x
và T y = y. Với mọi λ ∈ [0, 1], ta chỉ ra z = λx + (1 − λ)y ∈ F (T ). Thật vậy,
nếu x = y, thì z = x = y ∈ F (T ). Giả sử x = y, khi đó ta có
T z − x = T z − T x ≤ x − z = (1 − λ) x − y ,
Tz − y = Tz − Ty ≤ y − z = λ x − y .
Từ đó, ta nhận được
x − y ≤ Tz − x + Tz − y ≤ x − y .
Suy ra
x − y = Tz − x + Tz − y ,
và

= λ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)

2


12

= λ Tz − x

2

= λ Tz − Tx
≤λ z−x

2

+ (1 − λ)(T z − y)
2

2

− λ(1 − λ) x − y

+ (1 − λ) (T z − T y)

+ (1 − λ) (z − y)

= λ(z − x) + (1 − λ)(z − y)

2

mãn điều kiện NST (I) ứng với họ T , nếu với mỗi dãy bị chặn {zn } ⊂ C,
thỏa mãn
lim zn − Tn zn = 0,

n→∞

ta đều có lim zn − T zn = 0 với mọi T ∈ T .
n→∞

Mệnh đề 1.12. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert H và T là một ánh xạ không giãn từ C vào chính nó với F (T ) = ∅.
Cho {βn } là dãy số thực thỏa mãn 0 < a ≤ βn ≤ b < 1. Với mỗi n ∈ N, ta
xác định dãy ánh xạ {Tn } từ C vào C bởi
Tn x = (1 − βn )x + βn T x, với mọi x ∈ C.
Khi đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T .
Chứng minh. Thật vậy, dễ thấy {Tn } là một họ ánh xạ không giãn từ C vào
chính nó. Giả sử {zn } là một dãy bị chặn bất kỳ trong C thỏa mãn điều
kiện
lim zn − Tn zn = 0.

n→∞


13

Khi đó, từ định nghĩa của ánh xạ Tn , ta có
zn − T zn =

1
zn − Tn zn → 0,

14

Từ Mệnh đề 1.2, ta có
zn − u

2

≤ ( zn − Tn zn + Tn zn − u )2
= zn − Tn zn ( zn − Tn zn + 2 Tn zn − u )
(1 − βn )(Szn − u) + βn (T zn − u)
≤ 3K zn − Tn zn + zn − u

2

2

− βn (1 − βn ) Szn − T zn 2 .

Do đó, ta nhận được
βn (1 − βn ) Szn − T zn

2

≤ 3K zn − Tn zn → 0.

Theo giả thiết, suy ra
Szn − T zn → 0.
Từ đó, ta có
zn − Szn ≤ zn − Tn zn + βn Szn − T zn → 0,
zn − T zn ≤ zn − Tn zn + (1 − βn ) Szn − T zn → 0.

  1
 
T (s)x = 
 sin s cos s 0 x2  ,
0
0
1
x3
với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 và với mọi s ≥ 0. Khi đó, T = {T (s) : 0 ≤
s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 và F (T ) = {(0, 0, a) :
a ∈ R}.
Dễ thấy các họ ánh xạ T thỏa mãn các điều kiện i) và iv), ta chỉ ra nó
thỏa mãn các điều kiện ii) và iii).
Thật vậy, với mọi t, s ≥ 0 và mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , ta có



cos s − sin s 0
x cos t − x2 sin t

 1

 x1 sin t + x2 cos t
T (s)T (t)x = 
sin
s
cos
s
0



1

x3


16

Dưới đây ta chỉ ra họ T thỏa mãn điều kiện iii). Với mọi s ≥ 0 và mọi
x, y ∈ R3 , ta có
T (s)x − T (s)y =

(x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s, (x1 − y1 ) sin s
+ (x2 − y2 ) cos s, x3 − y3
(x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s

=

+ (x2 − y2 ) cos s

2

+ (x3 − y3 )2

2

+ (x1 − y1 ) sin s

1/2


G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)}

(1.6)


17

không chứa thực sự trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác trên
H.
Ví dụ 1.5. Toán tử A(x) = x3 với x ∈ R là đơn điệu cực đại trên R.
Thật vậy, hiển nhiên A là một toán tử đơn điệu trên R. Ta sẽ chỉ ra đồ
thị của A không là tập con thực sự của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào
khác trên R. Giả sử tồn tại một toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị
của B chứa thực sự đồ thị của A. Khi đó, tồn tại phần tử x0 ∈ R sao cho
(x0 , m) ∈ G(B), nhưng (x0 , m) ∈
/ G(A). Như vậy sẽ xảy ra hai trường hợp
hoặc A(x0 ) > m hoặc A(x0 ) < m.
Trường hợp 1: A(x0 ) > m
Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1 ) = m. Khi
đó, x1 < x0 . Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x1 , x0 ) sao cho
n = A(x2 ) ∈ (m, A(x0 )). Từ (x0 , m) ∈ G(B) và (x2 , A(x2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B),
suy ra
(x0 − x2 )(m − A(x2 )) ≥ 0.
Vì x0 > x2 , nên A(x2 ) ≤ m, điều này mâu thuẫn với A(x2 ) ∈ (m, A(x0 )).
Như vậy, không thể xảy ra trường hợp A(x0 ) > m.
Trường hợp 2: A(x0 ) < m
Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1 ) = m. Khi
đó, x1 > x0 . Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x0 , x1 ) sao cho
n = A(x2 ) ∈ (A(x0 ), m). Từ (x0 , m) ∈ G(B) và (x2 , A(x2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B),
suy ra


− Tx − Ty

2

≥ 0,

suy ra A là một toán tử đơn điệu.
Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A. Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xét
phương trình
λA(x) + x = y.
Phương trình trên tương đương với
1
x=
(λT x + y).
1+λ

(1.7)

(1.8)

Xét ánh xạ f : H −→ H bởi
f (x) =

1
(λT x + y),
1+λ

λ
∈ (0, 1). Do đó,

x − z1 ∈ rA(z1 ), y − z2 ∈ rA(z2 ).
Từ tính đơn điệu của A, ta có
x − z1 − y + z2 , z1 − z2 ≥ 0.
Suy ra
z1 − z2

2

≤ x − y, z1 − z2 ≤ x − y . z1 − z2 .

Do đó, z1 − z2 ≤ x − y , hay JrA là một ánh xạ không giãn.
Giả sử, x = JrA (x). Điều này tương đương với x ∈ x+rA(x) hay A(x)

0.

ii) Với mọi số dương λ và µ, ta luôn có đẳng thức sau
JλA x = JµA

µ
µ
x + 1 − JλA x , x ∈ H.
λ
λ

Thật vậy, đặt
y = JµA

µ
µ
x + 1 − JλA x , z = JλA (x).

Jr x − JλA JrA x ≤ x − JrA x ,
λ
r
với mọi x ∈ D(A).
Chứng minh. Theo Chú ý 1.5, ta có
JrA x = JλA

λ
λ
x + (1 − )JrA x .
r
r

Do đó, từ tính không giãn của JλA (xem Chú ý 1.5), ta có
1 A
1
λ
λ
Jr x − JλA JrA x = JλA x + (1 − )JrA x − JλA JrA x
λ
r
r
r
1
≤ x − JrA x .
r
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.16. [4] Cho H là một không gian Hilbert và A : H −→ 2H là
một toán tử đơn điệu cực đại với A−1 0 = ∅ và cho JrA là toán tử giải của
A với r > 0. Cho {λn } ⊂ (0, ∞) là dãy số thỏa mãn limn→∞ λn = ∞. Giả